劉玉記

(廣東商學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系,廣州 510320)

一道碩士研究生入學(xué)試題和三個例題的統(tǒng)一改進(jìn)

劉玉記

(廣東商學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系,廣州 510320)

統(tǒng)一改進(jìn)一道研究生入學(xué)考試《數(shù)學(xué)分析》試題和三道例題.

數(shù)學(xué)分析;研究生入學(xué)考試試題;改進(jìn)結(jié)果

文獻(xiàn)[3]有下面的三道例題:

例77 設(shè)f(x)在(-∞,+∞)二次可微,且對任意x∈(-∞,+∞),有

證明:對任意x∈(-∞,+∞),有|f′(x)|≤2M1M2.例78 設(shè)f(x)在(a,+∞)二次可微,且在(a,+∞)上分別有上確界M0,M1.證明:對任意x∈(a,+∞),有|f′(x)|≤4M1M2.

2006年,某著名大學(xué)研究生入學(xué)考試《數(shù)學(xué)分析》試題中選了下面的題目:

題目1 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,+∞)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且對任意x∈[0,+∞),有|f(x)|≤A,|f″(x)|≤B.證明:對任意x∈(0,+∞),有|f′(x)|≤2

證對任意c∈(0,+∞),作區(qū)間[x,x+k],使得c∈[x,x+k]?(0,+∞),而且c-x充分地小,其中k=2.由于存在ξ1,ξ2∈[x,x+k],使得

定理1 設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)有二階導(dǎo)數(shù),且對任意x∈(-∞,+∞),有|f(x)|≤A, |f″(x)|≤B.證明:對任意x∈(-∞,+∞),有|f′(x)|≤

注2 例題76,77,78中的結(jié)果也有相應(yīng)的改進(jìn).

注3 本文結(jié)果可以推廣到高階導(dǎo)數(shù)情形.限于篇幅,略.從注1,我們可以猜想:設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)有二階導(dǎo)數(shù),且對任意x∈(-∞,+∞),有|f(x)|≤A,|f″(x)|≤B,則如下的結(jié)論是正確的:對任意x∈(-∞,+∞),有|f′(x)|≤,但是作者未能證明這一結(jié)論.

[1] 陳紀(jì)修,淤崇華,金路.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].北京：高等教育出版社,1999.

[2] 陳紀(jì)修,等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題全解指南(上冊)[M].北京：高等教育出版社,2005.

[3] 胡雁軍,李育生,鄧聚成.數(shù)學(xué)分析中的證題方法與難題選解[M].鄭州：河南大學(xué)出版社,1987.

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1672-1454(2011)03-0209-02

2008-01-14