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        一類新擬移位映射和M?bius帶上的吸引子*

        2011-12-17 09:42:12俞春葉陳鳳娟
        關(guān)鍵詞:共軛刻畫移位

        俞春葉, 陳鳳娟

        (浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江金華 321004)

        0 引言

        1967年,Smale[1]構(gòu)造了著名的馬蹄模型,并運(yùn)用2-符號(hào)空間Σ2上的移位映射刻畫了它的混沌動(dòng)力學(xué)性質(zhì).許多復(fù)雜的自映射存在子系統(tǒng)(X,f)與(Σ,σ)拓?fù)涔曹?,其中Σ為相?yīng)的符號(hào)空間,σ為移位映射.

        近年來,一些文獻(xiàn)給出了不同于傳統(tǒng)移位映射的擬移位映射或部分變號(hào)移位映射,并用這些擬移位映射刻畫了某些自映射的混沌動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[2-4].

        式(1)中

        文獻(xiàn)[3]用該類映射描述了Cantor集及平面Cantor集上的混沌映射.

        式(3)中,對(duì)稱元a^i的意義同式(2).文獻(xiàn)[2]對(duì)τ2給出了一個(gè)具有奇異吸引子的模型,且證明了(Σ2,τ2)與移位映射(Σ2,σ)拓?fù)涔曹棧?/p>

        本文了給出雙邊符號(hào)空間Σ2上的另一類新擬移位映射,它是半符號(hào)空間上的自同胚映射,并用它刻畫了M?bius帶上一類新映射?F的混沌動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

        1 一類新的擬移位映射

        定義 1 設(shè)集合 A={a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2|a0=0}?Σ2;B={a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2|a0=1}?Σ2.顯然,A∪B=Σ2.稱這樣的 A 和 B 為半符號(hào)空間.

        定義 2 D={a=(… a-n…a-2a-1;a0a1a2… an…)∈Σ2|a-1=a0=a1=0}?A.

        定義3 定義一類新的擬移位映射 τ3:Σ2→Σ2為:對(duì)?(…a-n…a-2a-1;a0a1a2…an…)∈Σ2,有

        式(4)中,對(duì)稱元a^i的意義同式(2).稱τ3為符號(hào)空間Σ2上的擬移位映射.

        為便于說明,用符號(hào)“-1”代替“0”,符號(hào)“1”不變.

        定義映射 ζ:Σ2→Σ2為:對(duì)?a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2,有

        其中,“×”為傳統(tǒng)意義上的乘法運(yùn)算.于是

        比較式(4)與式(5),得ζ與τ3具有相同的作用.

        定理1 映射ζ是半符號(hào)空間A的自同胚.

        證明 先證映射ζ既是單射又是滿射.易證ζ是單射,故只證ζ為滿射.對(duì)?s=(…s-n…s-1;(-1)

        因此,映射ζ在半符號(hào)空間A上既是一一映射,又是連續(xù)映射,從而映射ζ是半符號(hào)空間A的自同胚.定理1證畢.

        性質(zhì)1 映射ζ有且僅有不動(dòng)點(diǎn)a=(…(-1)(-a0)(-1)(-a0);(-1)a0a0a0…),a0∈{1,-1}.

        性質(zhì)2 存在同胚映射 η:Σ2→Σ2,對(duì)?a ∈D?A,有 σ ?η(a)=η ?ζ(a).

        證明 取a=(…a-n…a-2(-1);(-1)(-1)a2…an…)∈D,作同胚映射η滿足

        從而

        同時(shí)

        因此,σ ?η(a)=η ?ζ(a).性質(zhì)2證畢.

        2 M?bius帶上的奇異吸引子

        文獻(xiàn)[1]將 M?bius帶表示為 M={(x,p)|p=reiπx,x ∈[0,1),r∈[-0.5,0.5)},同時(shí)在 M 上定義連續(xù)自映射F,且用一類擬移位映射刻畫了F在不變集Λ上的混沌動(dòng)力學(xué)性質(zhì).本文給出M的另一種表示方法及其上一類新的映射?F,并研究了它的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).現(xiàn)將M?bius帶表示為

        定義

        M0與M1為M?bius帶M上相接的兩部分,如圖1所示.

        圖1 M?bius帶及其上映射?F的作用

        在M0∪M1上定義連續(xù)自映射?F為

        由以上分析及Λ'的結(jié)構(gòu)知,為了得到?F在Λ'上的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),需在A中去除某些序列.記?A={s∈A| ?s=(…s-n…s-1;(-1)s1…sn…),?N∈Z+,?i≥N,si≠1}.

        定理2(?F,Λ')與(τ3,?A)拓?fù)涔曹棧?/p>

        證明 關(guān)于符號(hào)的記法及二進(jìn)制展開等相關(guān)知識(shí)可參考文獻(xiàn)[2,5].從M?bius帶的表示方法知,M數(shù)表示分別為:

        同時(shí)

        因此,τ3?φ =φ ?F.定理2證畢.

        從(Σ2,σ)可知,?F在其吸引子Λ'上具有混沌動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

        [1]Smale S.Differentiable dynamical systems[J].Bull Amer Math Soc,1967(73):747-817.

        [2]陳芳躍,陳鳳娟.符號(hào)空間的擬移位和M?bius帶上的奇怪吸引子[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2003,23(7):747-754.

        [3]李明軍,李開泰.一類描述混沌映射的符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1999,14(2):125-129.

        [4]麥結(jié)華.用5-進(jìn)制小數(shù)描述 Smale馬蹄映射[J].科學(xué)通報(bào),1993,38(21):1432-1435.

        [5]韓茂安,邢業(yè)朋,畢平.動(dòng)力系統(tǒng)導(dǎo)論[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2007:310-345.

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