習友寶

(電子科技大學電子工程學院，四川成都610054)

“電路分析”課程中，直流一階電路的暫態(tài)響應分析對于學生建立電路暫態(tài)過程的概念并進行定性和定量分析非常重要。但因為涉及到動態(tài)元件特性、換路特性、列寫和求解微分方程等，將出現(xiàn)一些新的概念和方法需要認真理解。

1 電路分析教學中的幾個問題

對電路與暫態(tài)響應分析部分的內(nèi)容，大部分傳統(tǒng)教學一般是以單回路的RC電路和單節(jié)點的RL電路為具體例子，通過對其建立微分方程并求解零輸入響應、零狀態(tài)響應，應用疊加定理得到全響應，最后總結(jié)出“三要素法”求解;對于一般形式的一階電路，則應用戴維寧或諾頓定理化簡為RC或RL簡單電路再求解。對于含有多個同類動態(tài)元件(多個電容或多個電感)的電路，可能是一階也可能是二階或高階電路，學生難以判斷。時間常數(shù)是反映電路暫態(tài)過程的重要參數(shù)，還需從概念上理解［1，2]。

1)直流一階電路

直流一階電路是最簡單的動態(tài)電路，從學生容易理解的角度，我們可以先從簡單RC電路充放電過程開始［3]，演示RC電路中電容電壓的變化規(guī)律。然后進入定性分析，從電壓、電流和能量的角度解釋波形變化規(guī)律。再進行定量分析，列寫微分方程，結(jié)合初始條件求解。講解零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應，以及微分方程的齊次解(通解)和暫態(tài)響應、特解和強制響應的概念。從微分方程的特征根引出時間常數(shù)的概念，指出時間常數(shù)是反映電路暫態(tài)特性的一個重要參數(shù)，它是由電路結(jié)構(gòu)和電路參數(shù)本身所決定的，一階電路的所有響應都具有相同的時間常數(shù)［4]，因此，應稱為電路的時間常數(shù)，而不是電路中某個響應的時間常數(shù)。

2)換路的概念

教學中我們會涉及到換路的概念，以及基于替代定理用電容電壓、電感電流替代電容、電感二端元件，得到不同時刻的等效電路等內(nèi)容都是難點。需要指出電路中的狀態(tài)變量(電容電壓、電感電流)和非狀態(tài)變量，它們的響應形式也可能不同。比如，非狀態(tài)變量的零狀態(tài)響應形式一般不是f(t)=f(∞)(1－e-t/τ)，因為其初始狀態(tài)f(0+)可能不為零。在換路時刻，狀態(tài)變量是連續(xù)的，非狀態(tài)變量會出現(xiàn)躍變。因此，若換路發(fā)生在t=0時刻，狀態(tài)變量表達式的時間條件可記為t≥0，而非狀態(tài)變量只能記為t＞0或t≥0+。

3)關(guān)于“三要素法”

“三要素法”是得到一階電路全響應的簡便方法，也是教學的重點。為使學生更好地理解，需要講透幾個問題:如何引出和得到“三要素法”，為什么只是針對一階電路;時間常數(shù)的概念;為什么狀態(tài)變量和非狀態(tài)變量都適用。

2 電路的階數(shù)

一般教材上指電路中含獨立動態(tài)元件的個數(shù)，也是對應微分方程的階數(shù)。對于含有多個動態(tài)元件時，其中一種簡單的情況是:多個同類動態(tài)元件具有很明顯的串并聯(lián)關(guān)系，可以等效為一個動態(tài)元件，是一階電路。下面主要討論另外兩種情況。

圖1所示為典型的具有高頻補償作用的RC阻容分壓器電路，圖中Us為理想直流電壓源(假設在t=0時接入電路)，它們均含有兩個電容元件，兩圖的差別僅在于回路中的電阻R0(可看成是Us的內(nèi)阻)。那么這兩個電容元件是否是獨立的呢?它們是一階還是二階電路?該如何判斷?

