潘建輝, 鄧志穎,2, 楊春德

(1.重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院,重慶 400065; 2.蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,蘇州 215006)

“無(wú)窮小的比較”的定義及其改進(jìn)

潘建輝1, 鄧志穎1,2, 楊春德1

(1.重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院,重慶 400065; 2.蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,蘇州 215006)

“無(wú)窮小的比較”的現(xiàn)有定義有多種表述形式,但其中不少表述尚不夠準(zhǔn)確,有失嚴(yán)謹(jǐn),甚至?xí)?dǎo)致錯(cuò)誤命題的出現(xiàn).引入“基”概念可使無(wú)窮小及無(wú)窮小比較的定義更為嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)潔、一般化.將無(wú)窮小量按含0值點(diǎn)的不同情況分為2類(lèi),有利于找出“無(wú)窮小的比較”現(xiàn)有定義中存在的問(wèn)題.通過(guò)調(diào)整大前提,解決了定義項(xiàng)與被定義項(xiàng)外延不一致的問(wèn)題;通過(guò)轉(zhuǎn)除為乘,解決了定義項(xiàng)中分母不能為0的問(wèn)題.改進(jìn)后的3種定義形式可滿足不同教學(xué)層次的教材需要.

無(wú)窮小量;階的比較;定義改進(jìn);外延;基

函數(shù)的漸近行為可用函數(shù)的比較來(lái)刻畫(huà),而無(wú)窮小的比較又是函數(shù)比較中的關(guān)鍵與核心.因此,在函數(shù)的漸近理論中,如何用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言給無(wú)窮小的比較下一個(gè)科學(xué)的定義,就顯得十分重要.

現(xiàn)有《數(shù)學(xué)分析》《、高等數(shù)學(xué)》和《微積分》教材,對(duì)無(wú)窮小比較的定義,可謂是五花八門(mén),林林總總.然而,其中不少定義卻不夠嚴(yán)謹(jǐn).若以此為前提,則將推出一些奇怪的命題.如,由α是β的高階無(wú)窮小,未必有β是α的低階無(wú)窮小,但由α是β的低階無(wú)窮小,則必有β是α的高階無(wú)窮小;當(dāng)x→0時(shí),x與不是同階無(wú)窮小;等價(jià)無(wú)窮小不具自反性;等等.那么,這些定義到底存在什么問(wèn)題,又該如何對(duì)它們進(jìn)行修正呢?為此,我們首先來(lái)認(rèn)識(shí)無(wú)窮小.

1 無(wú)窮小的定義及分類(lèi)

為了用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言給無(wú)窮小與無(wú)窮小的比較下一個(gè)更為一般的定義,先要介紹由現(xiàn)代法國(guó)數(shù)學(xué)家嘉當(dāng)(Cartan)所創(chuàng)立的濾子極限理論中的、在拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)分析中常用以定義收斂的一個(gè)叫做“濾子基”,簡(jiǎn)稱(chēng)“基”的概念.

1.1 基[1].

由集合X的某些子集B?X組成的集族B,稱(chēng)為集合X中的基,假如它滿足兩個(gè)條件：

(1)?B∈B(B≠?);

(2)?B1∈B,?B2∈B,?B∈B(B?B1∩B2).

即族B的元素不是空集,并且任二元素之交都含有族的某個(gè)元.

分析中常見(jiàn)的基有：點(diǎn)a∈R的去心鄰域組成的基(記為x→a),由無(wú)窮的鄰域組成的基(記為x→∞),點(diǎn)a在集合E中的去心鄰域組成的基(記為x→a∈E,包括單側(cè)逼近的情況),在集合E中的無(wú)窮鄰域組成的基(記為x→∞∈E,包括數(shù)列的情況),平面上給定點(diǎn)的開(kāi)圓組成的基等.

將“基”引入極限概念中,至少有三個(gè)優(yōu)點(diǎn).一是不必將各種情況下的極限定義一一羅列出來(lái);二是使極限涉及的內(nèi)容更為一般化,為不是在數(shù)集上定義的函數(shù),也提供了應(yīng)用極限理論的可能性.如,曲線長(zhǎng)就是在某一曲線類(lèi)上定義的一個(gè)數(shù)值函數(shù),如果對(duì)于折線知道了這個(gè)函數(shù),那么我們?cè)倮脴O限過(guò)渡就能定義更復(fù)雜的曲線(如圓周)的長(zhǎng);三是不必對(duì)每種具體形式的極限過(guò)程去一一驗(yàn)證和形式地證明有關(guān)極限的定理.

