馮愛芬 常志勇 楊德五

河南科技大學(xué) 河南洛陽 471003

理工科院校數(shù)學(xué)模型課程的教學(xué)現(xiàn)狀與對(duì)策

馮愛芬 常志勇 楊德五

河南科技大學(xué) 河南洛陽 471003

文章分析了理工科院校數(shù)學(xué)模型課程的教學(xué)現(xiàn)狀，提出了數(shù)學(xué)模型課程分層次教學(xué)和模塊化教學(xué)的改革思路，并采取多種教學(xué)方法交互使用，從而達(dá)到了較好的教學(xué)效果，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型課程建設(shè)的蓬勃發(fā)展。

數(shù)學(xué)模型；教學(xué)現(xiàn)狀；對(duì)策

馬克思說過：“一門科學(xué)只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了完善的地步”。進(jìn)入21世紀(jì)，隨著科學(xué)技術(shù)迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)技術(shù)以空前的深度和廣度應(yīng)用到各個(gè)學(xué)科和研究領(lǐng)域，已經(jīng)成為當(dāng)代高新技術(shù)的重要組成部分。將數(shù)學(xué)理論轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力的主要途徑是運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，建立數(shù)學(xué)模型，并借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解，人們常把數(shù)學(xué)建模和計(jì)算機(jī)技術(shù)的結(jié)合比喻為如虎添翼。數(shù)學(xué)模型作為一門課程進(jìn)入課堂，越來越受到人們的重視和廣大學(xué)生的喜歡，它和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)類課程有著很大區(qū)別，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)類課程講究計(jì)算的精確性和邏輯推理的嚴(yán)密性，而數(shù)學(xué)模型重點(diǎn)研究運(yùn)用數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際問題，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法并加以改造來解決問題；而且，實(shí)際問題常常沒有標(biāo)準(zhǔn)答案或惟一答案，往往是多種答案各有千秋。這些特點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)模型課程教學(xué)提出了很大的挑戰(zhàn)。如何改進(jìn)傳統(tǒng)的教學(xué)方法，安排適合的教學(xué)內(nèi)容，才能取得較好的教學(xué)效果，成為數(shù)學(xué)模型研究者的重要課題。本文圍繞數(shù)學(xué)模型課程教學(xué)改革與實(shí)踐進(jìn)行探討。

1 理工科院校數(shù)學(xué)模型課程的教學(xué)現(xiàn)狀

1.1 課程安排及教學(xué)形式的多樣性

目前，在數(shù)學(xué)模型課程設(shè)置上，有公共選修課、設(shè)定專業(yè)必選課以及全國(guó)建模競(jìng)賽集訓(xùn)課3種形式，前2種形式的教學(xué)安排大同小異，教學(xué)時(shí)數(shù)相差不大，學(xué)分相同，理論教學(xué)為主，少量學(xué)時(shí)安排實(shí)踐教學(xué)；第三種形式為配合全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽而設(shè)置，采取理論與實(shí)踐相結(jié)合、以實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)為主，但集訓(xùn)時(shí)間較短，授課比較集中。另外，這3個(gè)層次授課的學(xué)期以及參加學(xué)習(xí)的學(xué)生來源不一，涵蓋大二、大三、大四的學(xué)生，他們來自不同學(xué)科專業(yè)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)類課程的學(xué)時(shí)和擁有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)不同，導(dǎo)致授課的復(fù)雜性，需要統(tǒng)籌兼顧。

