劉 靜，門克內(nèi)木樂，包 雷，趙飛龍，劉繼芳

（1.內(nèi)蒙古大學(xué)，內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特 010021；2.西安電子科技大學(xué)，陜西西安 710071）

基于MATLAB軟件對不同偏振光在不同介質(zhì)中的傳播過程的動態(tài)模擬

劉 靜1，門克內(nèi)木樂1，包 雷1，趙飛龍1，劉繼芳2

（1.內(nèi)蒙古大學(xué)，內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特 010021；2.西安電子科技大學(xué)，陜西西安 710071）

利用MATLAB軟件對不同偏振光在真空、各向同性介質(zhì)、線型各向異性介質(zhì)以及圓型各向異性介質(zhì)中的傳播過程進(jìn)行了三維動態(tài)模擬，能夠加深學(xué)生對光的偏振概念以及各種偏振光與不同介質(zhì)之間相互作用原理的理解。

偏振光；線型各向異性介質(zhì)；圓型各向異性介質(zhì)；MATLAB軟件；動態(tài)模擬

光的電磁學(xué)理論已發(fā)展相當(dāng)完善的同時，偏振光學(xué)研究卻不斷取得出人意料的重要發(fā)現(xiàn)，如現(xiàn)代光學(xué)技術(shù)越來越依賴偏振光自身攜帶的豐富信息作為探測和感知世界的手段，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)宇宙微波背景輻射中顯示一定規(guī)律的偏振分布，而這些分布正反映了宇宙演化過程的信息［1］。光的偏振特性及其與不同介質(zhì)之間的相互作用逐漸成為目前基礎(chǔ)研究和光學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)。然而由于偏振光學(xué)理論知識較為抽象、在實(shí)驗(yàn)上又不易實(shí)現(xiàn)，因此多數(shù)學(xué)生對光的偏振特性理解不夠準(zhǔn)確和深入。近年來，計(jì)算機(jī)模擬光學(xué)現(xiàn)象已經(jīng)成為實(shí)驗(yàn)教學(xué)較好的補(bǔ)充，比如出現(xiàn)了很多關(guān)于楊氏雙縫干涉［2］、雙點(diǎn)光源干涉［3］和白光夫瑯和費(fèi)衍射［4］等實(shí)驗(yàn)的計(jì)算機(jī)模擬。

本文中利用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)了不同偏振光在真空、各向同性介質(zhì)、線型各向異性介質(zhì)以及圓型各向異性介質(zhì)中傳播過程的三維動態(tài)模擬。動態(tài)的視頻效果更加生動逼真，從而使復(fù)雜難以想像的光傳播過程變得直觀，并且通過改變程序中各項(xiàng)參數(shù)，可以得到不同實(shí)驗(yàn)條件下不同偏振光的傳播過程，能讓學(xué)生對光的偏振概念以及各種偏振光如何與不同介質(zhì)之間相互作用的物理現(xiàn)象等有更加深刻的理解。

1 基本理論與模擬方法

使用MATLAB模擬偏振光的傳播，首先對光傳播過程進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，建立適合程序?qū)崿F(xiàn)的數(shù)學(xué)模型，然后利用MATLAB寫出與數(shù)學(xué)語言相對應(yīng)的程序并編制成m文件，最后通過調(diào)整有關(guān)參數(shù)，便可模擬出不同實(shí)驗(yàn)條件下不同偏振光的傳播過程［5－6］。

1.1 光波數(shù)學(xué)表達(dá)式

根據(jù)麥克斯韋電磁理論，可知光是某一波段的電磁波。因此，從波的傳播特性來看，電矢量和磁矢量是處于同等地位、相互激勵、不能分離，但是從光與介質(zhì)相互作用來看，磁矢量作用力遠(yuǎn)比電矢量小得多，其比值是V2／C2，一般可以忽略不計(jì)，故在討論光的波動特性時，只考慮電場矢量即可。

