劉 凱，董西廣

(河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系，河南 鄭州 451191)

變結(jié)構(gòu)控制是系統(tǒng)控制的一種重要方法，它在20世紀(jì)60年代就已經(jīng)受到了廣泛的關(guān)注，在魯棒控制、自適應(yīng)控制、狀態(tài)觀測等方面都有廣泛的應(yīng)用[1-2].它的中心思想是在控制系統(tǒng)中設(shè)計(jì)切換面和一個關(guān)于切換面的切換控制律，使得系統(tǒng)軌跡最終可以達(dá)到切換面[3].這項(xiàng)技術(shù)為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的一些目標(biāo)提供了一個設(shè)計(jì)控制面的基本框架.

對于線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[4]解決了不需要經(jīng)典形式的Ricatti方程的求解問題，通過此形式，使得系統(tǒng)軌跡最終達(dá)到切換面的Lyapunov函數(shù)和控制律很快被設(shè)計(jì)出來，但是這些考慮都是在線性系統(tǒng)中.文獻(xiàn)[5]給出了不確定線性系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制問題，但是系統(tǒng)考慮的只有狀態(tài)參數(shù)的擾動問題，不包含控制參數(shù)的擾動.文獻(xiàn)[6]將之前的滑動面改進(jìn)為狀態(tài)空間中的一個子集滑動區(qū)域，在滑動區(qū)域內(nèi)，0控制使得Lyapunov函數(shù)單調(diào)遞減，之后，在滑動區(qū)域外設(shè)計(jì)了一個控制使得系統(tǒng)狀態(tài)最終進(jìn)入滑動區(qū)域，從而使系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定.

另外，文獻(xiàn)[7]考慮了一個非線性時變系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制，通過微分Ricatti方程的解設(shè)計(jì)出系統(tǒng)的滑動區(qū)域，同時給出了一個變結(jié)構(gòu)控制律使得系統(tǒng)最終進(jìn)入滑動區(qū)域，而系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)在滑動區(qū)域內(nèi)單調(diào)遞減.但是，文獻(xiàn)[7]同樣只考慮了系統(tǒng)的狀態(tài)擾動，并未考慮系統(tǒng)的控制參數(shù)擾動.

本文考慮了一個非線性時變帶參數(shù)擾動的變結(jié)構(gòu)控制問題，此非線性系統(tǒng)可以由一個狀態(tài)決定的線性時變系統(tǒng)來描述，同時假定系統(tǒng)滿足若干假設(shè).在此假設(shè)之下，給出了一個狀態(tài)決定的微分Ricatti方程，并通過此Ricatti方程的解設(shè)計(jì)出滑動區(qū)域.之后，給出變結(jié)構(gòu)控制律.此變結(jié)構(gòu)控制律使得系統(tǒng)最終從滑動區(qū)域外進(jìn)入滑動區(qū)域內(nèi)，而在滑動區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)單調(diào)遞減，從而使得系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

本文的第1部分描述問題，并且給出一些定義以及前人給出的定理；第2部分為系統(tǒng)的主要結(jié)果；最后，給出問題的研究方向.

1 問題描述

考慮如下一個帶參數(shù)擾動的單輸入非線性時變系統(tǒng)：

(1)

其中，x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)，u∈R為系統(tǒng)的單輸入變量，且對于x∈Rn，t∈R+總有f(x，t)，g(x，t)∈Ck，g(x，t)≠0，Δf(x，t)和Δg(x，t)為系統(tǒng)中的參數(shù)擾動，同時，對于f(x，t)，Δf(x，t)，g(x，t)和Δg(x，t)都有適當(dāng)?shù)木S數(shù).

假設(shè)對于?t∈R+，有f(0，t)=0.f(x，t)關(guān)于x連續(xù)可微且關(guān)于x滿足局部李普希茲條件，則對于非線性系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性可以等價為如下形式的狀態(tài)決定線性時變系統(tǒng)[8]：

(2)

其中，A(x，t)x=f(x，t)，ΔA(x，t)x=Δf(x，t)，ΔA(x，t)=E1(x，t)Δ1(x，t)F1(x，t)，B(x，t)=g(x，t)，ΔB(x，t)=Δg(x，t)，ΔB(x，t)=E2(x，t)Δ2(x，t)F2(x，t)，對于i=1，2時，A(x，t)，B(x，t)以及Ei(x，t)，F(xiàn)i(x，t)為適當(dāng)維數(shù)的確定系統(tǒng)矩陣，而Δi(x，t)為滿足適當(dāng)維數(shù)的不確定矩陣.

