李孟芹

(天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,天津 300160)

函數(shù)概念的起源、演變與發(fā)展

李孟芹

(天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,天津 300160)

按照時間的推進,先后論述了函數(shù)概念的起源、誕生、嚴密化、飛躍及其擴展.

函數(shù);概念;起源;演變;發(fā)展

1 引 言

今日的數(shù)學(xué)大廈是歷經(jīng)數(shù)千年、數(shù)代數(shù)學(xué)家不斷建設(shè)完善的結(jié)果.其中函數(shù)概念從它于17世紀被引入以來,也伴隨著數(shù)學(xué)思想的發(fā)展,經(jīng)歷了數(shù)次演變,逐漸從模糊走向嚴密.對于數(shù)學(xué)和科學(xué)來說,函數(shù)是一個最重要、最有意義的數(shù)學(xué)概念,是人類心智發(fā)展的一個重要標志[1].俄羅斯數(shù)學(xué)家亞歷山大洛夫?qū)?shù)學(xué)分為四個基本的、本質(zhì)上不同的階段：第一階段是萌芽時期;第二階段是常量數(shù)學(xué)時期;第三階段是變量數(shù)學(xué)時期.隨著笛卡兒對坐標的引入,解析幾何被廣為接受;第四階段是現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期,集合論的誕生,為數(shù)學(xué)發(fā)展開創(chuàng)了一個新時代,集合成為數(shù)學(xué)的新語言[2].隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,函數(shù)概念也經(jīng)歷了演變,并隨之有了全新的定義,又擴展到數(shù)學(xué)的各個古老的、新興的分支領(lǐng)域之中,拓撲、泛函分析、函數(shù)空間、解析數(shù)論等都是運用函數(shù)開拓出的新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域.

作為最能深刻刻畫現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個數(shù)學(xué)概念,認真地考察函數(shù)概念的起源、演變及其發(fā)展,不僅能夠進一步加深對函數(shù)概念的認識與把握,也是深入了解數(shù)學(xué)思想和整個數(shù)學(xué)理論發(fā)展的重要途徑.

2 函數(shù)概念的起源

對過去科學(xué)概念的確立認識,應(yīng)當采用歷時的方法,按照歷史實際存在的境遇和觀點,來研究過去的科學(xué)[3].從歷史上看,函數(shù)概念的產(chǎn)生有以下三個來源.

2.1 科學(xué)的數(shù)學(xué)化,為函數(shù)概念刻畫奠定了基礎(chǔ).

物理學(xué)的定量研究與描述,興起了科學(xué)的數(shù)學(xué)化,為函數(shù)概念刻畫奠定了基礎(chǔ).自文藝復(fù)興以來,科學(xué)研究以認識和解釋自然現(xiàn)象和規(guī)律為宗旨,人們在思索：既然地球不是宇宙中心,它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn),那么下降的物體為什么不發(fā)生偏移而還要垂直下落到地球上?還有,斜拋物體的射程、高度及軌跡是什么?科學(xué)家的興趣也集中在能夠解釋這些規(guī)律的公式上.伽利略等一大批科學(xué)家對運動和一些幾何內(nèi)容作了定量研究,得出了一些規(guī)律性的變量之間關(guān)系,但都是文字關(guān)系描述,如“從靜止狀態(tài)開始的以定常加速度下降的物體,其經(jīng)過的距離與所用的時間的平方成正比”,“兩個等體積圓柱體的側(cè)面積之比等于它們高度之比的平方根”,這標志科學(xué)數(shù)學(xué)化的開始.他雖然沒有采用字母和運算符號的表示,但已經(jīng)明確出量與量之間的關(guān)系,為函數(shù)概念的內(nèi)涵確定奠定了基礎(chǔ).

2.2 代數(shù)符號化為函數(shù)概念奠定了重要的形式基礎(chǔ).

從丟番圖到韋達,代數(shù)學(xué)逐步走出了文字敘述式表述,已經(jīng)廣為接受用阿拉伯數(shù)字和字母進行運算、書寫代數(shù)式和代數(shù)方程.韋達用字母表示未知量的乘冪,成為算術(shù)與代數(shù)的分界,即代數(shù)是施行于事物的類或形式的運算方式.韋達力圖把代數(shù)學(xué)隱藏在幾何形式下的代數(shù)恒等式建立起來[4].笛卡兒對韋達使用的字母符號作了改進,將已知量和未知量的符號作了分區(qū)：他用字母表前面的字母,如a,b,c等表示已知量,用字母表末的字母,如x,y,z等表示未知量.這已成為現(xiàn)今的習慣用法.數(shù)學(xué)量、運算符號等的引入,逐步使代數(shù)擺脫了文字敘述,形成了鮮明、直觀、簡潔的表示和運算,為函數(shù)概念的表示和形式化打下了良好的基礎(chǔ).

