葉茂群， 陳趙江， 方健文， 劉世清

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

0 引言

隨著微電子產(chǎn)業(yè)的高速發(fā)展，半導(dǎo)體材料的質(zhì)量及特性的控制要求越來(lái)越高，這需要發(fā)展高靈敏、高空間分辨率、快速簡(jiǎn)單的測(cè)量技術(shù)來(lái)檢測(cè)半導(dǎo)體材料的特性．光熱檢測(cè)技術(shù)因其具有無(wú)損檢測(cè)的特點(diǎn)一直備受科技工作者的關(guān)注，目前已廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、生物和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域［1-2］．半導(dǎo)體材料和器件一直是光熱檢測(cè)技術(shù)的重要應(yīng)用對(duì)象之一［3］，常用的方法有光熱偏轉(zhuǎn)(PTD)技術(shù)［4-5］、光熱調(diào)制反射(PMTR)技術(shù)和光熱輻射(PTR)技術(shù)等．最近，文獻(xiàn)［6］、文獻(xiàn)［7］提出了一種新的PTD技術(shù)，即階躍光激勵(lì)的光熱光偏轉(zhuǎn)技術(shù)，并進(jìn)行了初步的實(shí)驗(yàn)和理論研究．

階躍光激勵(lì)的光熱技術(shù)目前還處在一個(gè)發(fā)展階段，以往的研究也僅局限于一般固體材料的光熱效應(yīng)，并且所測(cè)量的大多是材料的熱學(xué)參數(shù)．筆者在近期的研究中發(fā)現(xiàn)，半導(dǎo)體材料和一般固體材料的階躍光激勵(lì)的光熱信號(hào)具有不同的特征，這就提供了一種利用階躍光激勵(lì)的光熱技術(shù)表征半導(dǎo)體材料參數(shù)的可能性．為了研究階躍光激勵(lì)的光熱技術(shù)機(jī)理，必須先研究在階躍光激勵(lì)下樣品中的溫度變化．文獻(xiàn)［8］和文獻(xiàn)［9］對(duì)階躍光激勵(lì)下一般固體材料的溫度變化進(jìn)行了研究，但目前國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)中尚沒(méi)有階躍光激勵(lì)下半導(dǎo)體材料的溫度場(chǎng)模型及其相關(guān)研究．本文根據(jù)半導(dǎo)體材料的光電效應(yīng)原理和熱傳導(dǎo)規(guī)律，對(duì)階躍光激勵(lì)下半導(dǎo)體材料的溫度變化進(jìn)行了研究，建立了一維理論模型，通過(guò)數(shù)值模擬研究了半導(dǎo)體材料參數(shù)——載流子壽命對(duì)溫度變化的影響;同時(shí)，利用階躍光激勵(lì)的光熱光偏轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，研究了少數(shù)載流子壽命不同的半導(dǎo)體樣品的光熱光偏轉(zhuǎn)信號(hào)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了比較．

1 理論模型

一維理論模型如圖1所示，該模型不考慮空氣的影響．當(dāng)一束階躍光垂直入射半導(dǎo)體樣品表面時(shí)，如果入射光子的能量hυ大于半導(dǎo)體的禁帶寬度Eg，樣品中就會(huì)產(chǎn)生光生載流子，形成等離子體波．隨著激發(fā)態(tài)的光生電子以非輻射去激勵(lì)方式回到基態(tài)或與空穴復(fù)合，其能量將轉(zhuǎn)變?yōu)闃悠返臒崮?，使樣品溫度?chǎng)發(fā)生變化，形成熱波．

1．1 等離子體波

樣品中的光生載流子濃度分布N(x，t)［10］為:

圖1 理論模型示意圖

式(1)中:De是PGC(光生載流子)的擴(kuò)散系數(shù);τ是PGC壽命;l為樣品的厚度;Qe(x，t)為

式(3)中:β為樣品的光吸收系數(shù);η為量子效率;f(t)為

利用本征函數(shù)法［11］將 N(x，t)展開(kāi)成

式(5)中本征函數(shù)φk(x)滿足:

λk是對(duì)應(yīng)于 φk(x)的本征值．本征函數(shù)［11］為

將式(5)代入式(1)可得

式(9)中，

所以

式(11)中，

1．2 熱波

樣品中的溫度分布滿足如下熱傳導(dǎo)方程:

