楊宇明 電子科大數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610054

基于Matlab的概率論仿真實(shí)驗(yàn)

楊宇明 電子科大數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610054

概率論中有些重要的結(jié)論在直觀上比較抽象，接受起來較為困難。本文就其中幾個(gè)結(jié)論通過Matlab仿真，將其以形象的方式展示出來，使得結(jié)論更易于理解。

simulation on Matlab; probability theory; the distribution of function; central limit theorem

C語言通常用命令rand()和srand()組合生成隨機(jī)數(shù)，僅能生成均勻分布的隨機(jī)數(shù)，如果要生成其它類型的隨機(jī)數(shù)，要借助于統(tǒng)計(jì)計(jì)算方法[1]，自己編寫程序。而Matlab語言則提供了異常豐富的隨機(jī)數(shù)生成命令rand () 、random()、binornd()、frnd()、geornd()、normrnd()、poissrnd()、trnd()、unifrnd()……，囊括了幾乎所有常見的分布，借助于Matlab，我們可以直接生成指定參數(shù)的任何常見分布類型的隨機(jī)數(shù)，這為做實(shí)驗(yàn)帶來很大的便利。在做隨機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)者可以有更多的精力專注于模擬問題本身，而不必關(guān)心一些底層問題，因此Matlab語言是做隨機(jī)仿真的不二之選。

本文針對概率論教學(xué)中幾個(gè)比較抽象的結(jié)論，通過matlab仿真，將結(jié)論用圖形模擬出來，通過圖形這種形象的方式，加深鞏固理解概率論定理。

1 、隨機(jī)變量函數(shù)的分布

有些時(shí)候，隨機(jī)變量本身不能直接測量得到，但是它可能是能夠測量到的隨機(jī)變量的函數(shù)，在實(shí)際中，常常對隨機(jī)變量的函數(shù)感興趣。隨機(jī)變量的函數(shù)的取值范圍比較容易得到，但是其分布通常并不直觀。

教學(xué)中，我們通?？紤]的函數(shù)有最大值、最小值、和、商，共四種情形。主要討論由自變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律來推導(dǎo)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，由于隨機(jī)變量內(nèi)在的隨機(jī)特性，其函數(shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律往往理解起來較為抽象，一般要從公式推導(dǎo)才能得到。大數(shù)定律告訴我們，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率，因此利用Matlab做隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的仿真，可以借助于隨機(jī)變量的頻率分布圖來觀察隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布規(guī)律。以下為四種常見函數(shù)的仿真：

自變量均采用均勻分布，即：X～U(0, 1)，Y～U(0,1),考慮Min(X,Y)、Max(X,Y)、X+Y、X/Y的分布。以Min(X,Y)為例，matlab仿真程序如下：

該例做了100000次實(shí)驗(yàn)，運(yùn)行結(jié)果如圖1所示，直方圖高度為Min(X,Y)落入下面相應(yīng)區(qū)間的頻率。圖1表明：兩個(gè)同為(0,1)區(qū)間的均勻分布，最小值Min(X,Y)的分布規(guī)律應(yīng)該是線性遞減。實(shí)際上Min(X,Y)的概率密度為：

可以看到，當(dāng)z在區(qū)間(0,1)時(shí)，概率密度是線性減函數(shù)，仿真結(jié)果與之吻合很好。再考慮一個(gè)離散的例子：拋擲兩個(gè)均勻的骰子，考慮最小點(diǎn)數(shù)的分布。在等可能的36個(gè)樣本點(diǎn)中，1～6作為兩點(diǎn)中最小值出現(xiàn)的次數(shù)為11、9、7、5、3、1，也是呈現(xiàn)出一個(gè)線性遞減的規(guī)律。這個(gè)例子不需要寫程序，實(shí)際生活中都可以親自實(shí)驗(yàn)，最終的結(jié)論是類似的。

圖2～4分別為為Max(X,Y)、X+Y、X/ Y的頻率分布仿真結(jié)果，圖3表明X+Y出現(xiàn)1的頻率最大，離1越遠(yuǎn)，出現(xiàn)頻率越低，圖4表明X/Y在區(qū)間(0,1)中各個(gè)位置出現(xiàn)頻率相等，然后隨著取值逐漸增大，出現(xiàn)頻率越來越低。這些結(jié)論都可以由函數(shù)的概率密度得到驗(yàn)證。

通過該例的思考，我們在討論其它類型的隨機(jī)變量的分布規(guī)律與其函數(shù)的分布規(guī)律的聯(lián)系和區(qū)別的時(shí)候，也可以通過仿真結(jié)果形象地認(rèn)識函數(shù)的分布規(guī)律。

2 、中心極限定理

正態(tài)分布不但在理論上具有重要的地位，在實(shí)際中也有大量的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，中心極限定理從理論上說明了緣由。課堂上一般介紹兩個(gè)中心極限定理：棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理和列維-林德伯格中心極限定理。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生總是不容易接受和運(yùn)用定理，文獻(xiàn)[2][3]中也有提到這點(diǎn)。

采用Matlab做概率統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)仿真，可以觀察相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列部分和的變化趨勢，也可以觀察二項(xiàng)分布中參數(shù)n增大時(shí)的變化趨勢。引導(dǎo)學(xué)生參與進(jìn)來，一起編寫、運(yùn)行程序，最后觀察結(jié)果，等同于讓學(xué)生重新發(fā)現(xiàn)定理。經(jīng)過這樣一個(gè)過程，學(xué)生對理論的理解就深刻地多，運(yùn)用起來也就熟練地多。

以p=0.7 ，n分別取10、40、70為例，在同一圖形窗口中顯示二項(xiàng)分布分布律與相應(yīng)正態(tài)分布概率密度曲線，如圖5，程序如下：

%棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理仿真

仿真結(jié)果表明：二項(xiàng)分布會隨著n的增加，逐漸近似為正態(tài)分布，這種近似誤差的絕對值的平均值有越來越小的趨勢，這點(diǎn)從程序中m各分量的變化趨勢可以看出。而且，通過仿真實(shí)驗(yàn)，可以很容易得到二項(xiàng)分布近似成正態(tài)分布時(shí)的參數(shù)對應(yīng)關(guān)系。至于列維-林德伯格中心極限定理的仿真，本文不再贅述，有興趣的讀者可以自己編寫仿真程序。

3 、結(jié)論

Matlab做概率論仿真實(shí)驗(yàn)具有很大的優(yōu)勢，利用Matlab可以寫出簡潔實(shí)用的仿真程序，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以通過Matlab直觀地可視化表現(xiàn)出來，抽象的結(jié)論通過Matlab仿真更容易理解。仿真實(shí)驗(yàn)可以在教師課堂教學(xué)中增加教學(xué)效果，也可以讓學(xué)生自學(xué)概率論時(shí)幫助理解內(nèi)容。

[1]茆詩松主編.統(tǒng)計(jì)手冊[M].科學(xué)出版社，2003:1008-1014

[2]黎玉芳.中心極限定理的教學(xué)方法探討.中國科技信息[J]，2010(24),220-221

[3]許芳中等.大數(shù)定律及中心極限定理的教學(xué)課程設(shè)計(jì)探討.科技資訊[J],2010 (36),227

Probability Theory Simulation On Matlab

Yang Yuming University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu,Sichuan,610054,China

Some important conclusions in probability theory are abstract, they are difficult to accept. This paper vividly displayed them by simulation on matlab, makes the conclusions more easily understood.

matlab仿真; 概率論; 函數(shù)分布; 中心極限定理

圖1

圖2

圖3

圖4

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.22.022