景慧麗，楊寶珍，張 輝

(第二炮兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西西安 710025)

兩個(gè)小題目的啟示

景慧麗，楊寶珍，張 輝

(第二炮兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西西安 710025)

由兩道小題目的求解提出二重積分的中值定理的合理應(yīng)用.

二重積分;積分中值定理;二次積分;極限;計(jì)算

有關(guān)二重積分的計(jì)算是一個(gè)難點(diǎn)問題，本文就兩個(gè)題目的不同解答，提出要準(zhǔn)確理解并合理運(yùn)用二重積分的中值定理來解題.

下面的兩道題，因?yàn)槭褂昧瞬煌椒?，出現(xiàn)了兩個(gè)不同的結(jié)果.哪個(gè)對(duì)?哪個(gè)錯(cuò)?錯(cuò)在哪里?

定理(二重積分的中值定理)［1］設(shè)函數(shù)f(x，y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，σ是D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)(ξ，η)使得

解法1由于函數(shù)f(x，y)在閉區(qū)域}上連續(xù)，所以由二重積分的中值定理可得，存在(ξ，η)∈D，使得

此時(shí)，本題就無法繼續(xù)進(jìn)行下去了.

顯然，解法1是正確的，其求解過程比較嚴(yán)密，無理論及計(jì)算錯(cuò)誤.那么，解法2為什么是錯(cuò)的呢?錯(cuò)在哪里了呢?問題出在試圖把二重積分計(jì)算出來這一步.由于被積函數(shù)是抽象函數(shù)，而且化為二次積分之后，被積函數(shù)與變量ρ及θ都有關(guān)系，既無法計(jì)算其具體的值又無法用變上限積分求導(dǎo)公式來解，因此該解法是錯(cuò)誤的.

兩種解法的結(jié)果截然不同.顯然，解法1是正確的，其求解過程嚴(yán)密，無理論及計(jì)算錯(cuò)誤.那么，解法2為什么是錯(cuò)的呢?錯(cuò)在哪里了呢?問題出在了

這一步.我們可以從兩個(gè)方面來理解.

(1)由于當(dāng)r→0+時(shí)，盡管點(diǎn)(ξ，η)→(0，0)，但是點(diǎn)(ξ，η)是以任意路徑和任意方式趨于(0，0)的，而r是以直線的方式趨于0+的，所以點(diǎn)(ξ，η)及變量r不能用同一個(gè)變量來表示.

(2)由于ξ2+η2≤r2，如果把換成r，就意味著點(diǎn)(ξ，η)是在區(qū)域D的邊界即ξ2+η2=r2上取得，顯然和二重積分的積分中值定理不太一致，因?yàn)榉e分中值定理只說明點(diǎn)(ξ，η)的存在性，并沒有說明點(diǎn)(ξ，η)在什么地方取得，更沒說明一定在區(qū)域的邊界上取得.因此解法2是錯(cuò)誤的.

像這類把二重積分和求極限結(jié)合起來的題目，通常是以下述形式給出的，

其中m，n是大于零的整數(shù).其解法可以總結(jié)如下:

(2)如果m≥n，通常兩種方法都可以用，但用二重積分的中值定理會(huì)更簡(jiǎn)單些.

不難驗(yàn)證，如果應(yīng)用二重積分的中值定理會(huì)出現(xiàn)例2的情況，要么無法繼續(xù)計(jì)算，要么計(jì)算錯(cuò)誤.

分析 由于m=n=4，顯然m≥n，所以應(yīng)先考慮應(yīng)用二重積分的中值定理，因此

不難驗(yàn)證，如果先化簡(jiǎn)二重積分為二次積分然后再求極限結(jié)果也一樣，但是過程略顯繁瑣.

［1］ 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué):下［M］.5版.北京:高等教育出版社，2002:78.

Inspiration from Two Small Exercises

JING Hui-li，YANG Bao-zhen，ZHANG Hui

(Department of Basic Courses，The Second Artillery Engineering College，Xi’an710025，China)

Proposed rational application of mean-value theorem of double integrals by solving two small exercises.

double integral;mean-value theorem of integrals;quadratic integral;limit;calculation

O172.2

A

1007－0834(2011)02－0015－02

10.3969/j.issn.1007－0834.2011.02.005

2011－03－14

景慧麗(1983—)，女，河南平頂山人，第二炮兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部教師.