1.2 教材紛繁多樣，實(shí)踐環(huán)節(jié)內(nèi)容力度不夠

目前，數(shù)學(xué)模型各種版本的教材、教輔材料達(dá)上百種，名稱大同小異，內(nèi)容編寫順序有一定的差別，關(guān)于實(shí)際問題的案例的選擇千差萬別。鑒于各種因素，相關(guān)部門極力承擔(dān)教材購(gòu)買和發(fā)放工作，有時(shí)授課教師沒有教材選擇權(quán)，無法使用滿意的教材。這些情況導(dǎo)致教師上課缺乏針對(duì)性，課程內(nèi)容的系統(tǒng)性和教學(xué)的科學(xué)化更是無從談起。另一方面，有些教材理論性、系統(tǒng)性較強(qiáng)，也比較科學(xué)，編撰比較豐滿，可是缺乏實(shí)踐環(huán)節(jié)的內(nèi)容，“數(shù)學(xué)味”太濃，“橋梁作用”體現(xiàn)得不夠深刻，影響了數(shù)學(xué)模型教材的質(zhì)量。因此，在教學(xué)過程中，亟需研究如何在有限的授課學(xué)時(shí)內(nèi)，安排課程教學(xué)內(nèi)容，把數(shù)學(xué)建模的基本思想、方法和相關(guān)理論合理講述，使學(xué)生更多地接觸實(shí)際建模案例，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，加強(qiáng)學(xué)生自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和理論素質(zhì)，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模理論和方法解決實(shí)際問題的基本技能。

1.3 生源素質(zhì)不一，授課難度加大

這主要體現(xiàn)在公選課和培訓(xùn)課程上，隨著數(shù)學(xué)建模應(yīng)用領(lǐng)域逐漸擴(kuò)大，特別是建模競(jìng)賽獲獎(jiǎng)學(xué)生受后續(xù)專業(yè)課教師和用人單位的青睞，亦可免試推薦讀研等原因，大學(xué)生參與程度大幅提高，選課學(xué)生大幅增加，就我校而言，2006～2009年，每年有近400名學(xué)生參加公選課，當(dāng)然，有些學(xué)生選課目的是為了彌補(bǔ)學(xué)分的缺額。人多則雜，選課學(xué)生來源復(fù)雜，涉及學(xué)科、專業(yè)面寬廣，教師教學(xué)難度大，選用教材難度大，因材施教難度大，集體研究數(shù)學(xué)建模理論方法和進(jìn)行實(shí)踐環(huán)節(jié)的機(jī)會(huì)少。

1.4 教學(xué)方法和手段單一、落后，難以適應(yīng)現(xiàn)代教學(xué)需求

數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)技術(shù)的配合可以說是一對(duì)孿生兄弟，二者相得益彰，互為補(bǔ)充?，F(xiàn)實(shí)教學(xué)中，一些教師和學(xué)校仍然采用“黑板+粉筆”教學(xué)手段，教法單一、落后，備受學(xué)生反感。在數(shù)學(xué)模型課程教學(xué)中，由于涉及的學(xué)科和基礎(chǔ)知識(shí)較多，離開多媒體，授課過程很難把牽涉的知識(shí)十分全面地融合進(jìn)去，許多繪圖、函數(shù)、表格等在教學(xué)中無法生動(dòng)活潑地展示出來，一定程度上影響教學(xué)效果的正常發(fā)揮。如果借助數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)室和一套齊備的數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件，如Mathematic，Matlab，Lingo和SAS等，數(shù)學(xué)模型課程教學(xué)將如魚得水。

2 理工科院校數(shù)學(xué)模型課程的教學(xué)對(duì)策

針對(duì)教學(xué)中存在的問題，我們圍繞教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法，采取了以下的改革與實(shí)踐：

2.1 開展分層次教學(xué)，提高學(xué)習(xí)效果

針對(duì)選課學(xué)生來源復(fù)雜，涉及學(xué)科、專業(yè)面廣等問題，為適應(yīng)學(xué)生的需要，達(dá)到“因材施教”目的，我們將數(shù)學(xué)模型教學(xué)大致分為3個(gè)層次，每一層次對(duì)數(shù)學(xué)模型的課程大綱、授課計(jì)劃、學(xué)時(shí)分配、教學(xué)材料、實(shí)踐環(huán)節(jié)、試題類型以及教材選用等要求各不相同。其實(shí)施方案及實(shí)施方法如下：

