景慧麗,楊寶珍,張 輝
(第二炮兵工程學院基礎部,陜西西安 710025)
兩個小題目的啟示
景慧麗,楊寶珍,張 輝
(第二炮兵工程學院基礎部,陜西西安 710025)
由兩道小題目的求解提出二重積分的中值定理的合理應用.
二重積分;積分中值定理;二次積分;極限;計算
有關二重積分的計算是一個難點問題,本文就兩個題目的不同解答,提出要準確理解并合理運用二重積分的中值定理來解題.
下面的兩道題,因為使用了不同方法,出現(xiàn)了兩個不同的結(jié)果.哪個對?哪個錯?錯在哪里?
定理(二重積分的中值定理)[1]設函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),σ是D的面積,則在D上至少存在一點(ξ,η)使得
解法1由于函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域}上連續(xù),所以由二重積分的中值定理可得,存在(ξ,η)∈D,使得
此時,本題就無法繼續(xù)進行下去了.
顯然,解法1是正確的,其求解過程比較嚴密,無理論及計算錯誤.那么,解法2為什么是錯的呢?錯在哪里了呢?問題出在試圖把二重積分計算出來這一步.由于被積函數(shù)是抽象函數(shù),而且化為二次積分之后,被積函數(shù)與變量ρ及θ都有關系,既無法計算其具體的值又無法用變上限積分求導公式來解,因此該解法是錯誤的.
兩種解法的結(jié)果截然不同.顯然,解法1是正確的,其求解過程嚴密,無理論及計算錯誤.那么,解法2為什么是錯的呢?錯在哪里了呢?問題出在了
這一步.我們可以從兩個方面來理解.
(1)由于當r→0+時,盡管點(ξ,η)→(0,0),但是點(ξ,η)是以任意路徑和任意方式趨于(0,0)的,而r是以直線的方式趨于0+的,所以點(ξ,η)及變量r不能用同一個變量來表示.
(2)由于ξ2+η2≤r2,如果把換成r,就意味著點(ξ,η)是在區(qū)域D的邊界即ξ2+η2=r2上取得,顯然和二重積分的積分中值定理不太一致,因為積分中值定理只說明點(ξ,η)的存在性,并沒有說明點(ξ,η)在什么地方取得,更沒說明一定在區(qū)域的邊界上取得.因此解法2是錯誤的.
像這類把二重積分和求極限結(jié)合起來的題目,通常是以下述形式給出的,
其中m,n是大于零的整數(shù).其解法可以總結(jié)如下:
(2)如果m≥n,通常兩種方法都可以用,但用二重積分的中值定理會更簡單些.
不難驗證,如果應用二重積分的中值定理會出現(xiàn)例2的情況,要么無法繼續(xù)計算,要么計算錯誤.
分析 由于m=n=4,顯然m≥n,所以應先考慮應用二重積分的中值定理,因此
不難驗證,如果先化簡二重積分為二次積分然后再求極限結(jié)果也一樣,但是過程略顯繁瑣.
[1] 同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學:下[M].5版.北京:高等教育出版社,2002:78.
Inspiration from Two Small Exercises
JING Hui-li,YANG Bao-zhen,ZHANG Hui
(Department of Basic Courses,The Second Artillery Engineering College,Xi’an710025,China)
Proposed rational application of mean-value theorem of double integrals by solving two small exercises.
double integral;mean-value theorem of integrals;quadratic integral;limit;calculation
O172.2
A
1007-0834(2011)02-0015-02
10.3969/j.issn.1007-0834.2011.02.005
2011-03-14
景慧麗(1983—),女,河南平頂山人,第二炮兵工程學院基礎部教師.