李曉月，王 克，2

（1.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林長春 130024；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)（威海）數(shù)學(xué)系，山東威海 264209）

無閉軌Lienard系統(tǒng)拓?fù)浞诸愔薪Y(jié)構(gòu)α3β4和α3β6的實現(xiàn)

李曉月1，王 克1，2

（1.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林長春 130024；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)（威海）數(shù)學(xué)系，山東威海 264209）

在對無閉軌Lienard系統(tǒng)完整拓?fù)浞诸?2種的基礎(chǔ)上，證明了其中與結(jié)構(gòu)A＋B＋C＋D＋0相對應(yīng)的16種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)α3β4－1，…，α3β4－4以及結(jié)構(gòu)α3β6－1，…，α3β6－12都是可以實現(xiàn)的，并給出每一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有實現(xiàn)性的充分條件.

Lienard系統(tǒng)；閉軌；拓?fù)浞诸?；Gauss球面；Filippov變換

0 引言

眾所周知，Lienard系統(tǒng)

其中f，ɡ：R→R連續(xù)，且xɡ（x）＞0，x≠0.它是一類經(jīng)典的二階微分系統(tǒng)，在醫(yī)學(xué)、物理、機械、通訊等許多實踐領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用［1－2］，可以用來描述心臟的跳動，電路的循環(huán)，傳送帶的振蕩器的作業(yè)以及通訊設(shè)備的工作狀況等.它包含許多具有實際應(yīng)用背景的具體方程為特例，譬如：van der Pol方程［3］

其中μ是正常數(shù).以及在考慮無線電通信技術(shù)問題時［4－5］遇到的方程

其中L，r，C是正常數(shù)，分別代表感應(yīng)系數(shù)、電阻和電容，x是電流強度.

由于在實踐研究中的重要性，因而對方程（1）或它的等價平面系統(tǒng)

對于Lienard系統(tǒng)各種定性性質(zhì)的研究，例如穩(wěn)定性、解的有界性、振動性、極限環(huán)的問題以及其他定性性質(zhì)的研究，已經(jīng)有一批學(xué)者做了許多很好的工作.關(guān)于特定類型的微分系統(tǒng)的拓?fù)浞诸悊栴}無疑是基本的理論問題，其解決將使人們對該類微分系統(tǒng)的認(rèn)識進一步的深化，對各種性質(zhì)的研究工作具有很大的推動作用，對應(yīng)用技術(shù)的研發(fā)提供一個統(tǒng)一的理論平臺.

文獻［6－9］曾研究結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的沒有極限環(huán)的二次系統(tǒng)的拓?fù)浞诸悊栴}，文獻［10］研究了在系統(tǒng)軌道具有鏡像對稱性條件保證下，Lienard系統(tǒng)相平面軌線的拓?fù)浞诸悊栴}.這些工作雖然都已經(jīng)取得很大進展，但至今，問題仍未徹底解決.由此可以看出拓?fù)浞诸悊栴}一般是難度較大且非常繁雜的.

Lienard系統(tǒng)是一種基本的微分系統(tǒng).但對無條件限制的Lienard系統(tǒng)的拓?fù)浞诸悊栴}，目前系統(tǒng)的研究工作還很少.一個主要原因是Lienard系統(tǒng)一般來說并不是多項式系統(tǒng).因此使用研究二次系統(tǒng)拓?fù)浞诸惖姆椒▉硌芯縇ienard系統(tǒng)是很困難的.文獻［11－14］采用了不同于文獻［6－9］的方法研究了無閉軌Lienard系統(tǒng)的拓?fù)浞诸悊栴}，得到了完整的結(jié)果，證明了無閉軌Lienard系統(tǒng)共有72種可能的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).

對于無閉軌Lienard系統(tǒng)進行拓?fù)浞诸愂侵匾?，但是對于拓?fù)浞诸惖目尚行院蛯崿F(xiàn)性的證明更加重要，因為只有這樣，才更能說明該種分類的合理性和意義.以往很少有文獻在對Lienard系統(tǒng)進行拓?fù)浞诸惖幕A(chǔ)上，考慮其實現(xiàn)性的問題.在此方面文獻［10］做了一些很好的工作.但所考慮的Lienard系統(tǒng)都是有條件限制的，因此對于Lienard系統(tǒng)的分類并不是徹底的，可能存在的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)要少很多，實現(xiàn)性的證明也要簡單一些.