式(14)中:Dts是熱擴(kuò)散系數(shù);Kts為熱導(dǎo)率．半導(dǎo)體中的熱源主要來(lái)自2個(gè)方面，除了電子非輻射躍遷釋放熱能外，光生載流子的非輻射復(fù)合也會(huì)產(chǎn)生熱能．因而，樣品中的熱產(chǎn)生率

由于式(14)與式(2)形式一樣，當(dāng)采用本征函數(shù)法時(shí)，可得與式(8)相同的本征函數(shù)和本征值．因此，

于是，可得

式(17)中，

1．3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

根據(jù)上述模型對(duì)式(11)和式(17)進(jìn)行了計(jì)算，數(shù)值計(jì)算時(shí)所使用的參數(shù)為:PGC擴(kuò)散系數(shù)De為1．5×10－3m2/s;光吸收系數(shù) β 為 2．4 ×106m－1;熱擴(kuò)散系數(shù) Dts為 8．42 ×10－5m2/s;熱導(dǎo)率 Kts為142 W/(m·K);能隙 Eg為1．79 ×10－19J;樣品厚度 l為 1．0 ×10－3m．此外，激勵(lì)光光子能量 hυ 為2．97 ×10－19J．

圖2是根據(jù)公式(11)計(jì)算得到的在階躍光激勵(lì)下樣品表面載流子濃度的時(shí)間變化曲線，其中少數(shù)載流子壽命分別為5 ×10－3，5 ×10－5，5 ×10－6s．由圖2 可知，少數(shù)載流子壽命越短，曲線上升越快，載流子濃度達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間越短．從式(11)可以看出，與時(shí)間項(xiàng)有關(guān)的只有指數(shù)項(xiàng)，曲線上升變化快慢由指數(shù)項(xiàng)的衰減系數(shù)決定．從式(12)可以看出，衰減系數(shù)與載流子擴(kuò)散系數(shù)De和載流子壽命τ有關(guān)．由于在數(shù)值模擬時(shí)載流子擴(kuò)散系數(shù)取值相同，因此，曲線上升的快慢是少數(shù)載流子的壽命不同引起的，即少數(shù)載流子的壽命越短，曲線上升越快．

圖2 少數(shù)載流子壽命不同時(shí)樣品表面載流子濃度的變化

圖3 少數(shù)載流子壽命不同時(shí)樣品表面溫度的變化

由式(15)可知，光生電子-空穴對(duì)的復(fù)合作為熱源項(xiàng)出現(xiàn)在半導(dǎo)體的熱傳導(dǎo)方程中，因此，載流子變化對(duì)半導(dǎo)體樣品中的溫度會(huì)產(chǎn)生重要影響．圖3為根據(jù)公式(17)計(jì)算得到的階躍光激勵(lì)下不同少數(shù)載流子壽命情況下樣品表面的歸一化溫升曲線．由圖3可以看出，少數(shù)載流子壽命越短，溫升越快，溫度達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間越短．通過(guò)比較圖2和圖3可知，圖3比圖2曲線上升得慢，這是因?yàn)榍€上升變化快慢除了與載流子擴(kuò)散系數(shù)De和載流子壽命τ有關(guān)外，還與材料的熱擴(kuò)散率(熱導(dǎo)率)有關(guān)．比較載流子擴(kuò)散系數(shù)和熱擴(kuò)散系數(shù)的數(shù)量級(jí)及式(11)和式(17)，從式(17)中的指數(shù)項(xiàng)可知，材料的熱擴(kuò)散系數(shù)越小，達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間越長(zhǎng)．由于半導(dǎo)體樣品 Dts值(8．42 ×10－5m2/s)比 De值(1．5 ×10－3m2/s)小，因此，曲線達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間與圖2相比更長(zhǎng)．

2 實(shí)驗(yàn)

從上述理論模型和數(shù)值結(jié)果可知，階躍光激勵(lì)下半導(dǎo)體溫升曲線的形狀與半導(dǎo)體材料參數(shù)之間存在直接關(guān)系，因此，通過(guò)檢測(cè)階躍光激勵(lì)下樣品表面的溫度變化可實(shí)現(xiàn)對(duì)半導(dǎo)體材料參數(shù)的表征．由于光熱偏轉(zhuǎn)信號(hào)反映了樣品表面溫度的變化情況［12］，因此，可以采用階躍光激勵(lì)的光熱光偏轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證上述理論和數(shù)值結(jié)果的正確性．