1.2 無(wú)窮小的定義.

現(xiàn)有教材給無(wú)窮小所下的定義有多種形式,但絕大多數(shù)定義的外延還不夠?qū)挿?且形式也不夠簡(jiǎn)潔.為避免這兩個(gè)問(wèn)題,可從“基”的角度對(duì)它作如下定義：

1.3 無(wú)窮小的分類(lèi).

為更好地研究無(wú)窮小的比較,有必要對(duì)它進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸?lèi).根據(jù)極限過(guò)程中函數(shù)是否必有0值點(diǎn),可將無(wú)窮小分成兩類(lèi)[3]：

(ii)否則,若在任何“時(shí)刻”后(除極限點(diǎn)外),f(x)總有零值點(diǎn),則稱(chēng)f(x)為第2類(lèi)無(wú)窮小.

如,x2和xsin分別是當(dāng)x→0時(shí)的第1類(lèi)和第2類(lèi)無(wú)窮小.特別地,若f(x)≡0,則在任何趨勢(shì)下,f(x)的極限均為0,故0是唯一為常數(shù),且是屬于第2類(lèi)的無(wú)窮小量.

2 無(wú)窮小比較的現(xiàn)有定義及由此產(chǎn)生的奇怪命題

2.1 現(xiàn)有教材關(guān)于無(wú)窮小比較的定義.

盡管我國(guó)的《數(shù)學(xué)分析》《、高等數(shù)學(xué)》和《微積分》教材關(guān)于無(wú)窮小的比較的定義有多種形式,但它們所采用的理論體系基本一致.這些定義的主要區(qū)別在于,它們所包含的小項(xiàng)數(shù)不同,以及其中等價(jià)無(wú)窮小定義外延的差異.大多數(shù)《高等數(shù)學(xué)》和《微積分》教材,給無(wú)窮小比較所下的定義包含5條內(nèi)容,且其中同階無(wú)窮小的外延基本一致.如：

定義1[4-5]設(shè)α和β都是在同一自變量的變化過(guò)程中的無(wú)窮小,又lim是在這一變化過(guò)程中的極限,

大多數(shù)《數(shù)學(xué)分析》教材給無(wú)窮小比較的定義與定義1相比,都有所改進(jìn).有的將定義1中的(i)和(ii)合并為(i),將(iii)的定義范圍大為擴(kuò)展,并去掉了第(iv)條,形成共包含3條的定義,如文[6]和[7];有的還給出了有界的概念,如文[8].但是,這些定義的嚴(yán)謹(jǐn)程度還是不夠高,仍需改進(jìn).

2.2 現(xiàn)有定義衍生出的奇怪命題.

以上定義都或多或少存在不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯?wèn)題,但相對(duì)而言,類(lèi)似定義1的表述其嚴(yán)謹(jǐn)程度最低,會(huì)衍生出較多的奇怪命題.如：

(i)一個(gè)無(wú)窮小可能無(wú)法與其自身比較階的高低.如,xsin,當(dāng)x=(n=±1,±2,…)時(shí),其

(ii)當(dāng)α是β的高階無(wú)窮小時(shí),β未必是α的低階無(wú)窮小.由定義1的(i)知,當(dāng)x→0時(shí),x2sin是比x高階的無(wú)窮小,但不能由(ii)得知x是比x2sin低階的無(wú)窮小.

(iv)若α是無(wú)窮小,則αk(k＞0)不一定是α的k階無(wú)窮小.如,當(dāng)x→0時(shí),(xsin)2不是xsin的2階無(wú)窮小,理由同(i).

(v)一個(gè)無(wú)窮小與其自身可能不等價(jià).如,當(dāng)x→0時(shí),按照定義1的(v),不能說(shuō)xsin與xsin是等價(jià)無(wú)窮小,理由同(i).

