方 心，張銳波

（浙江大學(xué)城市學(xué)院，浙江舟山 310015）

誤差理論中幾個問題的討論

方 心，張銳波＊

（浙江大學(xué)城市學(xué)院，浙江舟山 310015）

就物理實驗教材中有關(guān)誤差理論概念的延伸、表達，以及有效數(shù)據(jù)的理解，分別進行了剖析，以便有利于學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的參考。

誤差理論；正態(tài)分布；標(biāo)準(zhǔn)誤差；總不確定度；置信概率；有效數(shù)據(jù)；理解

誤差理論是大學(xué)物理實驗教學(xué)中的一部分重要內(nèi)容，是學(xué)好大學(xué)物理實驗的基礎(chǔ)和前提。學(xué)生對這部分內(nèi)容難于掌握，更難學(xué)深、學(xué)透，甚至出現(xiàn)理解謬誤，如此必然會影響實驗數(shù)據(jù)的測量、處理和結(jié)果表達?；诖?，作者刻意對這些概念一一進行剖析，以從根本上引導(dǎo)學(xué)生弄清這些概念，以便提高學(xué)生的實驗?zāi)芰Α?/p>

1 標(biāo)準(zhǔn)誤差（ε）在正態(tài)分布曲線的位置

在對某一物理量等精度測量了n次，即xi（i＝1，2，3，…，n），則該物理量的平均值為ˉx，當(dāng)n取無窮大（∞）時，ˉx趨近真值（x0），即式中，ε稱標(biāo)準(zhǔn)誤差（簡稱標(biāo)差），f（Δx）～Δx曲線為正態(tài)分布曲線，Δx＝±ε為圖中拐點處。若在正態(tài)分布曲線兩邊曲線內(nèi)側(cè)作切線，分別為m、m′，該點應(yīng)在該切線斜率變化最大時對應(yīng)的位置，分別為A、A′，這兩點位置的確定，需要采用對（2）式兩階導(dǎo)數(shù)，并讓其等于零，解得Δx值即為拐點對應(yīng)的橫坐標(biāo)值，此處為ε′，所謂拐點就是曲線經(jīng)過該點首先向上凹，隨即變?yōu)橄蛏贤埂?/p>

圖1 正態(tài)分布曲線

對（2）式求一階導(dǎo)數(shù)得

再求二階導(dǎo)數(shù)得0，得Δx＝±ε（ε≠0），由于f″（Δx）＝［f′（Δx）］′，所以，在Δx＝±ε處，是正態(tài)分布中切線斜率變化最大的點（即A、A′）。由理論推導(dǎo)可知標(biāo)準(zhǔn)差差為

由此，標(biāo)準(zhǔn)差ε、-ε并非圖1中正態(tài)分布曲線上的位置，而應(yīng)為過A、A′兩點作平行于縱軸f（Δx）的兩條直線（用虛線表示）l、l′，分別與橫軸（Δx）交點ε′、-ε′。

由此可知，許多教科書中正態(tài)分布曲線圖中所標(biāo)ε、2ε、3ε與-ε、-2ε、-3ε的位置都是不正確的，應(yīng)以ε′、-ε′為準(zhǔn)來一次標(biāo)注。這點在教學(xué)中一定要向同學(xué)講明白。

2 總不確定度置信概率（P）不能采用標(biāo)差（ε）進行延伸

等精度條件下，對某一待測物理量進行多次測量，在對平均值（ˉx）作已定系統(tǒng)誤差（系差）糾正作為待測物理量的測量值，而對隨機誤差（A類）與未定系統(tǒng)誤差（B類）合成為不確定度分量u，即

式中，s為標(biāo)準(zhǔn)偏差，實際計算時用公式

在等精度多次測量中，正態(tài)分布曲線上若標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)取1、2、3，其對應(yīng)區(qū)間分別為［-ε，ε］、［-2ε，2ε］、［-3ε、3ε］，它們的置信概率分別為68.3%、95.5%、99.7%。如圖1所示。但是，（8）中的U＝cu（c＝1、2、3）時，在一些大學(xué)物理實驗教材中，采用了標(biāo)準(zhǔn)差的延拖，即測量物理量的真值在［-u，u ］、［-2u，2u］、［-3u、3u］區(qū)間的置信概率分別也是68.3%、95.5%、99.7%，作者認為兩種不同情況下置信概率的套用是不妥當(dāng)?shù)?，因為ε和u是兩個內(nèi)涵有所不同的物理量，因此，置信概率不能采用延拖套用。