圖4 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

2．1 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示，該系統(tǒng)以波長(zhǎng)為532 nm、功率約為270 mW的半導(dǎo)體激光器作為激勵(lì)光，激勵(lì)光通過(guò)衰減器并經(jīng)透鏡聚焦在斬光盤(pán)上(SR530，Stanford Research systems INC)，斬光盤(pán)的頻率為5 Hz，聚焦的目的是使激勵(lì)光的光束直徑遠(yuǎn)小于斬光盤(pán)的狹縫寬度，以便產(chǎn)生階躍光．?dāng)毓獗P(pán)對(duì)聚焦后的激勵(lì)光進(jìn)行低頻調(diào)制，經(jīng)過(guò)反射鏡和透鏡聚焦在樣品表面上．探測(cè)光束采用波長(zhǎng)為632．8 nm且功率為1 mW的He-Ne激光，經(jīng)透鏡聚焦并掠過(guò)樣品表面，最終透過(guò)濾光片進(jìn)入位置探測(cè)器(二象限探測(cè)后送到存儲(chǔ)示波器(TDS2012，Tektronix)進(jìn)行顯示和處理．

2．2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

實(shí)驗(yàn)所采用的樣品為3種具有不同摻雜濃度的半導(dǎo)體硅片，其半導(dǎo)體材料參數(shù)如表1所示．由于硅片的摻雜濃度不同，因此，不同的樣品具有不同的載流子壽命［13］．除此之外，這3個(gè)硅片樣品具有其他相同的物理參數(shù)，如具有相同的熱導(dǎo)率(熱擴(kuò)散率)、厚度等．在相同的實(shí)驗(yàn)條件下，3種樣品的階躍光偏轉(zhuǎn)信號(hào)如圖5所示．為便于比較不同樣品的光熱偏轉(zhuǎn)信號(hào)的差異，曲線均經(jīng)過(guò)歸一化處理．

表1 樣品的物理參數(shù)

實(shí)驗(yàn)中樣品是放置在空氣中進(jìn)行的，由光熱光偏轉(zhuǎn)技術(shù)的原理［14］可知，樣品的溫度變化將傳遞給空氣并繼續(xù)在空氣中傳遞，使探測(cè)光所處的空氣溫度發(fā)生變化從而產(chǎn)生光熱光偏轉(zhuǎn)信號(hào)．溫度從樣品表面?zhèn)鞯教綔y(cè)光位置的快慢與空氣熱導(dǎo)率和探測(cè)光離樣品表面的距離有關(guān)，而相對(duì)硅材料而言，空氣的導(dǎo)熱性能較差，因此，空氣的溫度變化比硅表面的溫度變化要慢得多．實(shí)驗(yàn)中除換置不同樣品外，其他實(shí)驗(yàn)條件不變，因此，不同樣品信號(hào)因空氣及探測(cè)光距離所引起的信號(hào)變慢情況是一樣的．比較圖5和圖3可知，雖然光偏轉(zhuǎn)信號(hào)的變化比樣品表面溫度的變化要慢很多，但不同樣品信號(hào)間的變化規(guī)律是一致的，即半導(dǎo)體材料參數(shù)對(duì)光偏轉(zhuǎn)信號(hào)和樣品溫度變化有密切關(guān)系，載流子壽命越短，則樣品的溫升和光偏轉(zhuǎn)信號(hào)的增加越快．

圖5 不同樣品的光熱光偏轉(zhuǎn)歸一化時(shí)變信號(hào)

3 結(jié)論

本文建立了階躍光激勵(lì)下半導(dǎo)體材料溫度變化的一維理論模型，并采用本征函數(shù)法得到了階躍光激勵(lì)下半導(dǎo)體中光生載流子濃度和溫度的分布．通過(guò)數(shù)值模擬研究了少數(shù)載流子壽命不同時(shí)半導(dǎo)體樣品中的光生載流子濃度和溫度隨時(shí)間的變化情況，結(jié)果表明，少數(shù)載流子壽命不同的樣品具有不同的溫升曲線．本文利用階躍光激勵(lì)的光熱光偏轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)研究了少數(shù)載流子壽命不同的半導(dǎo)體樣品的光熱偏轉(zhuǎn)信號(hào)，偏轉(zhuǎn)信號(hào)曲線和樣品溫升理論曲線具有一致的規(guī)律，表明階躍光激勵(lì)的光熱技術(shù)可較好實(shí)現(xiàn)對(duì)半導(dǎo)體材料參數(shù)的表征．

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