為此，我們在文獻［11－14］對無閉軌Lienard系統(tǒng)進行完整拓?fù)浞诸惖幕A(chǔ)上，證明了72種可能存在的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的每一種都是有可能實現(xiàn)的，即舉出滿足一定條件的Lienard方程的例子來說明其具有72種可能存在的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的一種.本文證明了其中的16種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)都是可以實現(xiàn)的，并給出每一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具體實現(xiàn)的充分條件.

在本文中，考慮了比方程（1）稍廣泛的平面系統(tǒng)方程（5）是無閉軌的.令

采用和文獻［11］相同的記號，把系統(tǒng)（5）的軌線分為以下5類：

定理1無閉軌Lienard系統(tǒng)（5）的軌線可以分為9類：第一類用A＋0表示，包括所有其軌線屬于A∪O的無閉軌Lienard系統(tǒng)；第二類用B＋0表示，包拓所有其軌線屬于B∪O的無閉軌Lienard系統(tǒng)；第三類用A＋C＋0表示，包括所有其軌線屬于A∪C∪O的無閉軌Lienard系統(tǒng).類似的，其余6類分別是：B＋C＋0，A＋D＋0，B＋D＋0，A＋C＋D＋0，B＋C＋D＋0，以及A＋B＋C＋D＋0.它們的定義完全可以類似上面寫出，此處從略.為方便起見，把原點O（0，0）記為點0.

定理2在Gauss球面上，0點有3種可能性：（α1）沒有橢圓扇形；（α2）有一個有界橢圓扇形；（α3）有一個無界橢圓扇形.

定理3在Gauss球面上，奇點∞有如下6種可能性：（β1）沒有橢圓扇形；（β2）只有一個有界橢圓扇形（不連接0與∞）；（β3）只有兩個有界橢圓扇形，此外無其他D類軌線；（β4）只有一個無界橢圓扇形；（β5）有兩個有界橢圓扇形，且存在D類軌線，它與∞點構(gòu)成的奇閉軌所圍成的閉區(qū)域包含這兩個橢圓扇形在內(nèi)；（β6）只有一個有界橢圓扇形和一個無界橢圓扇形.

定理4若α3，β4成立，則系統(tǒng)（5）有4種可能的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)：α3β4－1，α3β4－2，α3β4－3和α3β4－1.

定理5若α3β6成立，則系統(tǒng)（5）有12種可能的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)：α3β6－1，α3β6－2，…，α3β6－12.

本文的主要安排如下：首先證明了4種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)α3β4－1，…，α3β4－4是可以實現(xiàn)的，并給出每一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具體實現(xiàn)的充分條件；接著證明了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)α3β6－1，…，α3β6－12都是可以實現(xiàn)的，并給出每一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具體實現(xiàn)的充分條件.

其中F，ɡ：R→R連續(xù)，且F（0）＝0，xɡ（x）＞0，x≠0，且總假設(shè)系統(tǒng)（5）的軌線滿足唯一性.本文總假設(shè)

Filioppov變換的方法［15］在Lienard系統(tǒng)的研究工作中有廣泛的應(yīng)用.我們在今后也要大量應(yīng)用這個方法，首先對Lienard系統(tǒng)（5）作Filippov變換，則

1 4種α3β4結(jié)構(gòu)的實現(xiàn)

1.1 α3β4－1，…，α3β4－4的實現(xiàn)

首先在右半平面考慮Lienard系統(tǒng)

易見（8）式的奇點0是一個退化結(jié)點.容易證明對Y＋上的任意點A，γ＋（A）必與F＋相交于點B，然后進入奇點0.令點A沿Y＋向上方趨于無窮，則B點將沿直線y＝2x向右上方趨于無窮.作直線x＝1，設(shè)直線x＝1與直線y＝2x相交于點C.則當(dāng)y A足夠大時，將有y B＞y C.這時γ＋（B）將與直線x＝1相交于點D.當(dāng)點A沿Y＋向上運動時，D點將沿直線x＝1向下運動，但始終保持在點（1，0）的上方.故當(dāng)A沿Y＋向上方趨于無窮時，D點必有極限點D＊，且y D＊≥0.容易證明y D＊＞0.