第一層次是理科專業(yè)的公共基礎(chǔ)課。主要對(duì)象為數(shù)學(xué)類專業(yè)和物理類等理科專業(yè)，該類學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)較好，其他相關(guān)學(xué)科的知識(shí)相對(duì)較少。安排在第四學(xué)期講授，授課課時(shí)約64課時(shí)，計(jì)3.5學(xué)分，分理論和實(shí)驗(yàn)兩部分，按照“淡化基礎(chǔ)理論，重點(diǎn)掌握方法，強(qiáng)化實(shí)踐應(yīng)用”的原則，理論講授按照“問題－模型－方法－結(jié)論”的模式，重點(diǎn)在于從實(shí)際問題出發(fā)，分析問題，建立數(shù)學(xué)模型，求解模型，進(jìn)而解決問題；實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)不低于總授課時(shí)的1/4，利用計(jì)算機(jī)軟件，如：Matlab，Lindo，Lingo，SPSS等對(duì)其所建立的模型進(jìn)行求解，然后對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，解答所給的問題。

第二層次是全校各專業(yè)公選課。主要針對(duì)大二以上全校工科各專業(yè)。授課學(xué)時(shí)約48課時(shí)，計(jì)3學(xué)分，分理論和實(shí)驗(yàn)兩部分，實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)約占總課時(shí)的1/6。這部分學(xué)生來源寬泛，學(xué)科知識(shí)面廣，有些學(xué)生計(jì)算機(jī)能力強(qiáng)，按照“淡化理論，掌握方法，重在應(yīng)用”的原則，理論授課重點(diǎn)放在怎樣利用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際問題，實(shí)驗(yàn)授課主要講如何利用求解報(bào)告解決問題。

第三層次是參加競(jìng)賽的短期集訓(xùn)課。面向參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的學(xué)生，約80課時(shí)，分理論和實(shí)驗(yàn)兩部分，實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)不低于總學(xué)時(shí)的1/2。采取理論與實(shí)踐并重的教育教學(xué)模式，按照“建模理論夠用，熟練方法技能，理論聯(lián)系實(shí)際”的原則，上午實(shí)施案例教學(xué)，下午上機(jī)進(jìn)行程序演示和實(shí)際操作，重在學(xué)習(xí)建模的方法和技巧以及形成報(bào)告的能力訓(xùn)練。

除3個(gè)教學(xué)層次之外，在輔助教學(xué)方面，為提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣和愛好，擴(kuò)大數(shù)學(xué)建模的影響力，我們以數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)為依托，發(fā)揮學(xué)生社團(tuán)作用，定期或不定期舉辦相關(guān)的專題講座或競(jìng)賽活動(dòng)，邀請(qǐng)校內(nèi)外專家報(bào)告、介紹數(shù)學(xué)建模理論和進(jìn)展動(dòng)態(tài)。

2.2 實(shí)施模塊化教學(xué)，優(yōu)化課程體系

根據(jù)數(shù)學(xué)模型課程各部分內(nèi)容設(shè)置“三橫八縱”教學(xué)模塊，按照3個(gè)層次需求選擇性講授模塊知識(shí)。其構(gòu)成如圖1所示：

圖1 數(shù)學(xué)模型課程體系基本框架

“三橫模塊”指基礎(chǔ)模塊、選修模塊和競(jìng)賽模塊。其中基礎(chǔ)模塊涵蓋數(shù)學(xué)建模所必需的預(yù)備知識(shí)模塊和公共基礎(chǔ)知識(shí)模塊。預(yù)備知識(shí)模塊包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，其理論性相對(duì)較高，基礎(chǔ)寬，內(nèi)容以夠用為度，授課2課時(shí)。公共基礎(chǔ)模塊包括建立模型的基礎(chǔ)知識(shí)和必要的計(jì)算機(jī)軟件工具，授課4課時(shí)。主要講授常用的數(shù)學(xué)軟件，完成必要的計(jì)算、分析或判斷等內(nèi)容，是各層次必選內(nèi)容，根據(jù)學(xué)時(shí)多少至少選定1種教學(xué)軟件。例如：計(jì)算機(jī)軟件工具只要掌握1種軟件(如Matlab)即可。