光波在介質(zhì)中傳播時，會因插入介質(zhì)的表面反射、內(nèi)部吸收和散射等過程而衰減，會因介質(zhì)折射率的不同而發(fā)生傳播方向和波長的變化。在本論文中我們忽略表面反射和傳播方向的變化問題（假設(shè)入射角為零），并假設(shè)所有介質(zhì)為均勻的，只考慮簡單的平面光波，且設(shè)其沿z方向傳輸。

1.1.1 各向同性介質(zhì)中光的表達(dá)式

通常情況下，只考慮各向同性介質(zhì)中傳播的情況，由于介電張量為常量，各個方向的折射率、吸收系數(shù)都相同，所以很少考慮光的偏振特性，此時光電場表達(dá)式為：

其中：E（z）為振幅，隨傳播距離增長而減??；φ（z，t）為相位，隨傳播距離和時間改變而變化；E0為初振幅，即z＝0處的振幅；φ0為初相位，即t＝0時刻z＝0處的相位；ω為角頻率，k為波矢，λ0為真空中的波長，c為光在真空中傳播速度，n為介質(zhì)折射率，α是介質(zhì)吸收系數(shù)，γ是介質(zhì)散射系數(shù)（由于其衰減作用與吸收系數(shù)一樣，所以以后的計(jì)算中忽略介質(zhì)的散射系數(shù)）。真空中，α＝γ＝0，n＝1。

1.1.2 線型各向異性介質(zhì)中光的表達(dá)式

材料的光學(xué)各向異性特性包括多向色性和雙折射。多向色性是指材料對光波的吸收系數(shù)，不但取決于光的波長，還取決于光矢量相對與材料的方向；對單軸晶體稱為二向色性；對雙軸晶體稱為三向色性。雙折射是指材料對光的折射率因光的振動方向不同而發(fā)生改變。大多數(shù)材料都是二者兼有，只是一種占主導(dǎo)地位，并且在不同波長光的讀出下，二向色性率和雙折射率的大小與比值不同。

此時我們必須考慮光的偏振特性。由于光波是橫波，因此當(dāng)平面光沿z方向傳輸時，電場只有x，y方向的分量。1941年，瓊斯（R.C.Jones）用一個列矩陣來表示一電場矢量的x，y分量，稱為瓊斯矢量：

對于各向同性介質(zhì)，αx＝αy且nx＝ny；對于線型二向色性介質(zhì)，αx≠αy；對于線型雙折射介質(zhì)，nx≠ny。

1.1.3 圓型各向異性介質(zhì)中光的表達(dá)式

有些材料具有更特殊的光學(xué)特性，它們對左、右旋圓偏振光的吸收系數(shù)或折射率不相同，我們稱之為圓型各向異性，同樣包括圓型二向色性（circular dichroism）和圓型雙折射（circular birefringence）。此時需要使用圓基矢量分析法，即將任意偏振態(tài)的偏振光都可分解為左、右圓偏振光。則介質(zhì)中傳播的平面光波可以表示為：

式中：→El和→Eγ代表分解后的左、右圓分量；El0和Er0為它們的初振幅；φl0和φr0為它們的初相位，αl和αr是介質(zhì)對左、右圓偏振光的吸收系數(shù)，nl和nr為介質(zhì)對左、右圓偏振光的折射率。對于各向同性介質(zhì)，αl＝αr且nl＝nr；對于圓型二向色性介質(zhì)，αl≠αr；對于線型雙折射介質(zhì)，nl≠nr。

1.2 模擬方法

我們以較復(fù)雜的“光在圓各向異性介質(zhì)中傳播過程模擬”為例，其編程流程見圖1。

首先使用input函數(shù)輸入光與介質(zhì)參量，然后使用外層if對時間參量t疊加，內(nèi)層if對坐標(biāo)參量z疊加，獲得不同時間不同傳輸距離的電矢量。最后進(jìn)行三維顯示和視頻獲取：利用avifile函數(shù)生成對象，使用getframe函數(shù)捕捉動畫幀，保存至矩陣，接著addframe將圖加入movie，最后調(diào)用close釋放對象。