3 正態(tài)分布曲線采用對鋼板不同處厚度的測量數(shù)據(jù)引入存在不妥

一些教科書中為了形象地講解隨機誤差正態(tài)分布曲線規(guī)律，而采用了用螺旋測微器對同一鋼板厚度進行測量的一組數(shù)據(jù)，以此來講解和分析在等精度測量條件下，對某一物理量進行多次測量，其測量結(jié)果符合正態(tài)分布變化規(guī)律，存在原則上錯誤。在討論概率密度函數(shù)方面，明顯對學(xué)生有誤導(dǎo)。所測數(shù)據(jù)見表1所示。

表1 螺旋測微器測量同一鋼板厚度的數(shù)據(jù)記錄

表2為對某一鋼板厚度測量了200次，共15組數(shù)據(jù)xi（i＝1，2，3，…，15），分布于以0.029 mm為間隔分5.315～5.764 mm為15個小區(qū)間內(nèi)，各值在各小區(qū)間重復(fù)次數(shù)用n表示，不同測量值與出現(xiàn)次數(shù)之關(guān)系用概率分布函數(shù)來描述，作者認為不甚妥當(dāng)。原因有三：其一，正態(tài)分布曲線，是以Δx為橫坐標(biāo)，以f（Δx）為縱坐標(biāo)，即f（Δx）～Δx的關(guān)系曲線，滿足式（2）數(shù)學(xué)模型，而表中所畫柱狀圖是相對次數(shù)（概率）～序號（與表中測量值對應(yīng)）各柱體頂端中點連接的曲線，此處橫坐標(biāo)并非標(biāo)準(zhǔn)偏差差Δx＝xi－ˉx，沒有可比性；其二，正態(tài)分布曲線是指在等精度測量條件下，對同一物理量多次測量，而表中鋼板厚度測量值雖然全部落入5.334～5.745 mm區(qū)間，而并非對同一物理量進行多次測量值，由于鋼板各處厚度不同，故不能把不同處鋼板厚度測量值看作同一物理量，因同一物理量真值是唯一的，若表中測量數(shù)據(jù)不存在系差，僅有隨機誤差，表中所測系列值的最大值與最小值之差0.411 mm，是螺旋測微器精度0.01 mm的41.1倍、儀器誤差0.005 mm的82.2倍。因此，這樣一種類比引入隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律，難免牽強附會、意義不充分，甚至?xí)o學(xué)生引入誤區(qū)；其三，表中可知所測200組數(shù)據(jù)中，所測15組數(shù)據(jù)分別與序號1、2、…15對應(yīng)，即橫坐標(biāo)每序號將與測量值對應(yīng)，各測值出現(xiàn)次數(shù)剛好關(guān)于最大次數(shù)32（相對次數(shù)16）為對稱，作者認為這樣一種分布實際上也是不存在的。因此，用此測量數(shù)據(jù)來類比正態(tài)分布曲線是不科學(xué)的、理想化的，因此，老師在教學(xué)中必須向?qū)W生給予明確強調(diào)。

圖2 概率密度分布條形圖

4 對不同情況下有效數(shù)字保留的理解

物理實驗中有效數(shù)字的位數(shù)和數(shù)學(xué)上涵義有所差別，具體涉及物理量測量中有效數(shù)字的位數(shù)、數(shù)據(jù)處理過程中有效數(shù)字的位數(shù)、結(jié)果表達時總不確定度與測量值有效數(shù)字的位數(shù)等方面。

4.1 物理實驗與數(shù)學(xué)上有效數(shù)據(jù)的運算存在著本質(zhì)區(qū)別

有效數(shù)據(jù)是第一位非零數(shù)后面的所有數(shù)據(jù)個數(shù)，比如，0.302 001和163.00有效數(shù)據(jù)位數(shù)分別是6位和5位，在一般數(shù)學(xué)運算過程中沒有特別規(guī)定，計算結(jié)果一般保留至小數(shù)點后面的第二位。而物理實驗有效數(shù)據(jù)運算的位數(shù)有特別規(guī)定。另如數(shù)學(xué)上8.35＝8.350＝8.350 0，而物理實驗8.35≠8.350≠8.350 0，等等在此就不一一列舉了。

