吳華明
(湛江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣東湛江 524048)
三項式xn-bx+a的二次不可約因式
吳華明*
(湛江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣東湛江 524048)
三項式; 二次不可約因式; Lucas數(shù); 本原素因數(shù)
設(shè)n是大于1的正整數(shù),f(x)=xn-bx+a,其中a,b是非零整數(shù).三項式f(x)在有理數(shù)域的可約性和因式分解在代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用領(lǐng)域有著重要的意義[1].根據(jù)Gauss引理可知:如果f(x)在有理數(shù)域上可約,則f(x)可表成2個次數(shù)都小于n且首項系數(shù)等于1的整系數(shù)多項式的乘積(參見文獻[2]的定理1.13.2).本文主要討論f(x)的首項系數(shù)等于1的二次整系數(shù)不可約因式(以下簡稱二次因式)的存在性.對此,陳宏基[3]證明了:當(dāng)b=1且n>512 880時,如果f(x)有二次因式,則必有
n≡2(mod 6),a=1,b=1,g(x)=x2-x+1.
(1)
(2)
上述結(jié)果的證明要用到有關(guān)代數(shù)數(shù)對數(shù)線性型的下界估計.這里應(yīng)該指出:當(dāng)a=1,b=-1,n≡5(mod 6)時,因為x3≡-1(modx2-x+1),故有f(x)≡-x2+x-1≡0(modx2-x+1),由此可知文獻[5]遺漏了以下情況
n≡5(mod 6),a=-1,b=-1,g(x)=x2-x+1.
(3)
本文將運用有關(guān)Lucas數(shù)本原素因數(shù)的存在性方面的結(jié)果,修正并改進文獻[5]得到的下界,即證明了:
設(shè)g(x)=x2-sx+t是整系數(shù)二次多項式,又設(shè)r=s2-4t.已知g(x)在有理數(shù)域上不可約的充要條件是r為非平方整數(shù).此時,g(x)有2個不同的根
(4)
對于非負(fù)整數(shù)k,設(shè)
(5)
引理1[6]設(shè)m是正整數(shù),u和v是任意復(fù)數(shù).此時
對此,教師在平時的教學(xué)中可以讓學(xué)生在閱讀時養(yǎng)成積累寫作素材的好習(xí)慣,調(diào)動學(xué)生寫作的積極性,讓學(xué)生能夠在寫作的過程中大膽進行創(chuàng)新,展示自我,另外,教師也要對學(xué)生的寫作進行適當(dāng)?shù)墓膭?,讓學(xué)生逐漸喜歡上寫作,培養(yǎng)其寫作的積極性,增加寫作和閱讀的熱情。
其中[m/2]表示m/2的整數(shù)部分,
都是正整數(shù).
引理2 設(shè)d=gcd(s,t).當(dāng)k是正整數(shù)時,Lk(α,β)是適合
Lk(α,β)≡0(modd[k/2])
(6)
的非零整數(shù).
證明因為α≠β,所以當(dāng)k是正整數(shù)時,Lk(α,β)≠0.由于d=gcd(s,t),故有
r=dr1,s=ds1,t=dt1,
(7)
其中r1,s1,t1都是非零整數(shù).當(dāng)k是奇數(shù)時,根據(jù)引理1,從式(4)可知
(8)
從式(7)和式(8)可知此時式(6)成立.當(dāng)k是偶數(shù)時,k可表成k=2lk1,其中l(wèi)是正整數(shù),k1是正奇數(shù).此時,因為
(9)
所以根據(jù)引理1也可推出式(6).證畢.
引理3f(x)有二次因式g(x)的充要條件是b=Ln(α,β).
引理3的證明可參見文獻[5]的引理3,在此略.
當(dāng)gcd(s,t)=1且α/β不是單位根時,(α,β)稱為一個Lucas對.此時,Lk(α,β)稱為與Lucas對應(yīng)的Lucas數(shù).當(dāng)k是大于1的正整數(shù)時,如果Lk(α,β)的素因數(shù)p不能整除tL1(α,β)…Lk-1(α,β),則稱p是Lk(α,β)的本原素因數(shù).
引理4 當(dāng)k>30時,Lucas數(shù)Lk(α,β)必有本原素因數(shù).
引理5 如果p是Lucas數(shù)Lk(α,β)的本原素因數(shù),則必有p≡±1(mod 2k).
引理4和引理5的證明可分別參見文獻[7]、文獻[8],在此略.
設(shè)g(x)是f(x)的二次因式.根據(jù)文獻[5]中定理的證明過程以及本文的分析可知:當(dāng)α/β是單位根時,n,a,b必定滿足式(1)、(2)或(3).因此,以下僅需考慮α/β不是單位根的情況.
設(shè)n是適合
(10)
的正整數(shù),又設(shè)d=gcd(s,t).當(dāng)d>1時,根據(jù)引理2可知
(11)
同時,從引理3可知
(12)
結(jié)合式(11)和(12)立得
(13)
與式(10)矛盾,故不可能.
當(dāng)d=1時,(α,β)是Lucas對,Ln(α,β)是相應(yīng)的Lucas數(shù).因為n>30,所以從引理4可知Ln(α,β)必有本原素因數(shù)p,故有
(14)
又從引理5可知p≥2n-1,故從式(14)立得
(15)
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Keywords: trinomial; irreducible quadratic factor; Lucas number; primitive divisor
【責(zé)任編輯 莊曉瓊】
THEIRREDUCIBLEQUADRATICFACTORSOFTHETRINOMIALxn-bx+a
WU Huaming
(School of Mathematics and Computation, Zhanjiang Normal University, Zhanjiang, Guangdong 524048, China)
2010-06-01
國家自然科學(xué)基金項目(10771186,10971184)
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1000-5463(2011)02-0046-03
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A