“選修模塊”主要強(qiáng)調(diào)講述內(nèi)容的個(gè)性化，在實(shí)施中具有一定彈性，適合個(gè)性化的知識(shí)、能力教學(xué)和特長(zhǎng)培養(yǎng)。從不同層次和不同專業(yè)人才規(guī)格和培養(yǎng)目標(biāo)上，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的整體化。根據(jù)不同專業(yè)、不同類別學(xué)生素質(zhì)要求，對(duì)“選修模塊”設(shè)置了4個(gè)子模塊，突出了各部分內(nèi)容的個(gè)性特點(diǎn)，教學(xué)中從培養(yǎng)學(xué)生基本規(guī)格出發(fā)，拉近教學(xué)內(nèi)容和不同專業(yè)學(xué)生間的距離，體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的親和力和影響力，使不同層次學(xué)生各獲其益。

各子模塊主要內(nèi)容及教學(xué)學(xué)時(shí)如下：

初等方法模塊：主要講授初等數(shù)學(xué)方法建模。包括集合分析，完成本模塊約6課時(shí)。

靜態(tài)優(yōu)化模塊：主要講授靜態(tài)優(yōu)化方法建模。靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù))，主要用微分法求解，也可用數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法求解。完成本模塊約14課時(shí)。

動(dòng)態(tài)優(yōu)化模塊：主要講授動(dòng)態(tài)優(yōu)化方法等內(nèi)容，包括微分方程、差分方程、穩(wěn)定性模型和動(dòng)態(tài)規(guī)劃等內(nèi)容。完成本模塊約14課時(shí)。

隨機(jī)優(yōu)化模塊：主要講授隨機(jī)優(yōu)化模型。包括概率論模型、統(tǒng)計(jì)分析模型和馬爾科夫鏈模型。完成本模塊約14課時(shí)。

其他選修模塊包括網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型、層次分析法模型、模糊數(shù)學(xué)模型、灰色系統(tǒng)模型等，可根據(jù)教學(xué)學(xué)時(shí)數(shù)和專業(yè)需求不同，適當(dāng)增加這些內(nèi)容，以擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面和視野。

競(jìng)賽模塊主要針對(duì)參加全國(guó)數(shù)學(xué)家建模競(jìng)賽的學(xué)生設(shè)置，主要包括數(shù)學(xué)建模強(qiáng)化訓(xùn)練和數(shù)學(xué)建模論文寫作強(qiáng)化訓(xùn)練等內(nèi)容，完成本模塊教學(xué)約需30課時(shí)，其中，論文寫作模塊2～4課時(shí)，建模強(qiáng)化模塊理論學(xué)時(shí)約10～12課時(shí)，實(shí)踐環(huán)節(jié)16～18課時(shí)。選修模塊供不同專業(yè)和不同層次的學(xué)生選用，其內(nèi)容根據(jù)需要來設(shè)置，加強(qiáng)針對(duì)性，突出實(shí)用性。

2.3 改進(jìn)教學(xué)手段和方法，增強(qiáng)教學(xué)的實(shí)效性和針對(duì)性

為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，改善教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果，我們主要采取了教學(xué)方法和教學(xué)手段的改革。根據(jù)不同學(xué)生不同教學(xué)內(nèi)容采用討論式、“雙向翻譯”式、“理論+實(shí)踐”模式等不同教學(xué)方法，適時(shí)運(yùn)用CAI、多媒體、計(jì)算機(jī)軟件等現(xiàn)代教育技術(shù)平臺(tái)展開教學(xué)，已形成了多媒體教學(xué)，計(jì)算機(jī)上機(jī)演示，Mathematica和Matlab編程教學(xué)相結(jié)合的“立體化”教學(xué)體系；特別地，結(jié)合課程教學(xué)體系與內(nèi)容的需要，對(duì)于數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)軟件編程尤其適合多媒體教學(xué)，并作為教學(xué)改革生動(dòng)具體的載體，極大提高了教學(xué)效果，促進(jìn)了數(shù)學(xué)模型教學(xué)的現(xiàn)代化。在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)上，應(yīng)用校園局域網(wǎng)、公共網(wǎng)等良好的整體和局部教學(xué)環(huán)境，把相關(guān)軟件和電子教案等立體化教材入網(wǎng)使用，校園網(wǎng)絡(luò)課堂教學(xué)逐步正常運(yùn)轉(zhuǎn)，教師與學(xué)生已經(jīng)利用網(wǎng)絡(luò)課堂進(jìn)行課程討論、網(wǎng)上答疑、布置作業(yè)、發(fā)布課外學(xué)習(xí)資料及課程通知等，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)主動(dòng)性，進(jìn)一步鞏固了課程的教學(xué)效果。

