汪 建

(華中科技大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，湖北武漢430074)

0引 言

在“電路原理”課程暫態(tài)分析教學(xué)中，沖激響應(yīng)的求解是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是難點(diǎn)之一。當(dāng)采用時(shí)域分析法時(shí)，沖激響應(yīng)的求解通?？蓱?yīng)用下述三種方法［1-3]:①由階躍響應(yīng)求解，即階躍響應(yīng)對(duì)時(shí)間變量的導(dǎo)數(shù)為沖激響應(yīng);②將沖激響應(yīng)化為零輸入響應(yīng)求解，即先求出沖激激勵(lì)所建立的電路初始狀態(tài)uC(0+)和iL(0+)，再求零輸入響應(yīng)便獲得沖激響應(yīng)。③還可用比較系數(shù)法，即通過比較描述沖激響應(yīng)的微分方程兩邊奇異函數(shù)的系數(shù)來求得沖激響應(yīng)。

但當(dāng)電路中含有電流源—電感割集、電壓源—電容回路或電壓源—電感回路、電流源—電感回路時(shí)，應(yīng)用上述某種方法求解時(shí)可能會(huì)遇到困難。本文通過一些較典型例題的分析來說明這些方法的運(yùn)用，用以幫助學(xué)生建立正確思維方式，增強(qiáng)其靈活運(yùn)用所學(xué)概念和方法分析電路問題的能力，提高講解沖激響應(yīng)求解方法的教學(xué)效果。

1 由階躍響應(yīng)求沖激響應(yīng)

電路中某一變量的階躍響應(yīng)通常用S(t)表示，沖激響應(yīng)用h(t)表示。沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的關(guān)系是h(t)=dS(t)/dt。

［例1] 求圖1所示電路的沖激響應(yīng)uC(t)。

圖1 例1電路

解:先求電路階躍響應(yīng)。令電源電壓為ε(t)，uC(0－)=0。一階電路可用三要素法求解

則階躍響應(yīng)為

于是，所求沖激響應(yīng)為

2 將沖激響應(yīng)化為零輸入響應(yīng)求解

沖激電源的作用可視為在其施加于電路時(shí)建立初始狀態(tài)，即使uC(t)和iL在t=0時(shí)發(fā)生跳變。沖激電源在t=0時(shí)作用于電路，在t＞0后沖激電源的輸出為零，則電路的響應(yīng)可視為由沖激電源所建立的初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)。

對(duì)于沖激電源所建立的電路初始狀態(tài)uC(0+)和iL(0+)可用兩種方法求得:①由沖激電源作用時(shí)(0－～0+)的等效電路求出通過電容的電流iC(t)和電感的端電壓uL(t)，再由兩種動(dòng)態(tài)元件的伏安關(guān)系式求得uC(0+)和iL(0－)。因uC(0－)及iL(0－)=0，則在沖激電源作用時(shí)，電容等效于短路，電感等效于開路;②由電路的微分方程求出。

［例2] 電路仍如圖1所示。試用化為零輸入響應(yīng)求解的方法求其沖激響應(yīng)uC(t)。

解:先求沖激電源所建立的初始狀態(tài)uC(0+)。在沖激電源作用時(shí)，電容相當(dāng)于短路，作出等效電路如圖2(a)所示，求得iC(t)=δ(t)/3+2i(t)，于是有

我們可建立電路的微分方程再求出uC(0+)。對(duì)圖2(b)所示電路，依據(jù)KCL和KVL可建立電路的微分方程為

對(duì)方程兩邊同時(shí)從0－～0+積分，可求得

t＞0后的電路為零輸入電路，如圖2(c)所示。其中uC(0+)=0.5V，τ=1s。于是電路的沖激響應(yīng)為

圖2 例2計(jì)算用圖

［例3] 如圖3(a)所示電路中，已知:L1=1H，L2=0.5H，R=1Ω，試求沖激響應(yīng)i1(t)和i2(t)。

解:此題若用第一種方法先求階躍響應(yīng)，再求沖激響應(yīng)的方法，會(huì)遇到困難。原因是此電路中有一電壓源—電感回路，當(dāng)階躍電源作用，用三要素法求穩(wěn)態(tài)值時(shí)，兩個(gè)電感相當(dāng)于短路將電源短接而無法求出電感電流的穩(wěn)態(tài)值。這里采用化為零輸入響應(yīng)的方法進(jìn)行求解。作出δ(t)作用(t=0)時(shí)的等效電路如圖2(b)所示，可得

