舒建華，陳子陽(yáng)，蒲繼雄，孫希

（1.華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 泉州 362021；2.江西警察學(xué)院 基礎(chǔ)部，江西 南昌 330000）

隨機(jī)電磁光束經(jīng)菲涅耳波帶片衍射后的傳輸特性

舒建華1，陳子陽(yáng)1，蒲繼雄1，孫希2

（1.華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 泉州 362021；2.江西警察學(xué)院 基礎(chǔ)部，江西 南昌 330000）

基于相干偏振統(tǒng)一理論，以電磁高斯－謝爾模型光束為例，研究隨機(jī)電磁光束經(jīng)菲涅耳波帶片衍射后的傳輸特性，以及入射光的相干長(zhǎng)度、偏振度和菲涅耳波帶片的最大半徑數(shù)對(duì)光強(qiáng)和偏振度的影響.研究表明：光束的相干特性及菲涅耳波帶片的最大半徑數(shù)對(duì)聚焦光強(qiáng)會(huì)產(chǎn)生影響；偏振度極值的位置在焦點(diǎn)及次焦點(diǎn)附近，并且偏振度極值的位置隨波帶片最大半徑數(shù)的變化而變化.

菲涅爾波帶片；偏振；隨機(jī)電磁光束；衍射；聚焦光強(qiáng)

自2003年美國(guó)著名光學(xué)專家Wolf提出交叉偏振統(tǒng)一理論［1］以來，隨機(jī)電磁光束在傳輸過程中的光強(qiáng)、相干度及偏振度變化一直是研究的熱點(diǎn).例如，Korotkova等［2］研究了隨機(jī)電磁光束在大氣中傳輸?shù)钠穸茸兓?，發(fā)現(xiàn)當(dāng)傳輸距離達(dá)到一定程度后，傳輸場(chǎng)中的偏振度將回復(fù)到源平面的偏振度大小，并保持不變.趙道木等［3］的研究結(jié)果表明，當(dāng)滿足一定條件時(shí)，完全偏振和完全非偏振的渦旋光束在傳輸過程中偏振度將保持不變.季小玲等［4］研究了多色部分相干電磁光束在大氣湍流中傳輸時(shí)的偏振度變化，發(fā)現(xiàn)同單色光一樣，多色的電磁光束經(jīng)過長(zhǎng)距離傳輸之后，偏振度也將最終回復(fù)到源平面的初始值.蔡陽(yáng)健等［5］研究了扭曲的位相對(duì)各項(xiàng)同性和各項(xiàng)異性的電磁高斯－謝爾模型光束經(jīng)像散ABCD光學(xué)系統(tǒng)后光束特性的影響.菲涅耳波帶片是一種光束整形和聚焦的光學(xué)元件，在X射線成像、紫外成像及原子成像與聚焦等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用，因此也成為近20年的研究熱點(diǎn)之一［6-9］.對(duì)平面波經(jīng)過方形的螺旋位相型菲涅耳波帶片聚焦的研究表明，通過一定的調(diào)制可以獲得軸上強(qiáng)度為零的光強(qiáng)分布；對(duì)平面波經(jīng)過整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階位相型分布的菲涅耳波帶片的聚焦特性的研究表明，通過調(diào)節(jié)波帶片的數(shù)目和拓?fù)浜蓴?shù)可以獲得并控制空心光束 .這些研究在粒子的囚禁和操控中得到了應(yīng)用［10-11］.此外，多色光經(jīng)過菲涅耳波帶片聚焦后，在相位奇點(diǎn)處出現(xiàn)相應(yīng)的光譜變化［12］.本文以電磁高斯－謝爾模型光束為例，研究隨機(jī)電磁光束經(jīng)過菲涅耳波帶片之后的光束特性.

1 理論分析

菲涅耳波帶片是由一系列透光和不透光圓環(huán)組成的特殊光柵，圓環(huán)的半徑滿足

式（1）中：M為菲涅耳波帶片的最大半徑數(shù)；rM為菲涅耳波帶片的最大半徑.當(dāng)M為奇數(shù)時(shí)，波帶片的中心部分是一圓孔，完全透光；當(dāng)M為偶數(shù)時(shí)，波帶片的中心部分是一圓屏，完全不透光 .光束通過菲涅爾波帶片的衍射示意圖，如圖1所示.

