俞春葉, 陳鳳娟

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

一類(lèi)新擬移位映射和M?bius帶上的吸引子*

俞春葉, 陳鳳娟

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

給出了雙邊符號(hào)空間上的一類(lèi)新擬移位映射,證明它是半符號(hào)空間的自同胚,并用這類(lèi)新擬移位映射刻畫(huà)了M?bius帶上一類(lèi)映射的混沌動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng);擬移位映射;M?bius帶;吸引子

0 引 言

1967年,Smale[1]構(gòu)造了著名的馬蹄模型,并運(yùn)用2-符號(hào)空間Σ2上的移位映射刻畫(huà)了它的混沌動(dòng)力學(xué)性質(zhì).許多復(fù)雜的自映射存在子系統(tǒng)(X,f)與(Σ,σ)拓?fù)涔曹?其中Σ為相應(yīng)的符號(hào)空間,σ為移位映射.

近年來(lái),一些文獻(xiàn)給出了不同于傳統(tǒng)移位映射的擬移位映射或部分變號(hào)移位映射,并用這些擬移位映射刻畫(huà)了某些自映射的混沌動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[2-4].

式(1)中

文獻(xiàn)[3]用該類(lèi)映射描述了Cantor集及平面Cantor集上的混沌映射.

1 一類(lèi)新的擬移位映射

定義1設(shè)集合A={a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2|a0=0}?Σ2;B={a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2|a0=1}?Σ2.顯然,A∪B=Σ2.稱(chēng)這樣的A和B為半符號(hào)空間.

定義2D={a=(…a-n…a-2a-1;a0a1a2…an…)∈Σ2|a-1=a0=a1=0}?A.

定義3定義一類(lèi)新的擬移位映射τ3:Σ2→Σ2為：對(duì)?(…a-n…a-2a-1;a0a1a2…an…)∈Σ2,有

為便于說(shuō)明，用符號(hào)“-1”代替“0”,符號(hào)“1”不變.

定義映射ζ:Σ2→Σ2為：對(duì)?a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2,有

ζ(a)=(…(a-n×a1)…(a-1×a1)(a0×a1);(-1)a2…an…).

其中，“×”為傳統(tǒng)意義上的乘法運(yùn)算.于是

比較式(4)與式(5),得ζ與τ3具有相同的作用.

定理1映射ζ是半符號(hào)空間A的自同胚.

因此，映射ζ在半符號(hào)空間A上既是一一映射，又是連續(xù)映射，從而映射ζ是半符號(hào)空間A的自同胚.定理1證畢.

性質(zhì)1映射ζ有且僅有不動(dòng)點(diǎn)a=(…(-1)(-a0)(-1)(-a0);(-1)a0a0a0…),a0∈{1,-1}.

性質(zhì)2存在同胚映射η:Σ2→Σ2,對(duì)?a∈D?A,有σ°η(a)=η°ζ(a).

證明 取a=(…a-n…a-2(-1);(-1)(-1)a2…an…)∈D,作同胚映射η滿(mǎn)足

η(…a-n…a-1;a0a1…an…)=(…(a-n×a-1)…(a-2×a-1)(a-1×a0);a0a1…an…),

從而

同時(shí)

因此,σ°η(a)=η°ζ(a).性質(zhì)2證畢.

2 M?bius帶上的奇異吸引子

M={(x,p) |p=reiπ(x+1/2),x∈[-0.5,0.5),r∈[-0.5,0.5)}.

定義

M0={(x,p) |p=reiπx,x∈[0,0.25),r∈[-0.5,0.5)};

M1={(x,p) |p=reiπx,x∈[-0.25,0),r∈[-0.5,0.5)}.

M0與M1為M?bius帶M上相接的兩部分,如圖1所示.

圖1 M?bius帶及其上映射的作用

記x0～(s0s1s2…sn…),r0～(…s-n…s-3s-2s-1).類(lèi)似文獻(xiàn)[2]的記法,將三進(jìn)制展開(kāi)中的2用1代替,則

式(7)中:V…s-n…s-3s-2s-1代表r的變化方向;Ms0s1s2…sn…代表x的變化方向.由Λ′的結(jié)構(gòu)及式(7)知,?q∈Λ′,一定存在唯一的符號(hào)序列(…s-n…s-2s-1;s0s1s2…sn…)與之對(duì)應(yīng),記q～(…s-n…s-2s-1;s0s1s2…sn…).

φ(q)=φ(V…s-n…s-3s-2s-1∩Ms0s1s2…sn…)=(…s-n…s-2s-1;s0s1s2…sn…).

同時(shí)

因此,τ3°φ=φ°F.定理2證畢.

[1]Smale S.Differentiable dynamical systems[J].Bull Amer Math Soc,1967(73):747-817.

[2]陳芳躍,陳鳳娟.符號(hào)空間的擬移位和M?bius帶上的奇怪吸引子[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2003,23(7):747-754.

[3]李明軍,李開(kāi)泰.一類(lèi)描述混沌映射的符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1999,14(2):125-129.

[4]麥結(jié)華.用5-進(jìn)制小數(shù)描述Smale馬蹄映射[J].科學(xué)通報(bào),1993,38(21):1432-1435.

[5]韓茂安,邢業(yè)朋,畢平.動(dòng)力系統(tǒng)導(dǎo)論[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2007:310-345.

AclassofnewmodelshiftmapingandattractoronM?biusstrip

YU Chunye, CHEN Fengjuan

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

A class of new model shift maping was defined in bilateral symbol space. It was showed that the new model shift was a homeomorphism onto itself in a semi-bi-infinite symbolic space. A class of map on M?bius strip corresponding to the model shift was also constructed, and its dynamical behavior was described.

symbolic dynamical system; model shift maping; M?bius strip; attractor

1001-5051(2011)03-0252-04

O189

A

2010-11-17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10872183)

俞春葉(1986-),女,浙江嘉興人,碩士研究生.研究方向:微分動(dòng)力系統(tǒng).

陳鳳娟.E-mail: fjchen@zjnu.cn.

(責(zé)任編輯 陶立方)