u1(t)=δ(t)，u2(t)=0

于是求出初始狀態(tài)為

t＞0后為零輸入電路，如圖3(c)所示。因該電路有兩個(gè)電感并聯(lián)，在動(dòng)態(tài)過程結(jié)束后，兩電感中的電流均不為零。

圖3 例3計(jì)算用圖

為此先求響應(yīng)u(t)，有

其中，i(0+)=i1(0+)－i2(0+)=i1(0+)=1A，τ=Leq/R=(L1//L2)/R=1/3s，于是有

則求得沖激響應(yīng)為

3 比較系數(shù)法求沖激響應(yīng)

一個(gè)n階網(wǎng)絡(luò)的微分方程，其一般形式為

若x(t)=δ(t)且電路的原始狀態(tài)為零狀態(tài)，則響應(yīng)y(t)為沖激響應(yīng)。

根據(jù)微分方程的具體形式，沖激響應(yīng)h(t)的表達(dá)式可分為兩種情況。

1)若n＞m，則h(t)中不含有沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)，其一般表達(dá)式為

式中，yh(t)是齊次微分方程的解。

在確定了h(t)表達(dá)式的形式后，將其代入到微分方程中進(jìn)行系數(shù)比較，從而獲得沖激響應(yīng)。

［例4] 某電路的微分方程為dy(t)/dt+4y(t)=2d2x(t)/dt2+3x(t)，試求該電路沖激響應(yīng)h(t)。

解:由于n=1，m=2，故由式(3)得沖激響應(yīng)的表達(dá)式為

而dh(t)/dt=-4e－4tε(t)+Kδ(t)+K0δ'(t)+K1δn(t)

將dh(t)/dt和h(t)代入原微分方程，可得

比較等式兩邊各項(xiàng)系數(shù)，解得

則所求沖激響應(yīng)為

［例5] 用比較系數(shù)法求圖1所示電路的沖激響應(yīng)。

解:列出該電路的微分方程為

因n＞m，且該微分方程的齊次解形式為ke－t，

則由(2)式，知沖激響應(yīng)的表達(dá)式為

將上式代入微分方程后進(jìn)行系數(shù)比較，可求得k=0.5，則所求沖激響應(yīng)為

［例6] 電路如圖4所示，試求其沖激響應(yīng)i(t)。

圖4 例6電路

解:此電路的求解若用第二種方法化為零輸入響應(yīng)的方法會(huì)遇到困難，原因是電路中存在電流源-電感割集。當(dāng)沖激電源作用時(shí)，兩個(gè)電感相當(dāng)于開路而難以求出此時(shí)兩個(gè)電感兩端的電壓因而不能求得沖激電源所建立的初始狀態(tài)。為此用比較系數(shù)法求解。對(duì)圖4所示電路右邊回路列寫KVL方程，有

整理后得到電路的微分方程為

因n=m，由式(3)知響應(yīng)的表達(dá)式為

將上式代入微分方程，經(jīng)系數(shù)比較，可得K=－3，K0=6。

則所求沖激響應(yīng)為

4 結(jié)語

本文用一些較典型的例子從教學(xué)的角度討論說明了在時(shí)域中求解沖激響應(yīng)的方法，以提高這一內(nèi)容的教學(xué)效果，幫助學(xué)生正確地理解和掌握沖激響應(yīng)的概念，特別是沖激響應(yīng)的各種求解方法。由此達(dá)到開拓思路和正確地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析各種電路問題的能力。

［1] 邱關(guān)源，羅先覺.電路(第五版)［M] .北京:高等教育出版社，2006

［2] 周守昌主編.電路原理［M] .北京:高等教育出版社，2004

［3] 李翰遜主編.電路分析基礎(chǔ)(第三版)［M] .北京:高等教育出版社，1993