光在線各向異性介質(zhì)中傳播過程模擬，與光在圓各向異性介質(zhì)中傳播過程模擬基本類似，只需將l改成x，r改成y即可。對于各向同性材料初始值輸入時將αx＝αy且nx＝ny（或αl＝αr且nl＝nr）。對于真空中傳播，αx＝αy＝0且nx＝ny＝1。

以上程序模擬的是光在單一介質(zhì)中的傳輸過程，除此之外，還可以模擬光在多個介質(zhì)中的傳播過程。在傳輸距離（z）上分段，不同范圍對應(yīng)不同介質(zhì)，使用不同的吸收系數(shù)和折射率，具體方法不再贅述。

圖1 模擬光在圓型各向異性介質(zhì)中傳播的流程圖

2 模擬結(jié)果

本文中給出的所有模擬結(jié)果圖，都統(tǒng)一取λ＝450 nm，振幅為E0＝1，初始相位為φ0＝0。利用以上程序，我們可以獲得視頻圖，而在此只給出某一時刻的三維效果圖。

2.1 光在真空中傳播模擬結(jié)果

真空中取α＝0，n＝1。真空中線偏振光（2a和2b）和圓偏振光（2c）的傳播過程模擬結(jié)果見圖2。

圖2 真空中傳播過程模擬圖

在這模擬中，可以通過調(diào)x，y分量之間的振幅比E x／E y或相位差Δφ＝φx-φy可（或r，l分量之間的振幅比或相位差）以獲得不同偏振光，讓學(xué)生對偏振的概念及其直坐標(biāo)分量、圓坐標(biāo)分量和合成等能有更加深刻的認(rèn)識。

2.2 光在各向同性介質(zhì)中的傳播模擬結(jié)果

各向同性介質(zhì)中線偏振光（3a和3b）和圓偏振光（3c和3d）的傳播過程模擬結(jié)果如圖3中所示，圖中矩形框?yàn)榻橘|(zhì)區(qū)域，其它為真空。

通過對這部分的模擬結(jié)果與真空中傳播過程模擬結(jié)果進(jìn)行比較，能夠直觀的了解吸收引起的衰減作用和折射率引起的波長變化（光疏、光密等概念），并可以發(fā)現(xiàn)光在各向同性介質(zhì)中傳輸時，任意位置偏振態(tài)都是不變的。

圖3 光在各向同性介質(zhì)中的傳播圖形

2.3 光在線型各向異性介質(zhì)中的傳播模擬結(jié)果

不同偏振光在線型各向異性介質(zhì)中傳播模擬結(jié)果入見圖4。

圖4 光在線型各向異性介質(zhì)中傳播圖形

通過改變光參量和介質(zhì)參量，可以使學(xué)生對二向色性和雙折射能有更加深刻的認(rèn)識，還能通過模擬它們的典型應(yīng)用——偏振片（如圖4a和4b），1／4波片（如圖4c，線偏振通過它之后變?yōu)閳A偏振光），1／2波片（如圖4d，左旋圓偏振光線變?yōu)橛倚龍A偏振光）等，加深對它們工作原理的理解。

2.4 光在圓型各向異性介質(zhì)中的傳播模擬結(jié)果

光在圓型各向異性介質(zhì)中傳播模擬結(jié)果見圖5。

圖5 光在圓型各向異性介質(zhì)中傳播圖形

使用MATLAB軟件模擬實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，可以擴(kuò)展學(xué)生的知識面，能使學(xué)生更加系統(tǒng)全面的了解各種各向異性介質(zhì)，也有助于理解磁光調(diào)制等相關(guān)技術(shù)的機(jī)理，從而對物理實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生濃厚的興趣。