(vi)解決某些簡(jiǎn)單的極限問(wèn)題,用等價(jià)代換法、羅必達(dá)法和泰勒展開(kāi)法等重要方法可能都會(huì)失效.如,證明“當(dāng)x→0時(shí),是比x高階的無(wú)窮小”時(shí),這三種方法均無(wú)用武之地[9].

3 奇怪命題產(chǎn)生的原因與定義的改進(jìn)

出現(xiàn)以上奇怪命題的原因何在,又該如何改進(jìn)這些定義呢?

3.1 原因分析.

原因1 類(lèi)似于定義1的表述并非嚴(yán)格意義上的科學(xué)定義.既然無(wú)窮小包含兩類(lèi),那么無(wú)窮小的比較就可能出現(xiàn)三種情況：第1類(lèi)與第1類(lèi)、第2類(lèi)與第2類(lèi)、第2類(lèi)和第1類(lèi)的比較,但定義1的極限式中,因分母不能為0,故第(i)條只能是第1類(lèi)與第1類(lèi)或第2類(lèi)與第1類(lèi)相比,其他各條都只能是第1類(lèi)和第1類(lèi)的比較.這樣,每一條定義都是將被定義概念的外延縮小了,使得它們的定義項(xiàng)都只是被定義項(xiàng)成立的充分而非必要條件.因此,它們未達(dá)到科學(xué)定義的要求,均非嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)定義.

原因2 定義1中第(i)與第(ii)條不可能等價(jià).如前所述,第(i)條可以是按第1類(lèi)與第1類(lèi)、第2類(lèi)與第1類(lèi)的次序比較,但第(ii)條只能是按第1類(lèi)與第1類(lèi)的次序比較.因此,兩者所涵蓋的比較類(lèi)型不完全相同,故不可能等價(jià).

原因3 定義1第(iii)條中,極限值為非0常數(shù)時(shí),只是無(wú)窮小同階的特殊情況.事實(shí)上,同階需要滿足的條件比這個(gè)要弱許多,甚至當(dāng)兩個(gè)無(wú)窮小商的極限不存在時(shí),它們也可能同階.如,按后面改進(jìn)后的定義,當(dāng)x→0時(shí),x與,甚至與x(2+sin)等都是同階無(wú)窮小.

3.2 定義的改進(jìn).

方案1縮小比較范圍,取消低階定義,擴(kuò)大同階外延.即

(i)增加大前提β≠0(注：這里的β是關(guān)于自變量的函數(shù),β≠0是指在極限過(guò)程中β無(wú)0值點(diǎn)),使定義項(xiàng)與被定義項(xiàng)中對(duì)應(yīng)無(wú)窮小的范圍(外延)一致.

(ii)刪去定義1的第(ii)條.第(ii)條不僅在第(i)條的基礎(chǔ)上縮小了無(wú)窮小的比較范圍,而且還會(huì)使高階與低階的關(guān)系不完全協(xié)調(diào)一致.因此,有畫(huà)蛇添足之嫌,應(yīng)刪去.

(iii)擴(kuò)大同階無(wú)窮小比較的范圍,即是將第(iii)條中的條件lim=c≠0適度弱化.

(iv)第(iv)條在實(shí)際應(yīng)用中并不多見(jiàn),可刪掉.即使要定義,嚴(yán)格來(lái)說(shuō),也應(yīng)仿照本方案第(iii)項(xiàng)來(lái)處理.因此,可將定義1改進(jìn)為：

定義2與定義1相比,雖已改善了許多,但還有一個(gè)明顯的缺點(diǎn),就是當(dāng)β有0值時(shí),α與β是否可比較和怎樣比較的問(wèn)題尚未得到解決,因此還需改進(jìn).

方案2擴(kuò)大定義項(xiàng)中無(wú)窮小的比較范圍,使之與被定義項(xiàng)中無(wú)窮小比較的可能范圍一致.即在定義3的基礎(chǔ)上,增加定義項(xiàng)中β=0的內(nèi)容,將定義2改進(jìn)為：

但定義3還是有缺點(diǎn),它僅適用于數(shù)集上定義的無(wú)窮小的比較,且形式還不夠優(yōu)美.其中的Δ與?U(Δ)的具體形式需加以說(shuō)明,但又不易說(shuō)清楚.因此,有必要進(jìn)一步改進(jìn).