圖1 方程（8）的局部軌線結(jié)構(gòu)

在Y－上任取一點E，則γ－（E）必與直線x＝1相交于G.令E點沿Y－向上趨于點0，則G點沿直線x＝1向上運動，并趨于點G＊.顯然應(yīng)有y G＊≤y D＊.見圖1.下面我們要證明y G＊＝y(tǒng) D＊，即G＊＝D＊.

容易求出（8）式的通解為

其中C1，C2為任意常數(shù).在直線y＝2x上取點B（a，2a），a＞0，則容易求得過點B的（8）式的軌線γ（B）的方程為

由（11）式減（10）式得

由（11）式比（10）式得

因為a＞0，由（13）式易見y D＞1.故y D＊≥1.若y D＊＞1，則在（13）式的兩端令a→＋∞，也就是令B點沿直線y＝2x向右上方趨于無窮.此時D→D＊，故（13）式的左端y D→y D＊.因為a→＋∞時，

由此y D＊＝1，矛盾.即D＊的坐標(biāo)為（1，1）.

取點e（0，b）∈Y－，b＜0.則由（9）式求得過點E的（8）式的軌線γ（E）的方程為

類似上面的證明，由（14），（15）式消去t得到

用類似上面的分析得到如下的結(jié)論：在直線y＝－2x上任取一點H，則γ＋（H）必與Y＋相交于點I，而γ－（H）將進入奇點0.若x H＜－1，則γ－（H）必與直線x＝－1相交于點J.當(dāng)點H沿直線y＝－2x向左上方趨于無窮時，I點將沿Y＋向上方趨于無窮.而J點將向下趨于一點J＊，且y J＊＝1.在Y－上任取一點E，則γ＋（E）將與直線x＝－1相交于點K，當(dāng)點E沿Y－向上趨于點0時，K點將向上趨于點J＊.

現(xiàn)在考慮平面Lienard系統(tǒng)

圖2 方程（19）的軌線結(jié)構(gòu)

綜合上面對系統(tǒng)（8）和系統(tǒng)（18）的討論.我們斷言在Gauss球面上，系統(tǒng)（19）的奇點0具有一個無界的橢圓扇形，∞點具有一個無界的橢圓扇形.而γ（D＊）∈A和γ（J＊）∈B為這兩個橢圓扇形的分界線.0點和∞點沒有拋物扇形.因而系統(tǒng)（19）具有結(jié)構(gòu)α3β4－1.見圖2，為了方便起見，今后我們?nèi)杂猛ǔ５姆绞剑严到y(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)畫在一個圓內(nèi)，但要注意把整個圓周看成一個點，即∞點.

現(xiàn)在令

我們在右半平面考慮方程

在折線y＝p（x）上取點A1，x A1＞1.設(shè)過點A1的系統(tǒng)（8）和系統(tǒng)（20）的軌線分別為γ（8）（A1）和γ（20）（A1）.顯然當(dāng)x＞1時有p（x）＞2x；而當(dāng)0≤x≤1時，p（x）＝2x.

γ（＋20）（A1）必與直線x＝1相交于點L.令點A1沿折線y＝p（x）向右方運動，則點L將沿直線x＝1向下運動，由比較定理易知，γ＋（8）（A1）位于γ＋（20）（A1）的右下方.由此推得y L≥y D＊.因而若A1點沿折線y＝p（x）向右方趨于無窮時，L點將沿直線x＝1向下趨于某一點L＊，且y L＊≥y D＊.

圖3 方程（20）的局部軌線結(jié)構(gòu)

由上面的討論易知Lienard系統(tǒng)

具有結(jié)構(gòu)α3β4－2.見圖4.