我們不妨對圖1中兩個電路以u2列寫微分方程，分別得到

圖1 關(guān)于電路階數(shù)的說明

顯然，式(1)對應的圖1(a)為一階電路，而式(2)對應的圖1(b)為二階電路。若在式(2)中令R0=0，則與式(1)相同，電路也就如圖1(a)了。

式(1)對應的齊次方程特征根寫為:p=－1/τ，τ=(R1//R2)(C1+C2)，即為該電路的時間常數(shù)。觀察圖1(a)發(fā)現(xiàn)，移除圖中獨立源Us(即令Us置為零)，得到的等效電路，就是R1、R2并聯(lián)后與C1、C2并聯(lián)，并由此可以很方便的得到時間常數(shù)。這與由齊次方程(令式(1)右邊Us=0)特征根得到時間常數(shù)是一樣的，這里特別注意到當令Us=0時兩個電容元件具有可合并的特點。而對于圖1(b)，同樣移除圖中獨立源Us，由于R0的存在，兩個電容不能通過串并聯(lián)關(guān)系合并。因此，這兩個電容就是獨立動態(tài)元件，該電路也就是二階電路了。

又如在圖2所示的電路中假設直流電流源IS在t=0時接入電路。顯然該電路含有兩個不同類型的動態(tài)元件，它們是獨立的。實際上，可以看成是兩個獨立的一階電路:R1C和R2L電路所組成。圖中i(t)和uo(t)響應的表達式形式應為

式中，t＞0，A=f(∞)，A1和A2為常數(shù)。

3 電路的時間常數(shù)

我們進一步觀察式(1)，可見方程的右邊即為u2(∞)，它就是方程的特解(強制響應)。若以f(t)表示方程中的變量u2，則有

圖2 由兩個獨立的一階電路構(gòu)成的電路

式中，τ即為時間常數(shù)，可由式(3)對應的齊次方程特征根得到。注意式中f(t)前面的系數(shù)為1。

上式代表了直流一階電路中所有響應的一般形式，再加上f(0+)初始條件，其解即為“三要素法”表達式:

式中，對狀態(tài)變量時t≥0，對非狀態(tài)變量時t＞0。

也就是說，“三要素法”實際上來自于式(3)所示的一階電路微分方程通式的全解。

一階電路與高階電路其區(qū)別在于:一階電路的暫態(tài)過程是單調(diào)的指數(shù)衰減過程(時間常數(shù)為正值);高階電路的暫態(tài)過程為多個指數(shù)函數(shù)的線性組合(非單調(diào)函數(shù))或以指數(shù)函數(shù)為包絡的衰減震蕩。高階電路的暫態(tài)過程衰減時間也是由電路本身決定的，但是很難用一個“時間常數(shù)”參數(shù)來描述。

4 教學內(nèi)容的實際應用

為了鞏固所學的知識，我們可以列舉如下三個RC電路的實際應用例子。

1)利用RC電路構(gòu)成模擬積分/微分器。取電容與電壓為積分輸出，可實現(xiàn)輸入信號的積分運算，并將輸入直流電壓量轉(zhuǎn)換成時間量;取電阻上的電壓為微分輸出可得到輸入波形的邊沿。

2)由RC電路構(gòu)成低通濾波器。一階RC電路的3dB截止頻率為f3dB=1我們還可從頻域理解時間常數(shù)的特性。當時間常數(shù)較小時，從時域來講，電路的暫態(tài)時間較短;從頻域來講，截止頻率更高，帶寬更大，對階躍或方波信號輸入，因為可以通過更高階諧波的頻率分量，使輸出更接近輸入波形。

3)利用RC電路實現(xiàn)信號延時。對電容電壓的充放電波形經(jīng)比較器后，可得到其延時波形，改變比較器的比較電平，可以改變延時時間。從時域來講，由于暫態(tài)過程的存在，反映了RC電路的滯后特性;從頻域來講，反映了RC電路的相移特性。

［1] 李翰蓀編.電路分析基礎(chǔ)(第四版)［M] .北京:高等教育出版社，2006.5

［2] 胡翔駿編.電路分析［M] .北京:高等教育出版社，2007.1

［3] Allan H.Robbins，Wilhelm C.Miller.Circuit Analysis:Theory and Practice(Second Edition).——影印本.北京:科學出版社，2003.3

［4] 付永慶.怎樣講好一階電路時間常數(shù)的概念［J] .南京:電氣電子教學學報.2005.8，27(4):102～104