一束沿z方向的電磁波，在菲涅耳波帶片所在的平面（z＝0）的交叉譜密度矩陣［1］可表示為

以高斯－謝爾模型光束為例，研究隨機(jī)電磁光束經(jīng)菲涅耳波帶片的衍射特性，簡(jiǎn)單起見，假設(shè)其交叉項(xiàng)為零，因此各矩陣元可表示為

為了書寫方便，將式（2）合寫成一個(gè)方程，即

式（4）中：ρ′1和ρ′2是z＝0平面內(nèi)的位置矢量，均與z軸垂直；s（ω）表示原點(diǎn)處的譜密度；參數(shù)B，σ，δx，x和δy，y均與位置無關(guān)，但可能與頻率ω有關(guān).

電磁波束的偏振度由一般的文獻(xiàn)［1］的公式給出，即

將式（2），（3）代入式（5）后，可得到在菲涅耳波帶片處的電磁波束的偏振度，即

高斯－謝爾模型光束在觀察平面z內(nèi)（ρ1，ρ2）兩點(diǎn)的交叉譜密度矩陣元［13］為

圖1 光束通過菲涅爾波帶片的衍射示意圖Fig.1 Scheme of the light diffracted by Fresnel zone plates

將式（4）代入式（7），可得到

根據(jù)文獻(xiàn)［14］，有

雙圓環(huán)菲涅耳波帶片（M＝4）的積分區(qū)間在［r1，r2］和［r3，r4］，可得到z平面內(nèi)兩點(diǎn)（ρ1，ρ2）的交叉譜密度矩陣元的解析表達(dá)式為

令ρ1＝ρ2＝ρ，φ1＝φ2＝φ，可得到高斯－謝爾模型光束通過雙圓環(huán)菲涅耳波帶片后，其交叉譜密度的各矩陣元為

高斯－謝爾模型光束通過雙圓環(huán)菲涅耳波帶片后，其在點(diǎn)（ρ，φ，z）的光強(qiáng)和偏振度［1］分別為

2 數(shù)值模擬

基于式（15），（16），對(duì)高斯－謝爾模型光束經(jīng)過菲涅耳波帶片后的光強(qiáng)和偏振度進(jìn)行數(shù)值模擬.不同相干長(zhǎng)度的部分相干高斯－謝爾模型光束經(jīng)菲涅耳波帶之后，其光強(qiáng)分布情況如圖2所示.圖2中：λ＝632.8nm，σ＝1mm，r1＝0.67mm，P0＝0，M＝6.

圖2 相干長(zhǎng)度對(duì)光強(qiáng)分布的影響Fig.2 Influence of the correlation length on the distribution of light intensity

隨機(jī)電磁光束經(jīng)不同最大半徑數(shù)（M）的菲涅耳波帶片衍射后，其光強(qiáng)分布情況如圖3所示.圖3中：δx，x＝δy，y＝1mm，其他參量與圖2相同.從圖3可以看出：隨著最大半徑數(shù)的增加，焦點(diǎn)處的軸上光強(qiáng)分布更加集中，所獲得聚焦焦斑將變小.

以6個(gè)環(huán)的菲涅耳波帶片為例，研究相干長(zhǎng)度對(duì)軸上點(diǎn)偏振度的影響，如圖4所示.圖4中：δx，x＝1 mm；P0＝0.5；其他參量與圖2相同；所取的源平面偏振度為0.5（B＝1／3），即y方向的光強(qiáng)為x方向的1／3.從圖4可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)δx，x＝δy，y時(shí)，即兩個(gè)方向的相干特性相同時(shí)，衍射場(chǎng)中軸上點(diǎn)的偏振度將保持和入射光的偏振度相同；當(dāng)δx，x＞δy，y時(shí)，在焦點(diǎn)處和1／3焦點(diǎn)處附近的偏振度數(shù)值最大；而當(dāng)δx，x＜δy，y時(shí)，在焦點(diǎn)處和1／3焦點(diǎn)處附近的偏振度數(shù)值最小.

究其原因，當(dāng)δx，x＝δy，y時(shí)，x方向和y方向的聚焦特性相同，所以偏振度和入射光偏振度相同；當(dāng)δx，x＞δy，y時(shí)，從圖2中的結(jié)論可知，相比于入射光x方向光強(qiáng)與y方向光強(qiáng)的比值，聚焦點(diǎn)x方向的聚焦光強(qiáng)與y方向光強(qiáng)比值將更大，因而偏振度較大；而當(dāng)δx，x＜δy，y時(shí)，相比于入射光x方向光強(qiáng)與y方向光強(qiáng)的比值，聚焦點(diǎn)x方向的聚焦光強(qiáng)與y方向光強(qiáng)比值將減小，使得焦點(diǎn)處的偏振度變小.

