霍麗娜

（榆林學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 榆林 719000）

彩票發(fā)行方案的優(yōu)選模型

霍麗娜

（榆林學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 榆林 719000）

本文引入彩民心理曲線建立模型來(lái)描述方案對(duì)彩民的吸引力；在此基礎(chǔ)上考慮各種約束條件，建立尋求更優(yōu)彩票發(fā)行方案的模型，并采用分段遍歷搜索方法求出給定約束下的最優(yōu)方案.

彩票方案；心理曲線；遍歷搜索

1 問(wèn)題提出

彩票發(fā)行者的最終目的是實(shí)現(xiàn)彩票銷售收入的最大化，而要增加銷售收入，就要考慮采用什么樣的方案才能吸引廣大彩民積極地購(gòu)買彩票；再者，我國(guó)彩票業(yè)的發(fā)展尚處于初級(jí)階段，彩票市場(chǎng)較為單一的票種和玩法制約了彩票發(fā)行規(guī)模的擴(kuò)大，同時(shí)給私彩的生存及境外彩票侵入留下了空隙.因而，從長(zhǎng)遠(yuǎn)的利益來(lái)看，彩票管理部門應(yīng)該創(chuàng)新，設(shè)計(jì)一些新的彩票發(fā)行規(guī)則，實(shí)行產(chǎn)品創(chuàng)新.要設(shè)計(jì)一種更優(yōu)的方案，必須從兩個(gè)方面去考慮:從舉辦單位來(lái)說(shuō)，應(yīng)盡可能地提高彩民的購(gòu)買吸引力；從彩民的利益來(lái)說(shuō)，獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置應(yīng)盡可能多一些、中獎(jiǎng)概率應(yīng)盡可能大一些.一個(gè)合理的方案，必須兼顧這兩方面的內(nèi)容，把握好度的問(wèn)題.

根據(jù)上述討論知，現(xiàn)在的問(wèn)題是取什么樣的方案m/n（n和m取何值）、設(shè)置那些獎(jiǎng)項(xiàng)、高項(xiàng)獎(jiǎng)的比例rj（j=1,2,3）為多少和低項(xiàng)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金額xi（i=4,5,6,7）為多少時(shí)，使吸引力F目標(biāo)函數(shù)有最大值.

2 符號(hào)說(shuō)明

rj——第j等（高項(xiàng)）獎(jiǎng)?wù)几唔?xiàng)獎(jiǎng)總額的比例，j=1,2,3；

xj——第j等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金額均值，1≤j≤7；

Pj——彩民中第j等獎(jiǎng)xj的概率，1≤j≤7；

μ（xj）——彩民對(duì)某個(gè)方案第j等獎(jiǎng)的滿意度，即第j等獎(jiǎng)對(duì)彩民的吸引力,1≤j≤7.

3 模型的建立

3.1 模型準(zhǔn)備

3.1.1 確定彩民的心理曲線

彩民對(duì)一個(gè)方案的各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)及獎(jiǎng)金額的看法（即對(duì)彩民的吸引力）的變化就是一個(gè)典型的模糊概念.根據(jù)人們通常對(duì)一件事物的心理變化一般遵循的規(guī)律，不妨定義彩民的心理曲線[1]為：

其中λ表示彩民平均收入的相關(guān)因子，稱為實(shí)力因子，一般為常數(shù).

3.1.2 計(jì)算實(shí)力因子

實(shí)力因子是反映一個(gè)地區(qū)彩民的平均收入和消費(fèi)水平的指標(biāo)，確定一個(gè)地區(qū)彩票方案應(yīng)考慮所在地區(qū)的實(shí)力因子，在我國(guó)不同地區(qū)收入和消費(fèi)水平是不同的，因此，不同地區(qū)實(shí)力因子應(yīng)有一定的差異.我們以中等地區(qū)收入水平（或全國(guó)平均水平）為例進(jìn)行研究.根據(jù)相關(guān)網(wǎng)站的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，不妨取人均年收入1.5萬(wàn)元，按我國(guó)的現(xiàn)行制度，平均工作年限T=35年，則人均總收入為52.5萬(wàn)元.于是，當(dāng)x0=52.5萬(wàn)元時(shí)，?。次Φ闹形粩?shù)），則有

表3.1 各收入對(duì)應(yīng)的實(shí)力因子

同理，可以計(jì)算出年收入1萬(wàn)元、2萬(wàn)元、2.5萬(wàn)元、3萬(wàn)元、4萬(wàn)元、5萬(wàn)元、10萬(wàn)元的實(shí)力因子如表3.1.

