張 瑞，蔣 珍

(1.寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西寶雞 721013;2.中原工學(xué)院電子信息學(xué)院，河南鄭州 450011)

定積分不等式證明方法的研究

張 瑞1，蔣 珍2

(1.寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西寶雞 721013;2.中原工學(xué)院電子信息學(xué)院，河南鄭州 450011)

通過利用定積分的定義，已知不等式、泰勒公式、積分中值定理、輔助函數(shù)法、二重積分等方法研究了有關(guān)定積分不等式的證明方法及規(guī)律.

定積分;積分性質(zhì);中值定理;積分不等式;泰勒公式

0 引言

含定積分的不等式一般可以利用已知不等式如柯西—施瓦茲不等式、積分中值定理、輔助函數(shù)等方法來證明.本文歸納并列舉了幾種定積分不等式的證明方法，主要有利用已知不等式、泰勒公式、積分中值定理以及輔助函數(shù)法等方法.

1 利用定積分的定義

主要是利用定積分的定義，通過將閉區(qū)間［a，b］分割、求和并求當(dāng)T→0時(shí)和的極限，比較積分大小則可通過比較和的極限來實(shí)現(xiàn).

分析題中所給的已知條件較少，在這種條件下利用定積分的定義將區(qū)間分割求極限比較簡(jiǎn)單.

2 利用柯西—施瓦茲不等式

分析在此題中出現(xiàn)了f2(x)，g2(x)因此可以聯(lián)想到施瓦茲不等式.

3 利用泰勒公式

如果函數(shù)f(x)的二階和二階以上導(dǎo)數(shù)存在且有界，可利用泰勒公式來證明.

4 利用積分中值定理

分析由已知條件可知函數(shù)具有連續(xù)單調(diào)性，可考慮使用積分第一中值定理來證明.

5 構(gòu)造輔助函數(shù)法

當(dāng)已知被積函數(shù)連續(xù)，并沒有告知可導(dǎo)時(shí)，通常用此法最為方便，主要利用輔助函數(shù)的單調(diào)性證明.只需做輔助函數(shù)將結(jié)論中的積分上(下)限換成變量，移項(xiàng)使不等式一端為0，則另一端即為所作的輔助函數(shù).

6 利用凸函數(shù)的性質(zhì)

如果函數(shù)f(x)在［a，b］上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，那么

7 利用二重積分

當(dāng)被積函數(shù)積分區(qū)間相同，利用變量的對(duì)稱性及二次積分轉(zhuǎn)化為二重積分證明可以帶來很大方便.

［1］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.3版.北京:高等教育出版社，2001.

［2］ 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.2版.北京:高等教育出版社，1983.

［3］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.6版.北京:高等教育出版社，2007.

［4］ 辛小龍，劉新平.高等數(shù)學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2007.

On Proof Method of Definite Integral Inequalities

ZHANG rui1，JIANG Zhen2

(1.Department of Mathematics，Baoji University of Arts and Sciences，Baoji721013，China; 2.College of Electronic and Information，Zhongyuan University of Technology，Zhengzhou450011，China)

Researches definite integral inequality proof methods and rules by such methods as definition of definite integral，known inequality，Taylor formula，and integral mean value theorem，method of auxiliary function and double integral method.

definite integral;integral property;mean value theorem;integral inequality;Taylor formula

O172.2

A

1007－0834(2011)02－0017－03

10.3969/j.issn.1007－0834.2011.02.006

2010－12－05

河南省科技廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2010A110011);寶雞文理學(xué)院重點(diǎn)項(xiàng)目(ZK09129)

張 瑞(1979—)，女，陜西西安人，寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)系教師.