圖4 方程（21）的軌線結(jié)構(gòu)

圖5 方程（22）的軌線結(jié)構(gòu)

圖6 方程（23）的軌線結(jié)構(gòu)

具有結(jié)構(gòu)α3β4－4.見圖6.于是我們已證明了如下定理：

定理6拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)α3β4－1，α3β4－2，α3β4－3和α3β4－4都是能夠?qū)崿F(xiàn)的.

1.2 一般性定理

定理7設(shè)G（±∞）＝＋∞.

注意函數(shù)P（u）與前面定義的函數(shù)p（x）在性質(zhì)上的相似之處，在左半平面，系統(tǒng)（5）仍與系統(tǒng)（18）等價.完全類似于前面對系統(tǒng)（20）的討論，我們可以對系統(tǒng)（28）施以同樣的論證.可以證明，系統(tǒng)（28）的奇點0在右半平面有一個由A類軌線構(gòu)成的拋物扇形.于是系統(tǒng)（5）的奇點0在右半平面也有一個由A類軌線構(gòu)成的拋物扇形.亦即系統(tǒng)（5）也具有結(jié)構(gòu)α3β4－2.

和2°的證明類似，3°和4°的證明也完全類似于對系統(tǒng)（22）的證明，以及對系統(tǒng)（23）的討論.為簡捷起見，此處從略.

2 12種α3β6結(jié)構(gòu)的實現(xiàn)

2.1 α3β6－1，α3β6－7，α3β6－11的實現(xiàn)

設(shè)F1（z），z＞0，連續(xù).F1（0）＝0，且滿足：

引理1系統(tǒng)（29）具有一個有界的橢圓扇形，橢圓扇形的外面被閉軌所充滿.

圖7 方程（30）的局部軌線結(jié)構(gòu)

證明對系統(tǒng)（29）實行Filippov變換，則系統(tǒng)（29）在右、左二半平面都與方程（6）等價.由條件1°知系統(tǒng)（29）的0點存在一個橢圓扇形.由條件2°知此橢圓扇形是有界的，且系統(tǒng)（29）無D類軌線.因為系統(tǒng)（29）在右、左二半平面都與方程（6）等價，由向量場的對稱性易證橢圓扇形以外的系統(tǒng)（29）的軌線都是閉軌.

證明對系統(tǒng)（30）實行Filippov變換，則系統(tǒng)（30）在右、左二半平面都與方程（6）等價，其中z∈（0，b）.參考系統(tǒng)（29）的性質(zhì)，容易證明如下結(jié)論：

（1）對Y＋上的點P，y P∈（0，y A），系統(tǒng)（30）的過點P的軌線γ（30）（P）∈C.0點的橢圓扇形的邊界軌線向左右無限延伸.故系統(tǒng)（30）的0點有一個無界的橢圓扇形.

（2）對Y＋上的點P，y P≥y A，γ（30）（P）∈D.故∞點有一個有界的橢圓扇形.

（3）對任意點P∈Y－，γ（30）（P）∈D.故∞點還有一個無界的橢圓扇形.

（4）系統(tǒng)（30）只有一條A類軌線和一條B類軌線.它們在Filippov變換下，都對應(yīng)于方程（6）的過點B的積分曲線在曲線y＝F1（z）下方的一段曲線.見圖7.因而系統(tǒng)（30）具有結(jié)構(gòu)α3β6－1.

定理9系統(tǒng)

具有結(jié)構(gòu)α3β6－11.

證明對系統(tǒng)（31）實行Filippov變換，則系統(tǒng)（31）在右、左二半平面都與方程（6）（z∈（0，a））以及方程（7）（z∈（0，b））等價.

