桑芝芳 蔣新晨

(蘇州大學物理科學與技術學院,江蘇蘇州 215006)

基于 COMSOL軟件下截錐體電阻的計算

桑芝芳 蔣新晨

(蘇州大學物理科學與技術學院,江蘇蘇州 215006)

本文應用 Comsol軟件討論了截錐體內電勢和電流的分布,并計算了截錐體的電阻.

截錐體;電勢;電阻;Com sol軟件

1 引言

穩(wěn)恒條件下導體內電勢、電流的分布,不規(guī)則或不均勻導體電阻的計算等問題是電磁學教學的基本問題.在電磁學教材[1,2]中就有關于求解截錐體電阻的習題,甚至在 2009年江蘇省高考卷中也以實驗題的形式出現了這樣的問題.另外,有一些微電子器件呈錐體形狀,例如真空微電子器件中最常用的陰極就是尖錐,其電阻可影響尖錐的場致發(fā)射特性.因此對截錐體中電勢、電流的分布以及截錐體電阻等問題的討論不僅對電磁學教學有很好的參考價值,而且也有一定的實際意義.電磁學教材中主要應用公式求解截錐體的電阻,這種方法在截錐體兩端面半徑近似相等 (即截錐體近似于圓柱體)時是一種比較好的近似方法;但兩端面半徑相差較大時,該方法誤差就較大,不夠準確.要嚴格求解截錐體電阻,首先是要解決一個關于電勢φ的邊值問題,然后再應用電勢、電流和電阻的關系求出電阻.事實上要得到這一問題的解析解非常困難,一般只能通過數值方法求解.文獻[3]提出了用差分法求解的思路與步驟,但比較煩瑣.本文應用 Comsol軟件可方便、形象地顯示出截錐體內電勢、電流的分布,從而求出電阻.

2 求解截錐體電阻的理論模型

問題如圖1所示,截圓錐體電阻率為ρ;長為 L;兩端面的半徑分別為 a、b;試計算此錐體兩端面之間的電阻.

方法 1應用公式求解,截錐體的電阻為

此方法相當于將截錐體看成垂直于軸的一系列薄片串聯而成,若在兩端面加上一定的電勢差,則在截錐體內的等勢面為垂直于軸的一系列平面,電流將平行于軸向流動,如圖2所示,這顯然不妥.尤其在兩端面半徑相差較大時,會產生較大誤差.

方法 2通過邊值問題求解.若在截錐體兩端加上恒定的電勢差,則導體內有恒定電流 (設恒定電流密度為 J),由恒定電流條件有Δ·J=0,又根據歐姆定律所以有由于截錐體材料均勻,電阻率ρ為常數,所以Δ·E=0,其中 E為導體內部恒定電場強度.恒定電場和靜電場類似,與電勢φ的關系為 E=-Δφ,所以導體內部電勢φ滿足拉普拉斯方程

在邊界上滿足邊界條件,因而兩端面上有

其中,φa,φb分別為 x=a,x=b兩端面上的電勢,側面上有

其中 n為導體側面的外法線方向.

求解上述邊值問題,可得到導體內部的電勢分布,根據歐姆定律,導體內部的電流密度為 J=通過導體任一截面的總電流為

從而求得導體電阻為

3 用 Comsol軟件求解截錐體電阻

上述邊值問題是一個關于電勢φ的橢圓形方程的邊值問題,用解析法求解非常困難,本文用Comsol軟件可方便地求解上述問題.

Comsol Multiphysics(簡稱 Com sol)是一款大型的高級數值仿真軟件,目前廣泛應用于科學研究、教學研究以及工程計算中,它具有高效的計算性能,實現了任意多物理場的高度精確的數值仿真.Comsol省去了繁雜的轉換和編程過程,提供了現成的求解模塊來對問題進行求解.本文利用了其中的AC/DC模塊對截錐體電阻進行了基于有限元的仿真模擬.

具體建模過程 為了全面地獲得截錐體的整個電勢、電流分布等物理圖像,我們首先運用 AC/DC模塊建立了截錐體電阻的三維模型.方法是:在 Comsol界面下選擇 AC/DC模塊下的子模塊——傳導介質 DC,并選擇空間維度為 3D.進入圖形用戶界面后,運用繪圖工具進行幾何建模,并設置求解域電阻率和邊界條件 (為方便起見,截錐體一端面接地,另一端面電勢為φ0=10V).設置完畢后,使用自由網格剖分功能初始化網格,并在適度細化網格后使用共軛梯度求解器求解模型.最后,在 Comsol后處理模式下可以觀察到三維截錐體的電勢分布、電流分布等一系列的模擬效果圖.

圖3～圖6從不同角度形象、直觀地反映了電勢、電流的分布規(guī)律,圖3(a)、(b)、(c)分別為=0.3,0.6,0.9時截錐體的電勢分布縱截面圖;圖4為時的切面圖;圖5(a)、(b)分別為=0.05,0.5等勢面立體圖.從圖中可以看出,它完全符合穩(wěn)恒電場的規(guī)律,結果是比較準確的.從圖3～圖5中可以看出,等勢面不是垂直于軸的平面,而是近似于球冠面,隨著的增大,等勢面越來越接近于平面.從圖6可以看出,電流并不是沿軸向傳播,在左右兩端面處,電流垂直于端面,在中段電流呈分散形,在側面與端面交界處,沒有電流線,電流為零.這是由于電場線既要平行于側面,又要垂直于端面,因此在其交界處電場為零,從而電流為零.

[1] 馬文蔚等.物理學 (中冊)[M].北京:高等教育出版社,1999

[2] 趙凱華.電磁學[M].北京:高等教育出版社,1985

[3] 張祖壽.錐形體電阻的計算[J].大學物理,1994,(10):12

CALCULATION OF RESISTANCE OF A TRUNCATED CONE CONDUCTOR BASED ON COMSOL SOFTWARE

Sang Zhifang Jiang Xinchen
(College of Physical Science and Technology,Soochow University,Suzhou,Jiangsu 215006)

The distribution of electrical potential and current in the truncated cone was discussed in this paper,by using the Com sol software.The resistance of the truncated cone was also calculated.

truncated cone;electrical potential;resistance;Com sol software

2010-05-12;

2010-09-03)

江蘇省高校自然科學基金資助項目(Q2108703)