3.2 模型建立

由問(wèn)題的分析可知，一個(gè)合理的方案應(yīng)包含兩層含義：

3.2.1 方案的基本合理性[2]：如高項(xiàng)獎(jiǎng)的期望金額高于低項(xiàng)獎(jiǎng)；固定獎(jiǎng)的最低金額不能過(guò)低等；以及方案的可行性如高項(xiàng)獎(jiǎng)浮動(dòng)比例與低項(xiàng)獎(jiǎng)固定金額規(guī)則的制訂就充分體現(xiàn)了方案的可行性.如果改為高低項(xiàng)獎(jiǎng)均為浮動(dòng)比例，則顯然方案的發(fā)行成本增大，可行性降低；如果改為高低項(xiàng)獎(jiǎng)均為固定金額，則方案的發(fā)行風(fēng)險(xiǎn)會(huì)增大，可行性也會(huì)降低.

3.2.2 方案對(duì)彩民的吸引力：前者是基本前提保證，后者體現(xiàn)了擇優(yōu)的過(guò)程.設(shè)計(jì)一個(gè)“更好”的方案需要同時(shí)滿足兩者，方案的基本合理性和可行性是應(yīng)該首先進(jìn)行驗(yàn)證的，主要是出于現(xiàn)實(shí)的考慮，一些明顯的合理性檢驗(yàn)應(yīng)在前期完成.很多方案明顯在基本合理性和可行性上存在缺陷，對(duì)此類方案根本無(wú)需考慮其對(duì)彩民的吸引力.

為了取得最合理的彩票發(fā)行方案，就要使得吸引力 的目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值，即

以m,n,rj（j=1,2,3）,xi（i=4,5,6,7）為決策變量，他們之間滿足以下關(guān)系，即約束條件：

（1）高項(xiàng)獎(jiǎng)獎(jiǎng)金額均值[1]和心理曲線的計(jì)算

（2）高項(xiàng)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金比例和為1，所以模型中有r1+r2+r3=1；

（3）合理的彩票發(fā)行方案，其一等獎(jiǎng)期望金額應(yīng)介于保底金額與封頂金額之間，這是彩票長(zhǎng)期穩(wěn)定發(fā)行的前提.因此有 6×105≤x1≤5×106；

（4）部分彩民熱衷彩票，其心態(tài)是基于特大獎(jiǎng)（一等獎(jiǎng)）的誘惑，為了能夠吸引這一部分彩民，方案必須使得一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金要占高項(xiàng)獎(jiǎng)總金額的大部分.同時(shí)，除一等獎(jiǎng)以外的其他高項(xiàng)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金比例也應(yīng)在某一合理區(qū)間內(nèi).這一約束條件可表示為：rj∈[αj,βj],j=1,2,3；

（5）要提高彩票方案的吸引力，就要提高彩票方案的中獎(jiǎng)概率和，其最直接的方法就是增加獎(jiǎng)項(xiàng)，但是設(shè)立的獎(jiǎng)項(xiàng)太多，又往往會(huì)降低大獎(jiǎng)的金額，降低對(duì)彩民的吸引力，所以獎(jiǎng)項(xiàng)的設(shè)置也應(yīng)合理.每一個(gè)低項(xiàng)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金金額同樣要處于某一合理區(qū)間[cj,dj]，j為低項(xiàng)獎(jiǎng)獎(jiǎng)項(xiàng)，允許低項(xiàng)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金金額為0，表示相應(yīng)彩票方案中不設(shè)置該獎(jiǎng)項(xiàng).可表示為：xj∈[cj,dj],j=4,5,6,7；

（6）實(shí)際中高等獎(jiǎng)的概率Pj應(yīng)小于低等獎(jiǎng)的概率 Pj+1，即Pj

（7）對(duì)方案中m,n的取值范圍也應(yīng)有一定的約束，這是由已知的方案確定的.本模型取5≤m≤8,20≤n≤40.

綜上所述，建立取得最合理彩票發(fā)行方案的目標(biāo)規(guī)劃模型為：

4 模型求解

（1）先確定決策變量rj,xj的合理浮動(dòng)區(qū)間，其浮動(dòng)區(qū)間的設(shè)置存在人為主觀因素的影響，即彩票發(fā)行部門有權(quán)對(duì)浮動(dòng)區(qū)間的范圍進(jìn)行修改，本文先從提供的方案中總結(jié)各變量的大致浮動(dòng)范圍，如表4.1所示：

表4.1 各決策變量的大致浮動(dòng)區(qū)間

（2）模型中概率Pj（j=1,2,…7）是m,n的函數(shù)，具體計(jì)算參照四種不同類型彩票方案的各獎(jiǎng)項(xiàng)獲獎(jiǎng)概率[3]求解.