3 結(jié) 論

利用MATLAB實(shí)現(xiàn)了不同偏振光在各種介質(zhì)（真空、各向同性介質(zhì)、各向線型異性介質(zhì)、各向圓型異性介質(zhì)）中傳播過程的三維動態(tài)模擬，解決了實(shí)驗(yàn)室無法觀察偏振光傳播的問題，將難以想象的光學(xué)傳播過程用直觀形象的動畫形式表現(xiàn)出來。通過改變程序中各項(xiàng)參數(shù)，就可以得到不同實(shí)驗(yàn)條件下不同偏振光的動態(tài)傳播圖樣，具有可重復(fù)性、靈活多用。動態(tài)的圖樣給學(xué)生視覺上的沖擊。

通過“光在各向同性介質(zhì)中傳播模擬”實(shí)驗(yàn)，學(xué)生能夠直觀的了解吸收引起的衰減作用和折射率引起的波長變化作用（光疏、光密等概念），并可以發(fā)現(xiàn)光在各向同性介質(zhì)中傳輸時，任意位置偏振態(tài)都是不變的。“光在線型各向異性介質(zhì)中傳播模擬”實(shí)驗(yàn)中，通過改變光學(xué)參量和介質(zhì)參量，可以使學(xué)生對二向色性和雙折射能有更加深刻的認(rèn)識，還能通過模擬它們的典型應(yīng)用——偏振片，1／4波片，1／2波片等，加深對它們工作原理的理解?！肮庠趫A型各向異性介質(zhì)中傳播模擬”實(shí)驗(yàn)中，可以擴(kuò)展學(xué)生的知識面，使他們了解何為圓型二向色性和圓型雙折射，加深對磁光調(diào)制等相關(guān)技術(shù)的理解。

通過此模擬實(shí)驗(yàn)，學(xué)生對光的偏振概念以及各種偏振光如何與不同介質(zhì)相互作用的物理現(xiàn)象等能有更加深刻的理解，為學(xué)習(xí)偏振光傳播及其后續(xù)相關(guān)課程起到有效的輔助作用，有助于使用者化抽象為具體，從而更好地洞察含義、理解概念、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，使教學(xué)達(dá)到更加滿意的效果。

［1］ Kovac JM，Leitch EM，Pryke C，et al.Detection of polarization in the cosmic microwave background using DASI［J］.Nature，2002，420（6917）：772.

［2］ 崔海瑛.基于MATLAB的楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)的研究［J］.大慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，29（6）：95-97.

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［5］ 李顯宏.MATLAB7.x界面設(shè)計(jì)與編譯技巧［M］.西安：西安電子工業(yè)出社，2006.

［6］ 周開利，鄧春暉.MATLAB基礎(chǔ)及其應(yīng)用教程［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2007.

The Dynamic Simulation of Propagation Processes of Different Polarized Lights in Different Media Based on MATLAB Software

LIU Jing1，MENKE Nei-mule1，BAO Lei1，ZHAO Fei-long1，LIU Ji-fang2

（1.Inner Mongolia University，Inner Mongolia Hohhot 010021；2.Xi’an University，Shanxi Xi’an 710071）

The propagation processes of different polarized lights in vacuum，isotropic media，linear anisotropic media and circular anisotropic media are three-dimensionally dynamically simulated by using MATLAB software.These simulations make the complex and abstract light propagation processes become visual，which are effective aids for optics’teaching.These simulations can enhance the understanding of the concept and the interactions with media of polarized lights.So this paper has certain value for teaching and research.

polarized light；linear anisotropic media；circular anisotropic media；MATLAB software；dynamic simulations

O431

A

1007-2934（2011）06-0061-06

2011-06-29

國家自然科學(xué)基金（60867001）；內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)研究（NJZZ07007）；內(nèi)蒙古大學(xué)高層次引進(jìn)人才啟動基金；學(xué)校大學(xué)生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目.

＊通訊聯(lián)系人