圖3 菲涅耳波帶片的最大半徑數(shù)對(duì)聚焦衍射光強(qiáng)的影響Fig.3 Influence of the max radius number of zone plates on the distribution of focusing light intensity

入射光偏振度對(duì)衍射場(chǎng)軸上點(diǎn)偏振度的影響，如圖5所示.圖5中：δx，x＝1mm，δy，y＝0.5mm，其他參量與圖2相同.從圖5可以看出：當(dāng)入射光的偏振度越大，則衍射后軸上點(diǎn)的偏振度也越大.當(dāng)入射光的偏振度為1時(shí)，軸上點(diǎn)的偏振度也始終為1.這是因?yàn)槿肷涔馄穸葹?時(shí)，B的取值為0，即入射光僅僅只有x方向的分量，沒有y方向的分量 .因此，在傳輸過程中始終只有x方向分量的光強(qiáng)，從而偏振度為1.

以最大半徑數(shù)（M）為4，8，12的菲涅耳波帶片為例，研究菲涅耳波帶片的最大半徑數(shù)對(duì)軸上點(diǎn)偏振度的影響，如圖6所示.圖6中：δx，x＝1mm，δy，y＝0.5mm，其他參量與圖2相同.從圖6可知：對(duì)于所選取的參量，當(dāng)菲涅耳波帶片的最大半徑數(shù)比較少時(shí)，軸上點(diǎn)的偏振度的極大值和極小值也較?。浑S著波帶數(shù)的增加，軸上點(diǎn)偏振度的極大值和極小值將變大.此外，隨著最大半徑數(shù)的增加，焦點(diǎn)附近的偏振度極大值的位置越靠近焦點(diǎn).

圖4 相干特性對(duì)軸上點(diǎn)偏振度的影響.Fig.4 Influence of the coherence on the degree of polarization for on－axial points

圖5 入射光偏振度對(duì)軸上點(diǎn)偏振度的影響Fig.5 Influence of the degree of polarization of the incident light on the degree of polarization for on－axial points

圖6 菲涅耳波帶片的最大半徑數(shù)對(duì)軸上點(diǎn)偏振度的影響Fig.6 Influence of the max radius number of Fresnel zone plates on the degree of polarization for on－axial points

3 結(jié)論

以電磁高斯－謝爾模型光束為例，基于交叉偏振統(tǒng)一理論和交叉譜密度傳輸公式，研究隨機(jī)電磁光束經(jīng)過菲涅耳波帶片后在衍射場(chǎng)中的光強(qiáng)及偏振度分布，得到如下4點(diǎn)結(jié)論.

（1）光強(qiáng)和偏振度分布隨著入射光的相干度、偏振度，以及波帶片的最大半徑數(shù)的變化而變化.

（2）光束經(jīng)菲涅耳波帶片后，在衍射場(chǎng)中的焦點(diǎn)處和1／3焦點(diǎn)處將出現(xiàn)聚焦光斑.

（3）入射光的相干度越高、菲涅耳波帶片的最大半徑數(shù)越多，所獲得的聚焦光斑越小.

（4）偏振度的極值將出現(xiàn)在焦點(diǎn)處附近，極值的大小與入射光的偏振度和相干度有關(guān)，極值的位置和菲涅耳波帶片的最大半徑數(shù)有關(guān).隨著最大半徑數(shù)的增加，極值的位置更加靠近焦點(diǎn).

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Transmission Properties of Stochastic Electromagnetic Beams Diffracted by Fresnel Zone Plates

SHU Jian－h(huán)ua1，CHEN Zi－yang1，PU Ji－xiong1，SUN Xi2
（1.College of Information Science and Engineering，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China；2.Basic Course Department，Jiangxi Public Security College，Nanchang 330000，China）

Based on the unified theory of coherence and polarization，Electromagnetic Gaussian Schell－model beam was taken as an example to study the transmission properties of random electromagnetic beams diffracted by Fresnel zone plates，the influence of correlation length，the degree of polarization of incident light，and the max radius number of zone plates on the light intensity and the degree of polarization.It is shown that the coherent property and the max radius number of zone plates will influence the focusing intensity，that the position of extremum of degree of polarization is near by the focus and the second focus，and it varies with the change of the max radius number of zone plates.

Fresnel zone plates；polarization；stochastic electromagnetic beams；diffraction；focusing intensity

錢筠 英文審校：吳逢鐵 ）

O 436.1

A

1000－5013（2011）06－0618－05

2010－10－06

舒建華（1955－），男，副教授，主要從事光的傳輸和量子光學(xué)的研究.E－mail：sjh＠hqu.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)資金資助項(xiàng)目（60977068）；中國(guó)科學(xué)院西安光學(xué)精密機(jī)械研究所瞬態(tài)光學(xué)與光子技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目（SKLST200912）；國(guó)務(wù)院僑辦科研基金資助項(xiàng)目（10QZR01）