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        關(guān)于平面圖的7-全可染性的一個(gè)注記*

        2011-12-17 09:41:52王應(yīng)前
        關(guān)鍵詞:斷言平面圖頂點(diǎn)

        陶 鑫, 王應(yīng)前

        (浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江金華 321004)

        本文的圖指的是有限簡單無向圖,文中未加定義的術(shù)語和記號(hào)參閱文獻(xiàn)[1].

        設(shè)G=(V,E)表示頂點(diǎn)集為V、邊集為 E的圖.若能用k種顏色對G進(jìn)行染色,使得任意2個(gè)相鄰或相關(guān)聯(lián)的元素染有不同的色,則稱G是k-全可染的.設(shè)F,Δ和δ分別表示平面圖G的面集、最大度和最小度.顯然,給每一個(gè)圖進(jìn)行全染色至少要用Δ+1個(gè)色.

        猜想1[1]任何簡單圖G都是(Δ+2)-全可染的.

        這一猜想被稱為全染色猜想,簡記為TCC.即使對于平面圖,TCC在目前還沒有得到完整證明.剩下未解決的情形是Δ=6[2-8].有趣的是,對于簡單平面圖,大多數(shù)情況是(Δ+1)-全可染的[9-10].

        猜想2[11]若G是4≤Δ≤8的簡單平面圖,則G是(Δ+1)-全可染的.

        對此,文獻(xiàn)[12]證明了Δ≥7且不含有4-圈的平面圖是(Δ+1)-全可染的;文獻(xiàn)[11]證明了Δ=7且不含相鄰三角形的平面圖是8-全可染的.筆者則研究了Δ=6且不含5-圈和6-圈的平面圖的全染色問題.

        定理1 若G是Δ=6且不含5-圈和6-圈的平面圖,則G是7-全可染的.

        證明 假設(shè)定理1不成立,并設(shè)G是定理1的一個(gè)使σ(G)=|V|+|E|最小的反例,即G本身不是7-全可染的,但它的每一個(gè)真子圖都是7-全可染的,則可得斷言1.

        斷言1[9]G是2-連通的,從而δ≥2且G的每個(gè)面的邊界都是圈.

        把度為k的點(diǎn)叫做k-點(diǎn).類似地,度不小于k的點(diǎn)叫做k+-點(diǎn),度不大于k的點(diǎn)叫做k--點(diǎn).

        斷言2[12]設(shè) xy∈E.若 d(x)≤3,則 d(x)+d(y)≥Δ +2=8.特別地,G 中2-點(diǎn)只與6-點(diǎn)相鄰,3-點(diǎn)只與5+-點(diǎn)相鄰.

        斷言3 G不含圖1所示的結(jié)構(gòu).其中標(biāo)記為·的點(diǎn)在G中沒有其他鄰點(diǎn).

        圖1 G不含有的構(gòu)形

        只證第5種情形(如圖1(e)所示),其他情形的證明可參閱文獻(xiàn)[10-11,13].假設(shè)G含有如圖1(e)所示的構(gòu)形.根據(jù) σ(G)的極小性知,G'=G -uv是7-全可染的.令 φ:V(G')∪E(G')→{1,2,…,7}是G'的一個(gè)7-全染色.設(shè)對于x∈V,S(x)是與頂點(diǎn)x以及與x相關(guān)聯(lián)的邊染得的顏色集.如圖1(e)所示,設(shè) S(u)={1,2,…,6},其中 φ(uq)=3,φ(uw)=4,φ(vm)=7,因此 φ(pq)=7.否則將 3 染給 uv,7 染給uq,這樣得到G的一個(gè)7-全染色,矛盾.此時(shí)交換pq與pw的顏色,將3染給uv,7染給uq,這樣得到了G的一個(gè)7-全染色,矛盾.因此,斷言3成立.

        以下將運(yùn)用Discharging方法導(dǎo)出完成定理1證明所需要的矛盾.

        首先,給G的頂點(diǎn)v分配初始權(quán)ch(v)=2d(v)-6,給G的面f分配初始權(quán)ch(f)=d(f)-6.由握

        下面將定義一個(gè)權(quán)轉(zhuǎn)移規(guī)則,重新分配點(diǎn)和面的權(quán),并設(shè)ch'(x)是重新分配點(diǎn)和面的權(quán)后元素x∈于只是在同一個(gè)圖的點(diǎn)和面之間進(jìn)行權(quán)轉(zhuǎn)移,權(quán)的總和應(yīng)該保持不變,因此得到 -12≥0,即得到了證明定理1所需要的矛盾.

        權(quán)轉(zhuǎn)移規(guī)則如下(如圖2所示):

        R1:轉(zhuǎn)向2-點(diǎn)的權(quán)

        與2-點(diǎn)相鄰的2個(gè)6-點(diǎn)都向此2-點(diǎn)轉(zhuǎn)移權(quán)1.

        R2:轉(zhuǎn)向3-面的權(quán)

        由斷言2知,3-面上只有1個(gè)3--點(diǎn),因此

        R2.1:若3-面含有3--點(diǎn),則此3-面上的2 個(gè)5+-點(diǎn)都向此

        R2.2:若3-面不含3--點(diǎn),則此3-面上的3 個(gè)4+-點(diǎn)都向此3-面轉(zhuǎn)移權(quán) 1.

        R3:轉(zhuǎn)向4-面的權(quán)

        R3.1:若4-面含有2個(gè)3--點(diǎn),則此4-面上的2個(gè)5+-點(diǎn)都向此4-面轉(zhuǎn)移權(quán)1;

        R3.2:若4-面含有1個(gè)3--點(diǎn),則此4-面上與此3--點(diǎn)相對的那個(gè)4+-點(diǎn)向此

        R3.3:若4-面不含3--點(diǎn),則此4-面上的4 個(gè)4+-點(diǎn)都向此4-面

        圖2 權(quán)轉(zhuǎn)移規(guī)則

        首先考察面的新權(quán).

