張 良， 時(shí)書麗， 竇春軼

（1.沈陽大學(xué)理學(xué)院，沈陽 110044； 2.遼寧大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，沈陽 110036）

Leslie人口年齡結(jié)構(gòu)模型的修正

張 良1， 時(shí)書麗2， 竇春軼2

（1.沈陽大學(xué)理學(xué)院，沈陽 110044； 2.遼寧大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，沈陽 110036）

Leslie人口年齡結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型建立在沒有人口流動(dòng)的基礎(chǔ)上，本文試圖建立含人口遷徙因素在內(nèi)的修正模型，并研究修正模型年齡結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性.

年齡結(jié)構(gòu)；Leslie矩陣；特征根；特征向量；冪法

1 Leslie年齡結(jié)構(gòu)模型回顧

二十世紀(jì)四十年代末，Leslie建立了在與外界隔絕的封閉系統(tǒng)內(nèi)，通過初始人口的數(shù)量及其年齡分布預(yù)測該系統(tǒng)未來某時(shí)刻人口的數(shù)量及年齡分布的數(shù)學(xué)模型［1－3］.

不妨假設(shè)下列的數(shù)據(jù)bk，d k（k＝1，2，…，s）及mk（k＝1，2，…，s－1）可根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料得到：

bk為在單位時(shí)間段T內(nèi)第i個(gè)年齡分類平均每個(gè)女性所生殖的后代數(shù)量；

d k為第k個(gè)年齡分類人口中女性所占比例；

mk為第k個(gè)年齡分類能活過單位時(shí)間段T而變成第k＋1年齡分類的比例.

顯然bk≥0，0≤d k≤1，k＝1，2，…，s；0＜mk≤1，k＝1，2，…，s－1.

于是可以導(dǎo)出下列關(guān)系式：

稱其為Leslie矩陣，則（1）式可用矩陣表示為

如果當(dāng)前的年齡結(jié)構(gòu)向量ξ0為已知，則由（2）式，就得到Leslie年齡結(jié)構(gòu)模型：

2 Leslie年齡結(jié)構(gòu)模型的修正

現(xiàn)今世界人口流動(dòng)頻繁，幾乎找不到與外界隔絕的封閉地域.所以有必要對(duì)Leslie年齡結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行修正.

假設(shè)

αk表示由系統(tǒng)外進(jìn)入該系統(tǒng)第k年齡分類的人數(shù)占第k年齡分類的人口總數(shù)的比例；

βk表示退出該系統(tǒng)而進(jìn)入其它系統(tǒng)年齡屬于第k年齡分類的人數(shù)占第k年齡分類的人口總數(shù)的比例.

不妨設(shè)

（i）0≤αk，βk＜1，k＝1，2，…，s；

（ii）在該系統(tǒng)生育的屬于第一年齡分類小孩總是隨其母親進(jìn)入或退出系統(tǒng).

于是

稱M為Leslie的修正矩陣，于是（5）式可用矩陣表示為

從而得到Leslie年齡結(jié)構(gòu)的修正模型：

3 年齡結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性

當(dāng)n很大時(shí)，向量Mnξ0將如何變化？即修正模型年齡結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性［4－5］.下面我們借助線性代數(shù)與矩陣計(jì)算方法來研究它［6－10］.

設(shè)矩陣M的特征方程f（λ）＝det（λI－M）＝0，將行列式det（λI－M）按第一行展開后整理得

若λ≠0，則特征方程可變形為

矛盾.所以矩陣M有唯一占優(yōu)特征根.

定理2修正矩陣M有嚴(yán)格占優(yōu)特征根.

證由定理1知M有唯一占優(yōu)特征根λ0，對(duì)M的任意其它特征根λ，則｜λ｜≤λ0.若｜λ｜＝λ0，由于M的第一行中必有兩個(gè)相鄰的元素＾b i與＾b i＋1不為零（只要時(shí)間段——期的取法適當(dāng)，所有相鄰的年齡分類的女性不可能都不生育或者都是男性），因此

矛盾，因此｜λ｜＜λ0.

對(duì)于修正矩陣M的嚴(yán)格占優(yōu)特征根λ0及對(duì)應(yīng)的特征向量x0，可采用矩陣計(jì)算之冪法求得：

設(shè)M的特征根λi（i＝0，1，2，，…，s－1）滿足條件

它們對(duì)應(yīng)的特征向量依次是x0，x1，x2，…，x s－1，并且假定它們線性無關(guān).其中λ0是M的嚴(yán)格占優(yōu)特征根.

于是當(dāng)α0≠0，k充分大時(shí)，

注 （i）若α0＝0，可更換初始非零向量v0，再迭代；

（ii）在迭代過程中u k除max（u k）是為了避免計(jì)算λk0出現(xiàn)溢出現(xiàn)象.

4 結(jié) 論

因此我們得到下面諸結(jié)論：

這表明當(dāng)n充分大時(shí)，人口年齡結(jié)構(gòu)按比例穩(wěn)定在M的唯一的嚴(yán)格占優(yōu)特征根λ0所對(duì)應(yīng)的正的特征向量x0上，而與初始年齡結(jié)構(gòu)ξ0無關(guān).而且通過式（8）可以計(jì)算出λ0與x0的近似值.

2.年齡結(jié)構(gòu)是以修正矩陣M的唯一嚴(yán)格占優(yōu)特征根λ0之速率增長.當(dāng)λ0＜1時(shí)，人口數(shù)量逐漸減少；λ0＝1，人口數(shù)量穩(wěn)定；λ0＞1，人口數(shù)量逐漸增加.

4.上面的結(jié)論與方法完全適用于動(dòng)物、昆蟲等.

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Adjusting Leslie’s Model of Population Age Structure

ZHANGLiang1，SHIShu－li2，DOUChun－yi2
（1.College of Sciences，Shenyang University，Shengyang 110044，China；2.College of the Information Science and Technology，Liaoning University，Shenyang 110036，China）

Leslie established mathematical model of population age structure under the condition of without migration.To correct its defect，an adjusting model with migration is set up and studied its age structure stability.

age structure；Leslie’s matrix；eigenvalue；eigenvector；power method

O29；C92－03

A

1672－1454（2011）04－0099－04

2008－09－28；［修改日期］2008－12－09