張洪寶

德州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 山東德州 253034

一個(gè)有趣的簡諧振動

張洪寶

德州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 山東德州 253034

簡諧振動是物體在某一平衡位置附近所作的往復(fù)運(yùn)動。若把地球看作一個(gè)均勻的球體，并沿地軸鉆一個(gè)洞，把物體在洞口由靜止?fàn)顟B(tài)放入，則物體將做以地心為平衡位置的簡諧振動。

簡諧振動；地軸；平衡位置；周期

Abstract: Harmonic vibration of an object is a reciprocating motion near the equilibrium position. If the Earth is a uniform sphere, and drill a hole along the axis, and place the object into the hole from the rest, the object will to do harmonic vibration, the center of the earth as equilibrium position.

Key words: harmonic vibration; the earth’ axis; equilibrium position; period

有關(guān)簡諧振動的應(yīng)用很多，有關(guān)簡諧振動的研究也比較普遍，本文對簡諧振動的研究僅限于理論方面，更準(zhǔn)確地說，是對一個(gè)假設(shè)的現(xiàn)象進(jìn)行研究而得出的結(jié)論：一個(gè)很有趣的“簡諧振動”。在講述自由落體運(yùn)動時(shí)聯(lián)想到，若將地球鉆透，把物體在洞口放入，物體將做什么樣的運(yùn)動呢？筆者通過對物體進(jìn)行受力分析、理論推導(dǎo)而得出了結(jié)論。

1 放入洞中物體受力情況

把地球當(dāng)做一個(gè)均勻的球體，沿地軸由北極至南極鉆一個(gè)洞。以地心為原點(diǎn)，以地軸為X軸，指向北極的方向?yàn)閄軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)物體質(zhì)量為m，在某時(shí)刻物體處在X軸上距原點(diǎn)為X處。取地球某點(diǎn)(x，y，z)處體積元為dxdydz，則物體m所受體積元的引力為：

在x2+ y2+ z2≤ R2區(qū)域內(nèi)積分,求出F，F(xiàn)，

(1)式即為物體所受外力與位置X之間的關(guān)系。

2 物體的動力學(xué)方程

(2)式即為簡諧振動的動力學(xué)方程。

3 物體所做簡諧振動分析

由物體的動力學(xué)方程可得出結(jié)論：

在不考慮空氣阻力時(shí)，由靜止放入洞中的物體將做簡諧振動。

3.1 該簡諧振動的平衡位置

由(1)式,當(dāng)物體處于平衡位置時(shí),Fx=? kX =0可得：X=0所以物體做簡諧振動時(shí)的平衡位置在地心。

3.2 該簡諧振動的運(yùn)動方程

3.3 該簡諧振動的振幅

由運(yùn)動方程可知,該簡諧振動的振幅等于地球的半徑Re。也就是說,當(dāng)把物體在洞口由靜止?fàn)顟B(tài)放入后,物體離地心最遠(yuǎn)只能到達(dá)洞口,而不會從洞中掉出。

3.4 該簡諧振動的周期

(4)式中g(shù)為地球表面的重力加速度g=9.8m/s2

3.5 該簡諧振動的速度

由(7)式可知，由洞口放入的物體到達(dá)地心時(shí)的速度恰好與人造地球衛(wèi)星在地球表面附近繞地球做圓周運(yùn)動的速度(即第一宇宙速度)相同。

根據(jù)以上分析可知，此簡諧振動如同人造地球衛(wèi)星在地球表面附近繞地球所作的圓周運(yùn)動在地軸上的投影(假設(shè)衛(wèi)星是沿徑線繞地球做圓周運(yùn)動)。

[1] 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(第2冊)[M].北京：高等教育出版社，2009

[2] 梁昆淼.力學(xué)(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2010

[3] 張漢壯，王文全.力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2009

[4] 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2005

An interesting harmonic vibration

Zhang Hongbao
Dezhou vocational and technical college, Dezhou, 253034, China

2010-12-23 稿件編號：1012123

張洪寶，本科，副教授。