2.3 解析幾何的變量概念,為函數(shù)概念的誕生提供了前提.

1637年,笛卡兒在他的《幾何》中用字母表示幾何作圖中已知和未知的線段,并確定這些線段之間的相互關(guān)系,使同一個量能用兩種方式表示出來,從而得到一個代數(shù)方程.他引入坐標系和坐標變量x,y,這樣幾何中的一個曲線,就對應(yīng)于x,y描述的一個代數(shù)方程.這標志,笛卡兒將數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)從幾何轉(zhuǎn)到了代數(shù),也為函數(shù)概念的誕生提供了前提[5].

3 函數(shù)概念的誕生——“變量說”

函數(shù)一詞是由萊布尼茲于1673年引入的,但不是后來意義上的函數(shù),僅僅用于表示任何一個隨曲線上的點的變動而變動的縱坐標、切線、法線等長度[1].

1697年,約翰·伯努利給出了函數(shù)的第一個定義：一個按照任何方式用變量和常量構(gòu)成的量.1698年,他采用了萊布尼茲的說法,稱這個量為“x的函數(shù)”,表示為X.1718年,他又明確定義了一個變量的函數(shù)：由這個變量和常量的任意一種方式構(gòu)成的量,表示為Φx.伯努利強調(diào)的是函數(shù)要用公式來表示[4].

1797年拉格朗日在他的《解析函數(shù)論》中把一元或多元函數(shù)定義為：自變量在其中可以按任意形式出現(xiàn)并對計算有用的表達式[4].換句話說,他認為,函數(shù)是運算的一個組合.

由以上史料分析可以看出,從函數(shù)概念的引入到18世紀末,人們對函數(shù)概念的定義在不斷改進,到18世紀末,函數(shù)概念的“變量說”：“函數(shù)是一些量依賴于另一些量的變化而變化的量,并且必須能用一些解析式或公式表示出來”得到了大家的普遍認可和應(yīng)用.雖然此時的函數(shù)概念中已經(jīng)蘊含了對應(yīng)關(guān)系的意思,但仍沒有明確提出函數(shù)是某種對應(yīng)關(guān)系,并且函數(shù)必須能用解析式表示出來的提法也使函數(shù)概念的內(nèi)涵受到了約束,因為它只是函數(shù)概念的外延.

4 函數(shù)概念的嚴密化——“對應(yīng)說”

解析表達式的函數(shù)定義占據(jù)了18世紀的統(tǒng)治地位,也受到歐拉等當時一大批大科學(xué)家的推崇.從數(shù)學(xué)的角度看,用確定的解析式來表達函數(shù)是正當?shù)囊?但問題也正出于此,函數(shù)是否必須有解析式子?是否真如有些數(shù)學(xué)家所抱怨的：能用解析式子表達的函數(shù)是“真函數(shù)”,不能用解析式子表達的函數(shù)就是“假函數(shù)”呢?

函數(shù)的解析表達式及萊布尼茲引入的關(guān)于函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、微分和積分等符號具有代數(shù)化和簡潔明朗的運算性,顯現(xiàn)出比幾何和其他表示的顯著優(yōu)越性.在以歐拉為代表的代數(shù)表達式的形式演算推動下,歐洲大陸上的拉格朗日、拉普拉斯、歐拉、柯西、伯努利家族等迅速將形式演算方法拓展到物理、力學(xué)等科學(xué)研究之中,促進了常微分方程、偏微分方程、復(fù)變函數(shù)等新領(lǐng)域的形成與發(fā)展,這個過程反過來也刺激了函數(shù)概念的發(fā)展,促使人們從更加嚴密的角度來考察它,數(shù)學(xué)分析也得到向嚴密化的推進.

對函數(shù)的形式演算,需要將復(fù)雜的、超越的函數(shù)展成級數(shù).由于對振動弦的研究,提出了函數(shù)整體性質(zhì)刻畫的問題,而不一定都將函數(shù)表示成解析表達式,函數(shù)的概念可以描述隨意畫出的任意曲線(不規(guī)則函數(shù)、不連續(xù)函數(shù)等).對于過去以較簡單的代數(shù)函數(shù)性質(zhì)直接推廣到所有函數(shù)上去的做法,引起廣泛爭論,引起了數(shù)學(xué)分析嚴密化問題,也開始了對函數(shù)概念的進一步探討.