4.2 采用不同量具測量時有效數(shù)據(jù)位數(shù)的保留

在等精度測量某一物理量時，原則上應(yīng)該讓待測物理量有效數(shù)據(jù)位數(shù)最多，如此定能提高待測物理量的精度。比如，用邁克爾遜測量激光波長時，讀尺順序依次為主尺、副尺、游標(biāo)尺，讀游標(biāo)尺時最后一位要估讀，測得移動鏡刻度一般為4～5位有效數(shù)據(jù)，若主尺讀數(shù)＜10 mm為4位，凡帶標(biāo)尺的測量均與此相仿。

4.3 有效數(shù)據(jù)多少不同其精度不同

在使用不同精度量具測量同一待測物理量時，測得有效數(shù)字位數(shù)不同，其精度也就不同。比如，用Δ儀＝0.1 mm鋼尺測量某物厚度為8.4 mm，用Δ儀＝0.02 mm游標(biāo)卡尺測為8.36 mm，若用Δ儀＝0.04 mm螺旋測微器測為8.357 mm?？擅黠@看出，用不同精度量尺測得某物厚度所得有效數(shù)據(jù)位數(shù)不同，其相對誤差分別為1.2%、0.24%、0.05%。由此可見，有效數(shù)據(jù)位數(shù)多一位其相對誤差就提高1個數(shù)量級。

4.4 結(jié)果表達式中總不確定度與測量值有效數(shù)據(jù)位數(shù)的保留

在直接測量某一物理量時，有效數(shù)字位數(shù)多少的確定方法，要依不同情況而定，比如，若利用最小分度0.02 mm游標(biāo)卡尺在等精度條件下測量某圓柱體外徑共8組數(shù)據(jù)，分別為6.942 cm、6.943 cm、6.944 cm、6.946 cm、6.941 cm、6.945 cm、6.94 2cm、6.947 cm，其平均值為6.843 75 mm，其多保留了2位，此時，絕對不能認為測量某物厚度有效數(shù)據(jù)位數(shù)為6位的。依標(biāo)準(zhǔn)偏差公式（7）算得s≈0.106 9 cm，依據(jù)公式（6）算得u≈0.107 1 cm，算得U＝cu＝0.321 3（取c＝3），由于總不確定度首位數(shù)≥3和取大優(yōu)先原則，根據(jù)公式（8），則該物厚度測量結(jié)果表達式為因此，測量結(jié)果有效位數(shù)為3位。

由此可知，單次測量和多次測量有效數(shù)據(jù)有可能不同，多次測量結(jié)果的有效數(shù)據(jù)位數(shù)要依據(jù)總不確定度有效數(shù)據(jù)來確定，而單次測量僅由儀器誤差確定。

5 結(jié) 論

本文論述了（1）正態(tài)分布曲線兩側(cè)對稱拐點即斜率變化最大處對應(yīng)橫坐標(biāo)Δx值為標(biāo)準(zhǔn)誤差（ε），可采用對正態(tài)分布函數(shù)二次微分讓其等于零求得Δx＝±ε，來確定了標(biāo)準(zhǔn)差在圖中的準(zhǔn)確位置不是圖中的（-ε′，ε′），而是目前圖中的準(zhǔn)確位置（-ε′，ε′）；（2）總不確定度U＝cu（c＝1，2，3）時的置信概率根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差ε及2ε、3ε置信概率延拖欠妥；（3）采用對鋼板厚度測量數(shù)據(jù)來引申理解正態(tài)分布曲線，存在一定的不科學(xué)性與不合理性；（4）有效數(shù)據(jù)位數(shù)保留的幾種情況。指出了一些實驗教材中對上述誤差理論概念理解分歧與理由；作者解決了學(xué)生們學(xué)習(xí)誤差理論存在的疑惑和疑難。

Discussion on Some Problems in the Error Theory

FANG Xin，ZHANG Rui-bo

（Zhejiang University；Zhejiang Zhoushan，310015）

In this paper some expressing ways and meaning extending of concept in error theory were discussed in physics experiment.The understanding on useful data were explained.For example，①the position of standard error（ε）were marked in the curve of normal distribution，②the concept of standard error were extended in discussing confidence level（P）of uncertainty degree（U），③the curve of normal distribution of the steel plate thickness were imitated by data from measuring with screw thread mirometer.I wish that the above analysis conclusion can provide some references for students and teachers in the processes of learning and teaching of physics experiments.

error theory；standard error；total uncertainty；confidence level；useful data；understandin g

O4－33

A

1007-2934（2011）06-0086-04

2011-08-31

＊通訊聯(lián)系人