另外，在數(shù)學(xué)模型課程考核中，還改革了考試方式，改變了閉卷筆試的傳統(tǒng)考試模型，改為開卷筆試考試，實(shí)行提交小論文和筆試的考核方式，在條件許可的情況下實(shí)行上機(jī)操作考試和答辯相結(jié)合的方式。

3 結(jié)束語

經(jīng)過近幾年的教學(xué)改革實(shí)踐，數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)逐步實(shí)現(xiàn)了從封閉走向開放，從單科走向綜合，從校內(nèi)走向校外，從單純課堂講授走向理論與實(shí)踐的有效結(jié)合，從課程教學(xué)走向社團(tuán)組織輔助學(xué)習(xí)，教學(xué)效果有了較大提高，近3年參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽獲國(guó)家一、二等獎(jiǎng)10項(xiàng)，省級(jí)一、二等獎(jiǎng)54項(xiàng)，競(jìng)賽成績(jī)開創(chuàng)了學(xué)校最好紀(jì)錄。2008年和2009年，我們對(duì)課程教學(xué)改革與實(shí)踐的實(shí)效進(jìn)行調(diào)查，分別發(fā)放問卷300份，總體回收率達(dá)89.67%，通過對(duì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、分析和處理，結(jié)果顯示：絕大部分學(xué)生認(rèn)同數(shù)學(xué)模型課程的改革實(shí)踐，課程結(jié)構(gòu)更加趨于合理優(yōu)化，模塊清晰明了，學(xué)習(xí)起來方便易懂，網(wǎng)絡(luò)課堂深受歡迎，90%以上的學(xué)生認(rèn)為收獲較大，對(duì)學(xué)習(xí)專業(yè)課以及自身工作有很大作用，參與調(diào)查的學(xué)生在降低對(duì)數(shù)學(xué)理論的證明，增加結(jié)合實(shí)際應(yīng)用方面的內(nèi)容，多講自身專業(yè)應(yīng)用方面的知識(shí)等愿望得以滿足，授課方法上多種方法適時(shí)應(yīng)用備受學(xué)生歡迎，“理論+實(shí)踐”的案例式教學(xué)把數(shù)學(xué)模型的基本思想、方法和相關(guān)理論融入相關(guān)學(xué)科、專業(yè)，增強(qiáng)了課程的吸引力，提高數(shù)學(xué)建模在各學(xué)科的應(yīng)用性。目前，數(shù)學(xué)模型課程越來越受到更多學(xué)生青睞，學(xué)生對(duì)該課程評(píng)教滿意度逐年升高，2008年被評(píng)為學(xué)校精品課程，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型課程建設(shè)的蓬勃發(fā)展。

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Abstract: This paper analyzes the current teaching situation of the course of mathematical modeling in university of science & technology, offered the reform thoughts and methods: be allotted arrangement of ideas teaching, modular teaching, and blend various teaching method. As a result, this course has been developed very quickly.

Key words: mathematical model; teaching current situation; countermeasure

Teaching current situation and countermeasure on mathematical model in university of science& technology

Feng Aifen, Chang Zhiyong, Yang Dewu
Henan university of science & technology, Luoyang, 471003, China

2010-09-17

馮愛芬,碩士,副教授,數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系主任。

河南省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃課題(編號(hào)：2009- JKGHAG-0245)；河南科技大學(xué)教研重點(diǎn)項(xiàng)目(編號(hào)：2007Z-010)。