方案3借“基”定義,轉(zhuǎn)除為乘.就是為使定義涵蓋的外延更廣,需借助“基”的概念給無(wú)窮小的比較下一個(gè)更為一般的定義;同時(shí),為避免0作除數(shù),需轉(zhuǎn)除為乘,使0值與非0值包含在同一個(gè)式子里.這樣,可將定義3改進(jìn)為：

3.3 定義的幾點(diǎn)補(bǔ)充說(shuō)明.

最后,對(duì)以上定義作幾點(diǎn)補(bǔ)充說(shuō)明：

(ii)改進(jìn)后的以上3個(gè)定義,分別適用于不同教學(xué)層次的需要.定義2可用于經(jīng)管類(lèi)的《微積分》和較低要求的《高等數(shù)學(xué)》教材;定義3適用于一般要求的《高等數(shù)學(xué)》教材;定義4則適用于數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)《數(shù)學(xué)分析》教材,且定義4可增加“函數(shù)有界”等概念.

(iii)并非只有無(wú)窮小才可比較階的高低,一般函數(shù)也可比較,甚至可等價(jià)代換.這只需取消定義中“α與β是無(wú)窮小”的限制條件即可.

(iv)濾子極限理論可將各種紛繁復(fù)雜的極限理論納入到一個(gè)統(tǒng)一體系,并且它是將現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些概念與古典數(shù)學(xué)分析相結(jié)合的一個(gè)范例.因此,將“基”概念引入到“無(wú)窮小的比較”定義中,還有利于高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容的“現(xiàn)代化”,有利于學(xué)生對(duì)其他后繼數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí).

[1] (俄羅斯)卓里奇.數(shù)學(xué)分析(第一卷)[M].4版.蔣鐸譯.北京：高等教育出版社,2006：112.

[2] 朱時(shí)編.數(shù)學(xué)分析札記[M].貴陽(yáng)：貴州教育出版社,1994：155.

[3] 成立社.等價(jià)無(wú)窮小替換定理的一點(diǎn)注記[J].鄭州工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1998,19(2)：123-126.

[4] 《高等數(shù)學(xué)》教材編寫(xiě)組.高等數(shù)學(xué)[M].長(zhǎng)沙：湖南教育出版社,2006：56.

[5] 車(chē)向凱,謝崇遠(yuǎn).高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].北京：高等教育出版社,2005：43.

[6] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].3版.北京：高等教育出版社,2001：60.

[7] 呂冠國(guó),等.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].北京：科學(xué)出版社,2006：45.

[8] 趙煥光,林長(zhǎng)勝.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].成都：四川大學(xué)出版社,2006：57.

[9] 龔冬保.高階無(wú)窮小與低階無(wú)窮小[J].高等數(shù)學(xué)研究,2000,3(3)：16.

On the Definitions of“Comparison of Infinitesimal”And Their Improvements

PA N J ian-hui1, D EN G Zhi-ying1,2, YA N G Chun-de1
(1.College of Mathematics and Physics,Chongqing University of Posts and Telecommunications,Chongqing 400065,China; 2.School of Mathematical sciences,Suzhou University,Suzhou 215006,China)

There are a lot of definitions about“comparison of infinitesimal”in current text books,but some of them are not precise or strict enough,and they go so far as to cause incorrect theses.The definitions of infinitesimal and comparison of infinitesimal can be more strict and terse and concise with conception of“base”.It’s favorable for finding out problems from current definitions of“comparison of infinitesimal”to classify infinitesimals in 2 categories by the situation of their points of zero.The problem that the extension of defining term and defined term is not the same can be solved by readjusting the major premise;and the problem that the denominator of fraction can not be zero may be solved by transforming division into multiplication.The three definitions improved may satisfy the needs of teaching material for different teaching series.

infinitesimal;comparison of order;definition improvement;extension;base

O171;G642.3

C

1672-1454(2011)03-0204-05

2008-08-28;[修改日期]2008-12-11

重慶郵電大學(xué)自然科學(xué)基金項(xiàng)目(A2008-46)