1807年,傅立葉在研究熱傳導(dǎo)方程時,得到了現(xiàn)在稱為傅立葉級數(shù)的三角函數(shù)無窮級數(shù).他稱,任意函數(shù)可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的無窮和來表示.這就引起了關(guān)于周期函數(shù)、連續(xù)性、可導(dǎo)性、收斂性等涉及數(shù)學(xué)分析的嚴密性問題.1811年,傅里葉談到了級數(shù)的收斂性.后來狄里克萊證明了：一個三角級數(shù)可以收斂于不連續(xù)函數(shù).從此以后,函數(shù)概念不再強調(diào)純解析表達式,為函數(shù)概念向前邁進一步奠定了基礎(chǔ).

比傅立葉更進一步,狄里克萊1837年給出了一個函數(shù)定義：假定a和b是兩個確定的值,x是一個變量,它順序變化取遍a和b之間的值,于是,如果對于每個x,有唯一的一個有限的y以如下方式與之對應(yīng)：即當x從a連續(xù)地通過區(qū)間到達b時,y=f也類似地順序變化,那么y稱為該區(qū)間中x的連續(xù)函數(shù).而且完全不必要要求y在整個區(qū)間中按同一規(guī)律依賴于x[5].按照這個定義,即使像下面定義的f,仍可說是函數(shù)：f在x為有理數(shù)時為1,當x為無理數(shù)時為0.這就是著名的狄里克萊函數(shù).從此,人們普遍接受：沒有必要認為函數(shù)僅僅是可以用數(shù)學(xué)運算表示的那種關(guān)系.這個函數(shù)的定義比傅立葉的定義有了根本性的發(fā)展,引入了現(xiàn)代函數(shù)概念中的兩個要素：區(qū)間(即定義域)和對應(yīng).

1876年,狄里克萊的學(xué)生黎曼給出了一個一般性的函數(shù)概念：如果設(shè)z為可以取一切實數(shù)的變量,對于它的每個值對應(yīng)到未定量w的唯一值,那么稱w是z的函數(shù).這個定義已經(jīng)很趨于現(xiàn)代的函數(shù)定義了.

1879年,Frege的定義：如果在一個表達式(其含義無需探究)中,一次或多次出現(xiàn)一個簡單或復(fù)合的符號,并且,我們認為這個符號在某些或所有出現(xiàn)的地方可以用其它事物代替(但各處要用同一事物代替),那么,我們稱表達式中保持不變的成分為函數(shù),可替代的部分則是這個函數(shù)的自變量[5].在這一定義中,也已隱含了現(xiàn)代函數(shù)概念的兩個要素：定義域即定義中的可替代的部分;對應(yīng)關(guān)系即定義中所說的表達式中保持不變的成分.

此后,又有許多數(shù)學(xué)家給出了函數(shù)的定義,都在強調(diào)：函數(shù)是變量間的某種“對應(yīng)”關(guān)系,并且沒有必要認為函數(shù)僅僅是可以用數(shù)學(xué)運算表示的那種關(guān)系.

由以上史料分析可以看出,從18世紀末到19世紀后半葉,隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,函數(shù)概念也逐漸嚴密化,明確了函數(shù)不只是一個變量依賴于另一個變量的變化而變化的量,能否用解析式表示也無關(guān)緊要,重要的是：變量間必須存在“對應(yīng)”關(guān)系,即對于每一個x值,一定對應(yīng)于一個且僅對應(yīng)于一個y的值.但對于“對應(yīng)”的真正含義仍不夠明確,而且對于函數(shù)的概念,當時還沒有一個通用的定義.

5 函數(shù)概念的飛躍——“關(guān)系說”

從19世紀70年代開始,康托爾發(fā)表了一系列文章,系統(tǒng)地分析和刻畫了實數(shù)的連續(xù)性及無窮集合的性質(zhì),出現(xiàn)了連續(xù)統(tǒng)等問題的研究,逐步形成并誕生了集合理論.在康托爾開創(chuàng)了集合論理論后,由于其對于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性,成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)描述的基礎(chǔ)語言.因此,函數(shù)概念的定義再一次面臨著新變化.