在z－y右半平面內(nèi)的曲線y＝F1（z）上取點C（a，F(xiàn)1（a））.設(shè)方程（6）的過點C的積分曲線與Y＋相交于點D.因為a＜b，故點D在點A的下方.定義

設(shè)方程（6）的過點A的積分曲線與直線相交于點E和G，且y＜y.記點H為過點D的積分曲

GE線與直線的位于曲線y＝F（z）之下的交點.回到x－y右半平面.設(shè)點G和點H的對應(yīng)點分別

1為G′和H′，γ（H′）∈A.它們都在直線x＝x H′上.而C點在對應(yīng)點為y＝F（z）上的橫坐標(biāo)為∞的點.容易證明如下結(jié)論：

圖8 方程（31）的局部軌線結(jié)構(gòu)

（1）對任意的P∈Y＋，y P∈（0，y D），γ（31）（P）∈C，0點的橢圓扇形的邊界軌線向右方無限延伸，故系統(tǒng)（31）的0點有一個有界的橢圓扇形；

（2）對任意的P∈Y＋，y P∈［y D，y A），γ（31）（P）∈B，0點有一個B類拋物扇形；

（3）對任意的P∈Y＋，y P≥y A，γ（31）（P）∈D，系統(tǒng)（31）的∞點有一個有界的橢圓扇形；

（4）對任意的P∈Y－，γ（31）（P）∈D，∞點有一個無界的橢圓扇形；

（6）系統(tǒng)（31）只有一條B類軌線向左趨于無窮，見圖8.

因而系統(tǒng)（31）具有結(jié)構(gòu)α3β6－11.

定理10系統(tǒng)

具有結(jié)構(gòu)α3β6－7.

證明與定理9的證明類似.故從略.

2.2 α3β6－4，α3β6－12，α3β6－8的實現(xiàn)

設(shè)系統(tǒng)（5）滿足G（±∞）＝＋∞，且對系統(tǒng)（5）實行Filippov變換后有z，z＞0.由定理7知系統(tǒng)（5）具有結(jié)構(gòu)α3β6－1.即系統(tǒng)（5）的0點具有一個無界的橢圓扇形，位于上半平面；∞點具有一個無界的橢圓扇形；且系統(tǒng)（5）具有一條A類軌線和一條B類軌線，分別位于第一和第二象限.

取點A1∈Y＋.設(shè)方程（6）的過點A1的積分曲線與曲線y＝F1（z）相交于點B1.記z B1＝b1.取定a1∈（0，b1）.取ɡ1：R→R連續(xù)，滿足xɡi（x）＞0，x≠0，i＝4，5，6.并且

圖9 方程（34）的局部軌線結(jié)構(gòu)

（1）對任意的P∈Y＋，y P∈（0，y A1），γ（34）（P）∈C，0點的橢圓扇形的邊界軌線向左右無限延伸，故系統(tǒng)（34）的0點存在一個無界的橢圓扇形；

（2）對任意的P∈Y＋，y P≥y A，γ（34）（P）∈D，∞點存在一個有界的橢圓扇形；

（3）對任意的P∈Y－，γ（34）（P）∈D，∞點存在一個無界的橢圓扇形；B類拋物扇形，見圖9.

故定理11成立.

定理12系統(tǒng)

具有結(jié)構(gòu)α3β6－12.

證明對系統(tǒng)（35）實行Filippov變換，則系統(tǒng)（35）在右、左二半平面分別與方程（6）（z∈（0，a1））以及方程（7）（z∈（0，b1））等價.

圖10 方程（35）的局部軌線結(jié)構(gòu)

（1）對任意的P∈Y＋，y P∈（0，y D1），γ（35）（P）∈C，0點的橢圓扇形的邊界軌線向右方無限延伸，故系統(tǒng)（35）的0點有一個無界的橢圓扇形；

（2）對任意的P∈Y＋，y P∈［y D1，y A1），γ（35）（P）∈B，0點有一個B類拋物扇形；

（3）對任意的P∈Y＋，y P≥y A1，γ（35）（P）∈D，∞點有一個有界的橢圓扇形；

（4）對任意的P∈Y－，γ（35）（P）∈D，∞點還有一個無界的橢圓扇形；

故系統(tǒng)（35）具有結(jié)構(gòu)α3β6－12.

具有結(jié)構(gòu)α3β6－8.