        設(shè) f為3-面.若 f有1 個(gè)3--點(diǎn),則根據(jù)R2.2,ch'(f)=ch(f)+1 ×3=0.

        設(shè) f為4-面.若 f含有2 個(gè)3--點(diǎn),則根據(jù) R3.1,ch'(f)=ch(f)+1 ×2=0;若f含1 個(gè)3--點(diǎn),則根據(jù)

        由G不含5-圈和6-圈知G不含5-面和6-面,故無需驗(yàn)證5-面和6-面的新權(quán).

        設(shè)f為7+-面.由權(quán)轉(zhuǎn)移規(guī)則知f既不轉(zhuǎn)出權(quán)也不接受權(quán),因此ch'(f)=ch(f)=d(f)-6>0.

        綜上所述,對任意的面f∈F,ch'(f)≥0.

        其次考察頂點(diǎn)的新權(quán).

        設(shè)v為2-點(diǎn).由斷言2和R1知,ch'(v)=ch(v)+1×2= -2+2=0.

        設(shè)v為3-點(diǎn).由權(quán)轉(zhuǎn)移規(guī)則知v既不轉(zhuǎn)出權(quán)也不接受權(quán),故ch'(v)=ch(v)=0.

        下面用t表示與v關(guān)聯(lián)的3-面?zhèn)€數(shù).

        設(shè) v為4-點(diǎn).由 G 不含5-圈和6-圈知 t≤2,且 v至少與2 個(gè)7+-面關(guān)聯(lián).根據(jù) R2.2 和 R2.3,v至多轉(zhuǎn)移權(quán)1給每個(gè)相關(guān)聯(lián)的3-面,至多轉(zhuǎn)移

        設(shè)v為5-點(diǎn).由G不含5-圈和6-圈知t≤3,且v至少與2個(gè)7+-面關(guān)聯(lián).又由斷言3(如圖1(a)所示)知v至多與2個(gè)含有3--點(diǎn)的3-面關(guān)聯(lián),根據(jù)R2和R3

        設(shè)v為6-點(diǎn).用n表示與v相鄰的2-點(diǎn)個(gè)數(shù),顯然,n≤6.與6-點(diǎn)相鄰的2-點(diǎn)分布情況如圖3所示.下面根據(jù)n的大小來討論v的新權(quán):

        圖3 與6-點(diǎn)相鄰的2-點(diǎn)分布情況(2≤n≤4)

        n=6.由斷言3(如圖1(d)所示)知,v不與3-面關(guān)聯(lián).由G不含5-圈和6-圈以及斷言3(如圖1(e)所示)知,與v關(guān)聯(lián)且關(guān)聯(lián)2個(gè)與v相鄰的2-點(diǎn)的面是7+-面.因此,v關(guān)聯(lián)6個(gè)7+-面,根據(jù)R1,

        n=5.由斷言3(如圖1(d)所示)知t=0.由G不含5-圈和6-圈知,v至少關(guān)聯(lián)5個(gè)7+-面,根據(jù)R1和R3,

        n=4.如圖3(a1)、圖 3(a2)、圖 3(a3)所示,由斷言3(如圖1(d)所示)知 t≤1.若 t=1,則由 G 不則v至少關(guān)聯(lián) 4個(gè)7+-面,根據(jù)R1和R3,ch'(v)≥ch(v)-1×4-1×2-0×4=0.

        n=3.如圖3(b1)、圖3(b2)、圖3(b3)所示,由斷言3(如圖1(d)所示)知 t≤2.若1≤t≤2,則由 G不含5-圈和6-圈知v至少關(guān)聯(lián)4個(gè)7+-面,根據(jù)R1,R2和R3,

        若 t=0,則 v至少關(guān)聯(lián)3個(gè)7+-面,根據(jù) R1和 R3,ch'(v)≥ch(v)-1×3-0×3-1×3=0.

        n=2.如圖3(c1)、圖3(c2)、圖3(c3)所示,由斷言 3(如圖1(d)所示)知 t≤2.若1≤t≤2,則由 G不含5-圈和6-圈知v至少關(guān)聯(lián)3個(gè)7+-面,根據(jù)R1,R2.1和R3,

        若t=0,則v至少關(guān)聯(lián)2個(gè)7+-面,根據(jù)R1和R3,ch'(v)≥ch(v)-1×2-0×2-1×4=0.

        設(shè)含有2-點(diǎn)的3-面是特殊3-面,記作s-面.由斷言3(如圖1(b)和圖1(c)所示)知,若6-點(diǎn)與一個(gè)s-面關(guān)聯(lián),則6-點(diǎn)不與其他含有3--點(diǎn)的3-面關(guān)聯(lián).

        n=1.若v與s-面關(guān)聯(lián),則由 G不含5-圈和6-圈知 t≤4,且 v至少關(guān)聯(lián)2個(gè)7+-面,根據(jù) R1,R2和

        若v不與s-面關(guān)聯(lián),則 t≤3.若t=3,則根據(jù)G不含5-圈和6-圈,v要關(guān)聯(lián)3個(gè)7+-面,從而

        若0≤t≤2,則v至少關(guān)聯(lián)2個(gè)7+-面,從而

        n=0.由G不含5-圈和6-圈知t≤4,且v至少關(guān)聯(lián)2個(gè)7+-面,根據(jù)R1,R2和R3,

        至此,對任意的x∈V∪F,ch'(x)≥0已得到驗(yàn)證.定理1得證.

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