在文獻(xiàn)[5-7]中，帶參數(shù)擾動的系統(tǒng)并沒有給出適當(dāng)?shù)目紤]，為了給出這類系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制，首先給出如下幾個假設(shè).

假設(shè)1 對于不確定矩陣Δ(x，t)=diag(Δ1(x，t)，Δ2(x，t))，滿足：

ΔT(x，t)Δ(x，t)≤I.

假設(shè)2 存在常數(shù)0<λ<1，使得對于x∈Rn，t∈R+，有

本文將要給出基于滑動區(qū)域的控制律設(shè)計(jì)方法，在由此設(shè)計(jì)出的控制律之下，閉環(huán)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定.為了給出這樣的控制律，我們首先給出滑動區(qū)域的定義以及一個重要引理.

1.1 非線性時變滑動區(qū)域

對于線性時不變系統(tǒng)，文獻(xiàn)[5]給出了一個線性時不變滑動區(qū)域，在此滑動區(qū)域內(nèi)，Lyapunov函數(shù)遞減.與這種情況類似，對于非線性時變系統(tǒng)(2)，我們可以設(shè)計(jì)如下定義的非線性時變滑動區(qū)域.

定義1 如下式定義的狀態(tài)空間Rn的子集:

S(t)={x|s2(x，t)≤δ2(x，t)，x∈Rn，t∈R+}，

(3)

稱為非線性時變滑動區(qū)域，若滿足如下條件：

(1)對于Lyapunov函數(shù)V(t)=xTP(x，t)x，?x∈Rn(x≠0)，t∈R+，有V(t)>0；

(2)存在一變結(jié)構(gòu)控制律，在控制律下，Lyapunov函數(shù)沿系統(tǒng)(2)軌跡的微分滿足

(4)

其中，P(x，t)∈Rn×n為對稱正定矩陣函數(shù)，R(x，t)∈Rn×n為對稱半正定矩陣函數(shù)，$R(x，t)=CT(x，t)C(x，t)，C(x，t)∈Rl×n，(A(x，t)，C(x，t))對于任意的x∈Rn，t∈R+可觀測，且切換函數(shù)s(x，t)和狀態(tài)決定時變二次函數(shù)δ2(x，t)的平方根δ(x，t)由(5)式和(6)式描述：

s(x，t)=S(x，t)x，S(x，t)∈Rl×n,

(5)

(6)

本文將要給出基于系統(tǒng)(2)的滑動區(qū)域及相對于滑動區(qū)域的滑動控制律，并證明在此滑動控制律控制之下，Lyapunov函數(shù)遞減，從而使得系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

1.2 相關(guān)引理

在本節(jié)中，將要用到一些引理，這些引理對于本文結(jié)論的證明非常重要.

引理1[13-14]對于單輸入時變非線性系統(tǒng)(2)，任意給定的對稱正定矩陣函數(shù)Q(x，t)，若(A(x，t)，B(x，t))能控，則存在對稱正定矩陣函數(shù)P(x，t)，滿足如下的狀態(tài)決定微分Riccati方程:

(7)

初始條件為P(x(t0)，t0)=P0>0.

此引理在文獻(xiàn)[13-14]中給出了證明，文獻(xiàn)[7]的結(jié)論主要是基于此引理所給出的.文獻(xiàn)[7]首先基于引理中Riccati方程的解給出了滑動區(qū)域，同時也給出了如下的非線性時變控制律：

u=-BT(x，t)P(x，t)x,

(8)

并且在此控制律之下，證明了系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)單調(diào)遞減.

(9)

對于任意的x∈Rn，t∈R+，ΔA(x，t)=ΔB(x，t)=0則在控制律(8)控制之下，系統(tǒng)(2)全局漸近穩(wěn)定.

2 主要結(jié)論

本節(jié)將要給出本文的主要結(jié)論.對于帶參數(shù)擾動的狀態(tài)決定線性時變系統(tǒng)(2)，可以將之化為如下形式的系統(tǒng):

(10)

其中，E(x，t)=(E1(x，t)，E2(x，t)).此形式相對于系統(tǒng)(2)，將不確定條件完全孤立了出來.

(11)

初始條件為P(x(t0)，t0)=P0>0.

下面，我們分兩步來考慮控制律的設(shè)計(jì)問題，首先在滑動區(qū)域中設(shè)計(jì)出使得Lyapunov函數(shù)遞減的控制律.