證明與定理12的證明類似.故從略.

對以上的6種α3β6型結(jié)構(gòu)，即α3β6－1，α3β6－4，α3β6－7，α3β6－8，α3β6－11和α3β6－12的實現(xiàn)問題，我們是采用把已知的結(jié)構(gòu)向左右兩邊無限“拉開”的辦法來獲得所需要的結(jié)構(gòu).對其余6種α3β6型結(jié)構(gòu)的實現(xiàn)問題，我們將采用“拼接”技巧來解決.

2.3 α3β6－5，α3β6－9，α3β6－6，α3β6－10，α3β6－2，α3β6－3的實現(xiàn)

引理2若（x（t），y（t）），t∈R，是系統(tǒng)（5）的軌線，則對任意k≠0，（kx（t），ky（t）），t∈R是系統(tǒng)

證明由ɡ7和F（7）的構(gòu)造知，系統(tǒng)（38）的左半平面的相圖等同于系統(tǒng)（30）在左半平面的相圖，而系統(tǒng)（38）的右半平面的相圖則是下面的系統(tǒng)（39）在右半平面的相圖.由定理8知系統(tǒng)（30）具有結(jié)構(gòu)α3β6－1.考慮系統(tǒng)

由引理2知系統(tǒng)（39）的相圖是把系統(tǒng)（33）的相圖以原點為中心擴大k1倍而得到的.由k1的定義知，k1D＝A.設(shè)k1A＝Q.于是由系統(tǒng)（33）的性質(zhì)知：

證明系統(tǒng)（40）在右半平面的相圖與系統(tǒng)（30）在右半平面的相圖一樣，而系統(tǒng)（40）的左半平面的相圖則是由系統(tǒng)（31）在左半平面的相圖以原點為中心擴大k1倍而得到的.其余證明類似定理14，此處從略.

系統(tǒng)（41）的相圖是由系統(tǒng)（30）的右半相圖與系統(tǒng)（34）的左半相圖拼成的，而系統(tǒng)（42）的相圖則是由系統(tǒng)（30）的左半相圖與系統(tǒng)（34）的右半相圖拼成的.詳情從略.

［1］CESARI L.Asymptotic behavior and stability problems in ordinary differential equations［M］.Berlin：Springer－Verlag，1963：1－70.

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［11］王克.無閉軌Lienard系統(tǒng)的拓?fù)浞诸悾á瘢壕欧N粗結(jié)構(gòu)［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，1998，31（4）：1－6.

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［13］王克.無閉軌Lienard系統(tǒng)的拓?fù)浞诸悾á?）：64種可能性［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，1999，32（4）：14－18.

［14］王克，李曉月，李文學(xué).無閉軌Lienard系統(tǒng)的8種新軌線結(jié)構(gòu)［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，42（3）：1－6.

［15］張芷芬，丁同仁，黃文灶，等.微分方程定性理論［M］.北京：科學(xué)出版社，1985：203－240.

Realization of the structuresα3β4andα3β6 based on the topological classification of lienard systems without closed orbit

LI Xiao－yue1，WANG Ke1，2

（1.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China；2.Department of Mathematics，Harbin Institute of Technology（Weihai），Weihai 264209，China）

Lienard systems without closed orbit were given a complete classification with 72 kinds of possible topological structures.Based on the results，this paper prove that the 16 kinds of possible topological structures：α3β4－1，…，α3β4－4，α3β6－1，…，α3β6－12，can be realized and give the sufficient realization conditions.

Lienard systems；closed orbit；topological classification；Gauss sphere；Filippov transformation

O 175.12

110·44

A

1000－1832（2011）04－0001－12

2010－10－15

國家自然科學(xué)基金資助項目（10701020；11171056）；吉林省科技發(fā)展計劃項目（20101593）；中國博士后科學(xué)基金資助項目

（20070420949）.

李曉月（1975—），女，博士，副教授，主要從事動力系統(tǒng)及應(yīng)用微分方程理論研究；王克（1947—），男，博士，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要從事微分方程理論及應(yīng)用研究.

陶 理）