（3）xj在j=4,5,6,7時(shí)為低項(xiàng)獎(jiǎng)獎(jiǎng)金額，雖然每個(gè)低項(xiàng)獎(jiǎng)都有一個(gè)浮動(dòng)區(qū)間，但是仍允許低項(xiàng)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金金額為0，表示相應(yīng)彩票方案中不設(shè)置該獎(jiǎng)項(xiàng).在編程時(shí)除考慮決策變量浮動(dòng)區(qū)間內(nèi)的值外，還要考慮到xj=0（j=4,5,6,7）的情況.

（4）這是一個(gè)較復(fù)雜的非線性整數(shù)規(guī)劃[4]，一般的求解比較困難.本文利用窮舉法，讓n從20到40，m從5到8，步進(jìn)為1，遍歷上表中未知變量的浮動(dòng)范圍，以求得最大合理度，即最優(yōu)彩票發(fā)行方案.因?yàn)橛休^多的未知變量，計(jì)算量非常大，所以將因素分為高項(xiàng)獎(jiǎng)和低項(xiàng)獎(jiǎng)進(jìn)行分段遍歷搜索：先固定低項(xiàng)獎(jiǎng)的金額值xj（j=4,5,6,7），讓高項(xiàng)獎(jiǎng)金額比例rj（j=1,2,3）浮動(dòng)；然后固定計(jì)算得到的高項(xiàng)獎(jiǎng)金額比例，計(jì)算低項(xiàng)獎(jiǎng)的金額.這樣可大大減少計(jì)算量，加快計(jì)算速度.

算法實(shí)現(xiàn)：

Step1:固定x4=200,x5=50,x6=10,x7=5；

Step2:對(duì)一切5≤m≤8,20≤n≤40，遍歷r1,r2,r3的浮動(dòng)范圍；若r1+r2+r3=1就繼續(xù)，否則返回2；

Step3:分K1,K2,K3,K4四種情況，計(jì)算相應(yīng)的Pj.檢驗(yàn)Pj

Step4:計(jì)算xj（j=1,2,3）和μ（xj）j=1,2,…7，檢驗(yàn)是否6×105≤x1≤5×106，若是則繼續(xù)，否則轉(zhuǎn)2；

Step6:固定上面求出的r1,r2,r3的值，重復(fù)過(guò)程（2）～（4），遍歷x4,x5,x6,x7的浮動(dòng)范圍.最后記出F取最大值時(shí)，x4,x5,x6,x7的值.

該模型的計(jì)算通過(guò)Matlab編程實(shí)現(xiàn)，對(duì)于不同的變量浮動(dòng)范圍，該模型都可以很快的得到有最大吸引力的方案.

通過(guò)Matlab編程計(jì)算，可求得最優(yōu)解為{K3，6.37，0.75，0.15，0.1，500，100，50，5}，最優(yōu)值為F=6.5263×10-7.故對(duì)應(yīng)的最優(yōu)方案為：37選6+1（6+1/37）,一、二、三等獎(jiǎng)的比例分別為75％、15％、10％，四、五、六、七等獎(jiǎng)的金額分別為500、100、50、5元.

不同的彩票發(fā)行部門對(duì)表4.1中的浮動(dòng)范圍有不同的取舍，我們可以修改表4.1中的變量浮動(dòng)范圍，求得不同的最優(yōu)方案.

再者，前面是針對(duì)中等收入水平的彩民情況考慮的，對(duì)于經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)地區(qū)和欠發(fā)達(dá)地區(qū)應(yīng)有所不同.我們還可以分別對(duì)年收入1萬(wàn)元、2萬(wàn)元、2.5萬(wàn)元、3萬(wàn)元、4萬(wàn)元、5萬(wàn)元、10萬(wàn)元，工作年限平均為35年的情況進(jìn)行討論，就可以給出適用于相應(yīng)各種情況的最優(yōu)方案.這里我們不給出計(jì)算結(jié)果.

5 小結(jié)

由上述分析可知，基于彩票發(fā)行單位的不同要求，有不同的變量浮動(dòng)范圍，可得出不同的最優(yōu)方案.變量的約束條件可根據(jù)彩票發(fā)行單位的意愿決定，該模型可以很快為彩票發(fā)行部門求得不同約束條件下的最優(yōu)方案.而且，最優(yōu)方案的確定還依賴于彩民所在地區(qū)的平均收入水平即平均年總收入，對(duì)于不同的地區(qū)（例如經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)地區(qū)和欠發(fā)達(dá)地區(qū)）所得出的最優(yōu)方案也是不同的.

〔1〕韓中庚.“彩票中的數(shù)學(xué)”問(wèn)題的優(yōu)化模型與評(píng)述[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003.3,20（5）:108-114.

〔2〕齊海濤,裴衛(wèi)斌,王征.彩票發(fā)行方案的合理性分析[J].沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2003.3,20（1）:81-83.

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F224.9

A

1673-260X（2011）09-0045-03

榆林學(xué)院高層次人才科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目（08GK029）