1887年,戴德金的關(guān)于函數(shù)的定義：系統(tǒng)S上的一個映射蘊涵了一種規(guī)則,按照這種規(guī)則,S中每一個確定的元素s都對應(yīng)著一個確定的對象,它成為s的映象,記作φ(s).我們也可以說,φ(s)對應(yīng)于元素s,φ(s)由映射φ作用于s而產(chǎn)生或?qū)С?s經(jīng)映射φ變換成φ(s)[5].在這個定義中,首次用映射來描述函數(shù),而且明確了映射中所蘊含的“規(guī)則”即對應(yīng)“關(guān)系”才是函數(shù)概念的內(nèi)涵,已非常接近函數(shù)的現(xiàn)代定義了.

1936年,布爾巴基給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義：設(shè)E和F是兩個集合,它們可以不同,也可以相同,E中的一個變元x和F中的變元y之間一個關(guān)系成為一個函數(shù)關(guān)系,如果對每個x∈E,都存在唯一的y∈F,它滿足跟x的給定關(guān)系,表示為f:E→F[8].這就是用映射來表達的現(xiàn)代的函數(shù)概念.

現(xiàn)在的大部分數(shù)學(xué)教材中函數(shù)的定義：設(shè)X,Y是兩個非空集合,如果存在一個法則f,使得對X中的每個元素x,按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng),則稱f為定義在X上的函數(shù),記作f:X→Y, 通常也簡記作y=f(x),x∈X,其中x稱為自變量,y稱為因變量,X稱為定義域.

現(xiàn)代函數(shù)定義中,強調(diào)對應(yīng)“法則”或?qū)?yīng)“關(guān)系”f才是函數(shù)概念的內(nèi)涵,而在先前的“對應(yīng)說”中,沒有明確“對應(yīng)”的含義,它強調(diào)的是值與值之間的對應(yīng).函數(shù)的現(xiàn)代定義與經(jīng)典定義從表述形式上看雖然只相差幾個字,但卻是概念上的重大發(fā)展,是數(shù)學(xué)發(fā)展道路上的重大轉(zhuǎn)折,近代的泛函分析可以作為這種轉(zhuǎn)折的標志.

另外,值得關(guān)注的是：現(xiàn)代的教材或數(shù)學(xué)書中,為什么在涉及到函數(shù)的記號時,往往y=f(x)與f:X→Y仍然同時并用?這既有沿用歷史的習慣用法,但更深層地原因是,記號y=f(x)使用起來更方便,仍然用它充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言的工具性.

從變量與變量之間的解析式表示、變量與變量之間存在著對應(yīng)到兩個集合間的映射,不僅成為函數(shù)概念演變中的一個里程碑,而且是人類思維發(fā)展史上的一座金光閃閃的紀念碑.

6 函數(shù)概念的擴展與數(shù)學(xué)疆域的拓展

用集合論的語言定義函數(shù)的概念,可稱為函數(shù),也可以叫做映射.主要表示式為f:X→Y,也可以表示為f.在不同的領(lǐng)域或情況下,變換、算子、對應(yīng)等與函數(shù)概念等價.那么,從這個意義上講,變換、算子可以看作是函數(shù)概念在不同方面的擴展,而這些擴展,使函數(shù)概念深刻地滲入到最古老的數(shù)論、幾何等領(lǐng)域,也拓展出一些新領(lǐng)域.

6.1 函數(shù)的拓展：廣義函數(shù).

20世紀二三十年代,英國物理學(xué)家狄拉克在發(fā)展與完善量子力學(xué)理論時,引入了一個δ函數(shù)[7]：它只在一點處不為零,而它在全直線上的積分卻等于1.他系統(tǒng)地使用了δ函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的概念.這一函數(shù)概念與當時的標準分析格格不入,引起數(shù)學(xué)家的很大困惑.有人聲稱盡管狄拉克總能得到一致和有用的結(jié)果,但狄拉克是錯的[8].但由于描述質(zhì)點、點電荷、瞬時源等物理中重要的理想化概念的需要,物理學(xué)家不顧批評,仍堅持對δ函數(shù)的各種運用.到1945-1948年間,在前人的基礎(chǔ)上,施瓦茲將δ以及類似函數(shù)發(fā)展成完全嚴密的和有用的理論,出版了兩卷本的《分布理論》,他稱之為廣義函數(shù),也因此獲得了菲爾茲獎.從那時起人們知道了如何對待δ,它們實質(zhì)上是分布.廣義函數(shù)論現(xiàn)已廣泛地成為數(shù)學(xué)(微分方程理論)、物理學(xué)和工程領(lǐng)域研究的重要工具.

