趙曉華, 戴燦華

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

一類4維Lotka-Volterra系統(tǒng)的Hamilton結(jié)構(gòu)及動(dòng)力學(xué)*

趙曉華, 戴燦華

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)的方法研究了一類具有Hamilton結(jié)構(gòu)的4維保守型Lotka-Volterra系統(tǒng).結(jié)果顯示:這類系統(tǒng)具有很復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),相空間包含至少3族周期軌道;對(duì)一般參數(shù),這個(gè)系統(tǒng)是不可積的,會(huì)出現(xiàn)Hamilton混沌.

Lotka-Volterra系統(tǒng);Hamilton結(jié)構(gòu);周期解;Lyapunov指數(shù);Hamilton混沌

0 引 言

本文涉及的Lotka-Volterra系統(tǒng)是指下面的常微分方程組:

式(1)中:xj表示第j個(gè)物種的種群密度;A=(ajk)稱為作用矩陣,表示物種間的相互作用關(guān)系;εj是與環(huán)境相關(guān)的參數(shù).

自19世紀(jì)20年代Lotka和Volterra分別在研究化學(xué)反應(yīng)和生物問題時(shí)提出上述Lotka-Volterra(LV)系統(tǒng)以來,方程組(1)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、生物、動(dòng)態(tài)博弈論、經(jīng)濟(jì)和其他的社會(huì)科學(xué)中,成為應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)重要的微分方程模型,還被應(yīng)用于許多熱門學(xué)科,如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物反應(yīng)、細(xì)胞演化和病毒傳播等[1-6],LV系統(tǒng)受到數(shù)學(xué)及其他學(xué)科領(lǐng)域的關(guān)注越來越多.在過去的80多年里,對(duì)LV系統(tǒng)的理論及應(yīng)用研究成果大量涌現(xiàn)[7-8].

但是,除了2維的Lotka-Volterra系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)和一些特殊類型的高維Lotka-Volterra系統(tǒng)已分析清楚外,一般的高維Lotka-Volterra系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有弄清楚,有待深入研究.

研究表明,Lotka-Volterra系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)和它的作用矩陣的代數(shù)性質(zhì)有著密切的關(guān)系.根據(jù)作用矩陣A的不同性質(zhì),Lotka-Volterra系統(tǒng)可分為3類[5](定義1).

定義1具有作用矩陣A=(aij)的Lotka-Volterra系統(tǒng)稱為:

1)合作型(或競(jìng)爭(zhēng)型),如果對(duì)任意i≠j,aij≥0(aij≤0);

2)保守型,如果存在一個(gè)正對(duì)角矩陣D>0,使得AD是反對(duì)稱的;

3)耗散型,如果存在一個(gè)正對(duì)角矩陣D>0,使得在二次型意義下AD≤0.

以往的研究主要涉及合作(或競(jìng)爭(zhēng))型LV系統(tǒng),對(duì)保守型和耗散型系統(tǒng)的研究相對(duì)較少[5-7].其中特別值得注意的是1998年Duarte等在文獻(xiàn)[5]中對(duì)這兩類系統(tǒng)的研究,他們證明:保守型LV系統(tǒng)若存在正平衡點(diǎn),則它具有廣義Hamilton結(jié)構(gòu),可以表示為Poisson流形上的廣義Hamilton系統(tǒng);而具有正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定耗散LV系統(tǒng)存在一個(gè)整體吸引集,其上的動(dòng)力學(xué)控制方程是一個(gè)較低維數(shù)的具有廣義Hamilton結(jié)構(gòu)的保守型LV系統(tǒng).關(guān)于Hamilton和廣義Hamilton系統(tǒng)的相關(guān)知識(shí)可參閱文獻(xiàn)[9-10].

根據(jù)Duarte等的這些結(jié)論可以得出,若這個(gè)吸引集是單點(diǎn)集,則原LV系統(tǒng)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的;若吸引集不是單點(diǎn)集,則需進(jìn)一步研究吸引集上的子系統(tǒng)的軌道性質(zhì).因此,為了弄清穩(wěn)定耗散系統(tǒng)在吸引集上的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),本質(zhì)上就是要研究具有廣義Hamilton結(jié)構(gòu)的保守型LV系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

本文研究了一類具有廣義Hamilton結(jié)構(gòu)的4維保守型LV系統(tǒng),這個(gè)系統(tǒng)包含至少3族周期軌道,而對(duì)一般的參數(shù)是不可積的,并且會(huì)出現(xiàn)Hamilton混沌.進(jìn)而也表明: 一般而言,穩(wěn)定耗散LV系統(tǒng)吸引集的結(jié)構(gòu)可能非常豐富而復(fù)雜,值得深入系統(tǒng)地研究.