定理1 對于滿足假設(shè)1，2，3的系統(tǒng)(10)，如果：

(1)對于對稱正定矩陣Q(x，t)∈Rn×n，正定矩陣函數(shù)P(x，t)是微分Riccati方程(11)的解，且Lyapunov函數(shù)由P(x，t)構(gòu)造得到；

則非線性時變滑動區(qū)域可以定義為：

S(t)={x|s2(x，t)≤δ2(x，t)，x∈Rn，t∈R+},

(12)

其中，δ(x，t)和切換函數(shù)s(x，t)為如下形式：

(13)

在此控制律下，在滑動區(qū)域中，Lyapunov函數(shù)沿著閉環(huán)系統(tǒng)軌跡單調(diào)遞減.

證明對于Lyapunov函數(shù)V(t)=xTP(x，t)x，考慮其沿著系統(tǒng)軌跡的導(dǎo)數(shù)，有：

代入控制律u，又因?yàn)樵诨瑒訁^(qū)域中，且λ∈(0，1)，因此有：

結(jié)論得證.

由如上定理1可以得到，在(13)的控制之下，Lyapunov函數(shù)沿著閉環(huán)系統(tǒng)(10)在滑動區(qū)域內(nèi)的系統(tǒng)軌跡單調(diào)遞減.因此，我們只需要在滑動區(qū)域之外重新設(shè)計(jì)一個控制律，此控制律可以將滑動區(qū)域之外的系統(tǒng)軌跡拉回到滑動區(qū)域內(nèi)，從而保證系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性.

定理2 對于滿足假設(shè)1，2，3的系統(tǒng)(10)，如果

(1)α(x，t)，β(x，t)為如下定義的標(biāo)量函數(shù)：

(14)

(15)

(2)存在常數(shù)0<γ<1，使得F2(x，t)=γB(x，t)；

(3)非線性時變滑動區(qū)域和非線性時變切換函數(shù)s(x，t)的形式由定理1給出，基于滑動區(qū)域給出的滑動控制律定義如下：

(16)

則在非線性滑動控制律(16)下，系統(tǒng)(10)全局漸近穩(wěn)定.

定理2的證明和定理1的證明過程基本類似，在這里不再給出.

參考文獻(xiàn)：

[1] Edwards C, Spurgeon S K. Sliding Mode Control Theory and Applications[M]. London:Taylor & Francis, 1998.

[2] Utkin V I. Variable structure systems with sliding modes[J]. IEEE Trans Automat Cont, 1977(22):212-222.

[3] Utkin U. Sliding Models in Control and Optimization[M]. London: Springer-Verlag, 1992.

[4] Su W C, Drakunov S V, Ozguner U. Constructing discontinuity surface for variable structure systems[J]. Automatica, 1996,32(6):925-928.

[5] Ferrara A. A variable structure convex programming based control approach for a class of uncertain linear systems[J].System & Control Letter, 2005(54):529-538.

[6] Furuta K, Pan Yaodong. Kariable structure control with sliding sector[J]. Autormatica, 2000(36):211-228.

[7] Pan Y, Krishna D K, Liu G. Design of variable structure control system with nonlinear time-Varying sliding sector[J]. IEEE Trans on Automatic Control, 2009，54(8): 1981-1986.

[8] Cloutier J. State-dependent Riccati Equation Techniques: an Overview[C]. Proc Amer Control Conf Albuquerque NM, 1997：932-936.

[9] Anderson B，Moore J. Optimal Control-Linear Quadratic Methods[M]. NJ: Prentics Hall, 1990.

[10] Kokotovic P，Areak M. Conctructive nonliear control: a historical perspective[J]. Automatica, 2001，37(5):637-662.

[11] Bartolini G, Ferrara A，Usai E. Chattering avoidance by second order sliding mode control[J]. IEEE Trans Autom Control, 1998(43)：241.

[12] Sontag E D, Wang Y. On characterizations of the input-to-state stability property[J]. Systems & Control Letter, 1995(24)：351-359.

[13] Sontag E D, Wang Y. A smooth converse Lyapunov theorem for robust stability[J]. Control & Optimization, 1996(13):124-160.

[14] Kachroo P, Tomizuka M. Hattering reduction and error convergence in the sliding-mode control of a class of nonlinear systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1996(41)：1063-1068.

[15] Sun X, Zhao J, Hill D J. Stability and L∞-gain analysis for switched delay systems: a delay-dependent method[J]. Automatica, 2006(42):1769-1774.

[16] Liberzon D. Switching System and Control[M]. Boson:Birkhauser,2003.