6.2 空間的拓展：函數(shù)空間與拓撲、泛函分析.

將函數(shù)作為空間的“點”,定義兩個函數(shù)之差的測度為空間中兩點的距離,就構(gòu)成了函數(shù)空間,使空間拓展到抽象空間,為數(shù)學(xué)開拓出許多新疆域,如希爾伯特空間、巴拿赫空間,成為拓撲學(xué)、泛函分析等發(fā)展的基礎(chǔ)[9].變換、同胚、算子等與函數(shù)意義相同的概念成為這些領(lǐng)域的重要而基本的概念.

函數(shù)空間中的不動點定理成為證明微分方程解存在的重要工具.1922年,Birkhoff和Kellogg將拓撲學(xué)中不動點定理推廣到無窮維的函數(shù)空間.20世紀30年代Schauder和Ceray將函數(shù)空間的不動點定理用于微分方程解的存在的證明取得極大成功[5].

函數(shù)空間的引入,也促進了泛函分析的興起與發(fā)展.算子可以看作是函數(shù)概念在函數(shù)空間的拓展.目前算子理論已得到了極大發(fā)展,是線性和非線性泛函分析的重要內(nèi)容,成為數(shù)學(xué)中動力系統(tǒng)理論、群和代數(shù)的表示理論以及數(shù)學(xué)物理、量子力學(xué)、統(tǒng)計力學(xué)中的重要工具.

6.3 數(shù)論的拓展：解析數(shù)論.

歐拉首先提出用數(shù)學(xué)分析方法解決數(shù)論問題.在研究過程中黎曼[7]引進了著名的(x)函數(shù),將其推廣應(yīng)用于素數(shù)分布,成為解析數(shù)論的重要基礎(chǔ).目前,由于函數(shù)等分析概念在數(shù)論中的應(yīng)用,已經(jīng)在數(shù)論領(lǐng)域中形成了素數(shù)理論及代數(shù)數(shù)論等重要的數(shù)學(xué)獨立分支.

7 結(jié)束語

許多數(shù)學(xué)概念是在數(shù)學(xué)的整體演變與發(fā)展過程中,逐漸被認可、被完善的,都有一個從模糊、不嚴密到嚴謹?shù)陌l(fā)展歷程.從概念的追本溯源中、從概念的演變中、從過去和現(xiàn)代人的看法中來研究,有助于人們對數(shù)學(xué)思想和概念的認識和掌握,有助于數(shù)學(xué)觀念的形成.歷史分析表明,函數(shù)概念是數(shù)學(xué)發(fā)展之途中標志數(shù)學(xué)內(nèi)容和形式分界性的一個基本概念和重要概念,促進了代數(shù)在數(shù)學(xué)中地位的提高,也推動了幾何學(xué)的新發(fā)展.

函數(shù)概念歷經(jīng)數(shù)百年來的演變發(fā)展,形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義,應(yīng)該說已經(jīng)相當完善和嚴密了,不過科學(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)展是無止境的,函數(shù)的概念也會隨之繼續(xù)擴展.

[1] 博克納·薩洛蒙[美].數(shù)學(xué)在科學(xué)起源中的作用[M].長沙：湖南教育出版社,1992.

[2] 亞歷山大洛夫[俄].數(shù)學(xué)它的內(nèi)容、方法和意義[M].北京：科學(xué)出版社,2001.

[3] 赫爾奇·克拉夫[丹].科學(xué)史導(dǎo)論[M].北京：北京大學(xué)出版社,2005.

[4] 克萊因M[美].古今數(shù)學(xué)思想(1-4卷)[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1985.

[5] Dieter Ruthing.函數(shù)概念的一些定義[J].數(shù)學(xué)譯林,1986,15(3)：260-263.

[6] 徐品方.數(shù)學(xué)符號史[M].北京：科學(xué)出版社,2006.

[7] 數(shù)學(xué)百科全書(1-5卷)[M].北京：科學(xué)出版社,1997.

[8] 舒茨B F[英].數(shù)學(xué)物理中的幾何方法[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1986.

[9] 克萊因M[美].現(xiàn)代世界中的數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社,2004.

Origin,Evolvement and Development of the Function Concept

L I Meng-qin
(School of Science,Tianjin Polytechnic University,Tianjin 300160,China)

According to the gradation of time,the origin,the naissance,the rigor,the leap and the extending of the function concept are dissertated.

function;concept;origin;evolvement;development

O1-0

C

1672-1454(2011)03-0179-05

2008-08-28;[修改日期]2009-01-15