1 Hamilton結(jié)構(gòu)及平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

本文考慮如下的4維Lotka-Volterra系統(tǒng):

對(duì)應(yīng)的作用矩陣為

式(3)中:已被標(biāo)出的元素aij≠0;aijaji<0.考慮到系統(tǒng)(2)的特殊結(jié)構(gòu)及實(shí)際應(yīng)用背景,只對(duì)不變區(qū)域R4+={x=(x1,x2,x3,x4)∈R4|xj>0,j=1,2,3,4}上的軌道性質(zhì)進(jìn)行研究.

在假設(shè)條件aijaji<0下,系統(tǒng)(2)實(shí)際上是一個(gè)保守型系統(tǒng),因?yàn)榭扇?duì)角矩陣D=diag(d1,d2,d3,d4)的對(duì)角元素為

則可使DA為反對(duì)稱矩陣.進(jìn)一步,容易驗(yàn)證變換xj→djxj保持系統(tǒng)(2)的形式不變,但作用矩陣變?yōu)镈A,為反對(duì)稱矩陣.

因此,不失一般性,直接假定系統(tǒng)(2)的作用矩陣(3)滿足以下條件:

容易驗(yàn)證,若參數(shù)bj(j=1,2,3,4)滿足條件

則系統(tǒng)(2)存在唯一正平衡點(diǎn)

另一方面,在光滑函數(shù)空間C∞(R4+)上定義Poisson括號(hào){·,·}為

式(8)中,A=(ajk)是滿足條件式(5)的系統(tǒng)(2)的作用矩陣.根據(jù)辛流形及其上定義的Hamilton系統(tǒng)的理論[9],直接驗(yàn)證可知{R4+,{·,·}}構(gòu)成一個(gè)4維辛流形,并且有命題1成立.

命題1在假設(shè)式(5)和式(6)成立的情況下,LV系統(tǒng)(2)是4維辛流形{R4+,{·,·}}上的Hamilton系統(tǒng),可將系統(tǒng)(2)改寫為如下Hamilton形式:

命題2在假設(shè)式(5)和式(6)成立的條件下,LV系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)q是Lyapunov穩(wěn)定的.

最后,利用Morse引理[11]得:對(duì)任意h>0,水平集Mh={x∈R4+|H(x)-H(q)=h}拓?fù)涞葍r(jià)于一個(gè)3維球面S3.

2 周期軌道

為進(jìn)一步研究系統(tǒng)(2)的周期解,先介紹下面的Lyapunov中心定理[10].

對(duì)于系統(tǒng)(2)的唯一正平衡點(diǎn)q,簡(jiǎn)單計(jì)算即可得到其相應(yīng)的特征方程為

式(10)中:

由式(5)和式(6)知P>0,Q>0,Δ=P2-4Q>0.于是可得命題3.

命題3在式(5)和式(6)成立的條件下,系統(tǒng)(2)在正平衡點(diǎn)q處的特征方程(10)有2對(duì)簡(jiǎn)單共軛純虛根,分別為:

i.

系統(tǒng)(2)除了以上周期解外,還可能存在其他周期解.

容易驗(yàn)證,若系統(tǒng)(2)中的a23=0,但式(5)和式(6)中的其他式子仍滿足,則系統(tǒng)變?yōu)?個(gè)獨(dú)立的2維LV系統(tǒng):

此時(shí)系統(tǒng)是可積的,并有2個(gè)獨(dú)立的首次積分:

而且在平衡點(diǎn)q處的特征值為2對(duì)簡(jiǎn)單純虛根:

因此,系統(tǒng)(12)的軌道由2個(gè)子系統(tǒng)的軌道(均為周期軌道)組合而成,分布于I1(x)和I2(x)確定的水平集上,這個(gè)水平集由軌道的初值確定,拓?fù)涞葍r(jià)于2維環(huán)面S1×S1,僅當(dāng)2個(gè)子系統(tǒng)解的周期之比為有理數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)的4維系統(tǒng)(12)的解才是周期解,否則為擬周期環(huán)面解.

特別地,若(φ1(t,I1),φ2(t,I1))和(φ3(t,I2),φ4(t,I2))分別是2個(gè)子系統(tǒng)的周期解,則(φ1(t,I1),φ2(t,I1),q3,q4)和(q1,q2,φ1(t,I2),φ2(t,,I2))就是對(duì)應(yīng)4維系統(tǒng)(12)的2個(gè)周期解,而且易證它們都是Hamilton系統(tǒng)(2)在參數(shù)a23=0時(shí)的橢圓型周期解.根據(jù)Hamilton系統(tǒng)的性質(zhì),當(dāng)a23≠0充分小時(shí),Hamilton系統(tǒng)(2)仍然存在2個(gè)與它們對(duì)應(yīng)的周期解.

