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        兩個(gè)小題目的啟示

        2011-12-25 08:05:50景慧麗楊寶珍
        關(guān)鍵詞:計(jì)算錯(cuò)誤中值工程學(xué)院

        景慧麗,楊寶珍,張 輝

        (第二炮兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部,陜西西安 710025)

        兩個(gè)小題目的啟示

        景慧麗,楊寶珍,張 輝

        (第二炮兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部,陜西西安 710025)

        由兩道小題目的求解提出二重積分的中值定理的合理應(yīng)用.

        二重積分;積分中值定理;二次積分;極限;計(jì)算

        有關(guān)二重積分的計(jì)算是一個(gè)難點(diǎn)問題,本文就兩個(gè)題目的不同解答,提出要準(zhǔn)確理解并合理運(yùn)用二重積分的中值定理來解題.

        下面的兩道題,因?yàn)槭褂昧瞬煌椒?,出現(xiàn)了兩個(gè)不同的結(jié)果.哪個(gè)對(duì)?哪個(gè)錯(cuò)?錯(cuò)在哪里?

        定理(二重積分的中值定理)[1]設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),σ是D的面積,則在D上至少存在一點(diǎn)(ξ,η)使得

        解法1由于函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域}上連續(xù),所以由二重積分的中值定理可得,存在(ξ,η)∈D,使得

        此時(shí),本題就無法繼續(xù)進(jìn)行下去了.

        顯然,解法1是正確的,其求解過程比較嚴(yán)密,無理論及計(jì)算錯(cuò)誤.那么,解法2為什么是錯(cuò)的呢?錯(cuò)在哪里了呢?問題出在試圖把二重積分計(jì)算出來這一步.由于被積函數(shù)是抽象函數(shù),而且化為二次積分之后,被積函數(shù)與變量ρ及θ都有關(guān)系,既無法計(jì)算其具體的值又無法用變上限積分求導(dǎo)公式來解,因此該解法是錯(cuò)誤的.

        兩種解法的結(jié)果截然不同.顯然,解法1是正確的,其求解過程嚴(yán)密,無理論及計(jì)算錯(cuò)誤.那么,解法2為什么是錯(cuò)的呢?錯(cuò)在哪里了呢?問題出在了

        這一步.我們可以從兩個(gè)方面來理解.

        (1)由于當(dāng)r→0+時(shí),盡管點(diǎn)(ξ,η)→(0,0),但是點(diǎn)(ξ,η)是以任意路徑和任意方式趨于(0,0)的,而r是以直線的方式趨于0+的,所以點(diǎn)(ξ,η)及變量r不能用同一個(gè)變量來表示.

        (2)由于ξ2+η2≤r2,如果把換成r,就意味著點(diǎn)(ξ,η)是在區(qū)域D的邊界即ξ2+η2=r2上取得,顯然和二重積分的積分中值定理不太一致,因?yàn)榉e分中值定理只說明點(diǎn)(ξ,η)的存在性,并沒有說明點(diǎn)(ξ,η)在什么地方取得,更沒說明一定在區(qū)域的邊界上取得.因此解法2是錯(cuò)誤的.

        像這類把二重積分和求極限結(jié)合起來的題目,通常是以下述形式給出的,

        其中m,n是大于零的整數(shù).其解法可以總結(jié)如下:

        (2)如果m≥n,通常兩種方法都可以用,但用二重積分的中值定理會(huì)更簡(jiǎn)單些.

        不難驗(yàn)證,如果應(yīng)用二重積分的中值定理會(huì)出現(xiàn)例2的情況,要么無法繼續(xù)計(jì)算,要么計(jì)算錯(cuò)誤.

        分析 由于m=n=4,顯然m≥n,所以應(yīng)先考慮應(yīng)用二重積分的中值定理,因此

        不難驗(yàn)證,如果先化簡(jiǎn)二重積分為二次積分然后再求極限結(jié)果也一樣,但是過程略顯繁瑣.

        [1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué):下[M].5版.北京:高等教育出版社,2002:78.

        Inspiration from Two Small Exercises

        JING Hui-li,YANG Bao-zhen,ZHANG Hui

        (Department of Basic Courses,The Second Artillery Engineering College,Xi’an710025,China)

        Proposed rational application of mean-value theorem of double integrals by solving two small exercises.

        double integral;mean-value theorem of integrals;quadratic integral;limit;calculation

        O172.2

        A

        1007-0834(2011)02-0015-02

        10.3969/j.issn.1007-0834.2011.02.005

        2011-03-14

        景慧麗(1983—),女,河南平頂山人,第二炮兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部教師.

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