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        具有非局部反應(yīng)項(xiàng)的退化拋物方程解的爆破

        2011-11-24 06:58:02荊煥先石金娥魏保軍郭從洲
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)研究

        荊煥先, 石金娥, 魏保軍, 郭從洲

        (信息工程大學(xué) 理學(xué)院,河南 鄭州 450001)

        本文主要研究了如下具有非局部源的退化的非線性拋物方程

        (1)

        的初邊值問(wèn)題的爆破.其中,00,α>-1,β>0.

        近年來(lái),有一些學(xué)者致力于非局部源的半線性拋物方程爆破性質(zhì)的研究[1-4],對(duì)不同模型得出了問(wèn)題解的整體存在性和解的爆破性質(zhì)以及解的爆破速率,研究問(wèn)題的方法也有很多.

        由文獻(xiàn)[1]和[5-6]所研究的問(wèn)題的解的爆破的啟發(fā),我們研究問(wèn)題(1)的解的爆破性質(zhì),通過(guò)引入特征函數(shù),根據(jù)其性質(zhì)構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)谋埔蜃?,利用比較原理,從而得出問(wèn)題解在有限時(shí)刻爆破.

        1 定義與引理

        定義1 設(shè)u(x,t)是問(wèn)題(1)的解,若存在T0<+∞,使得

        (2)

        則稱解u(x,t)在有限時(shí)刻產(chǎn)生爆破.

        為了解決問(wèn)題,引入如下特征值問(wèn)題:

        (3)

        (4)

        為了獲得問(wèn)題在Ω上的整體解的性質(zhì),我們選取Ω上的一個(gè)緊支集閉球B,在閉球B上考慮問(wèn)題(1),B??Ω.

        (5)

        其中,λ0>0,φ(x)是B上特征值問(wèn)題φ″(x)+λ1xαφ(x)=0的第一特征值λ0所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù).

        2 解的爆破

        定理1 設(shè)u(x,t)是問(wèn)題(1)的非負(fù)解,若λ>λ1,則u(x,t)在有限時(shí)刻產(chǎn)生爆破(λ1是區(qū)域B上特征問(wèn)題φ″(x)+λ1xαφ(x)=0的第一特征值).

        證明我們利用特征值方法證明,其中φ為區(qū)域B上的特征問(wèn)題φ″(x)+λ1xqφ(x)=0的第一特征函數(shù).φ滿足φ″(x)+λ1xαφ(x)=0,φ|?B=0,φ>0inΩ.

        由假設(shè)α>-1可得:當(dāng)α+1≤1時(shí),問(wèn)題可化為W′(t)≥-λ1W(t)+λeβW(t)/x,且x∈B??Ω,則‖x‖≤‖Ω‖,于是有W′(t)≥-λ1W(t)+λeβW(t)/‖Ω‖≥-λ1W(t)+λeβW(t)-λe‖Ω‖.

        只要λ>λ1,則W(t)必在有限時(shí)刻爆破.

        當(dāng)α+1>1時(shí),只要有xα≤β則問(wèn)題就化為W′(t)≥-λ1W(t)+λeW(t),且x∈B??Ω,則‖x‖≤‖Ω‖.于是有W′(t)≥-λ1W(t)+λeW(t).

        只要λ>λ1,則W(t)必在有限時(shí)刻爆破.

        所以由定義1及引理1得出:在特定條件下,問(wèn)題(1)的解u(x,t)在有限時(shí)刻爆破.

        參考文獻(xiàn):

        [1] Zhang Jian. Boundedness and blow-up behavior for reaction-diffusion systems in a bounded domain[J]. Nonlinear Analysis,1999(35):833-844.

        [2] Stuart A, Floater M S. On the conputation of blow-up[J]. Euro J Appl Math,1990(1):47-71.

        [3] 劉亞成. 半線性熱方程整體解的存在性與非存在性[J]. 數(shù)學(xué)年刊, 1997,18A(1):65-72.

        [4] Floater M S. Blow-up at the boundary for degenerate semilinear parabolic equations[J]. Arch Rat Mech Anal,1991(114):57-77.

        [5] Chan C Y, Liu H T. Global existence of solutions for degenerate semilinear parabolic problems[J]. Nonlinear Analysis,1998(34):617-628.

        [6] 施國(guó)華. 一類退化的半線性拋物型方程解的爆破與全局存在性[J]. 南京大學(xué)學(xué)報(bào)(數(shù)學(xué)半年刊),2000,17(1):116-124.

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