定理2在式(5)和式(6)成立的條件下,當(dāng)a23≠0充分小時(shí),系統(tǒng)(2)存在2族分別對(duì)應(yīng)于(φ1(t,,I1),φ2(t,I1),q3,q4)和(q1,q2,φ1(t,I2),φ2(t,,I2))的周期解.

3 不可積性與Hamilton混沌

根據(jù)Hamilton系統(tǒng)中的Liouville完全可積性定義[9-10],若4維系統(tǒng)(2)還存在一個(gè)獨(dú)立于Hamilton函數(shù)H(x)的首次積分I(x),則它的解均在H(x)和I(x)確定的水平集上,而這個(gè)水平集是緊致的(H(x)的水平集拓?fù)涞葍r(jià)于3維球面).故由完全可積性定理知,該水平集拓?fù)涞葍r(jià)于2維不變環(huán)面,其上若存在周期解,則必屬于定理1中那兩族之一.

另一方面,對(duì)充分小的a23≠0,系統(tǒng)(2)在式(5)和式(6)成立的條件下至少有3族非退化的周期軌道.因此,可得定理3.

定理3對(duì)充分小的a23≠0,系統(tǒng)(2)在Liouville意義下是不可積的.

下面用Lyapunov指數(shù)來數(shù)值論證系統(tǒng)(2)是否出現(xiàn)Hamilton混沌.

Lyapunov指數(shù)是反映一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)是否存在混沌的主要工具[12].若所考慮的動(dòng)力系統(tǒng)存在正的Lyapunov指數(shù),則可認(rèn)為系統(tǒng)是混沌的.

對(duì)于系統(tǒng)(2),若取參數(shù)a12=a23=a34=1,b1=b3=-1,b2=b4=1,則用數(shù)學(xué)軟件Maple計(jì)算該系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù),結(jié)果如圖1所示.

圖1 Lyaounov指數(shù)

從圖1可看到,系統(tǒng)(2)的4個(gè)Lyapunov指數(shù)中有2個(gè)為0,另外2個(gè)Lyapunov指數(shù)為±0.445.因此,此系統(tǒng)是混沌的.

[1]Hofbauer J,Sigmund K.Evolutionary games and population dynamics[M].Cambridge:Cambridge University Press,1998.

[2]Xia Yonghui.New results on the global asymptotic stability of a Lotka-Volterra system[J].Appl Math Comput,2011,36(1/2):117-128.

[3]Svirezhev Y M.Nonlinearities in mathematical ecology:Phenomena and models:Would we live in Volterra′s world?[J].Ecological Modelling,2008,216(2):89-101.

[4]Upadhyay R K.Observability of chaos and cycles in ecological systems:Lessons from predator-prey models[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2009,19(10):3169-3234.

[5]Duarte P,Fernandes R L,Oliva W M.Dynamics of the attractor in the Lotka-Volterra equations[J].Journal of Differential Equations,1998,149(1):143-169.

[6]Zhao Xiaohua,Luo Jigui.Classification and dynamics of stably dissipative Lotka-Volterra systems[J].International Journal of Nonlinear Mechanics,2010,45(6):603-607.

[7]趙曉華,吳紅穎.保守型Lotka-Volterra系統(tǒng)的Hamilton結(jié)構(gòu)與周期解[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,30(3):246-250.

[8]Picard G,Johnstone T W.Instabillity cascades,Lotka-Volterra population equations,and Hamilton chaos[J].Physical Review Letters,1982,48(23):1610-1613.

[9]李繼彬,趙曉華,劉正榮.廣義哈密爾頓系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].2版.北京:科學(xué)出版社, 2007.

[10]Meyer K R,Hall G R,Offin D.Introduction to Hamiltonian dynamical systems and theN-body problem[M].2nd ed.New York:Springer,2009.

[11]Milnor J.Morse theory[M].New Jersey:Princeton University Press,1969.

[12]Ott E.Chaos in dynamical systems[M].2nd ed.Cambridge:Cambridge University Press,2002.

HamiltonianstructureanddynamicsofafourdimensionalLotka-Volterrasystem

ZHAO Xiaohua, DAI Canhua

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was studied a four dimensional Lotka-Volterra (LV) system with Hamiltonian structure. The results showed that the LV system had at least three different families of periodic solutions for generic parameters, and it was nonintegrable for smalla23≠0 and Hamiltonian chaos might occur.

Lotka-Volterra system; Hamiltonian structure; periodic solution; Lyapunov exponent; Hamiltonian chaos

1001-5051(2011)03-0241-05

O19;O75.14

A

2010-12-21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10872183)

趙曉華(1961-),男,云南昆明人,教授,博士.研究方向：動(dòng)力系統(tǒng)分支與混沌；廣義Hamilton系統(tǒng)理論及應(yīng)用.

(責(zé)任編輯 陶立方)