彭朝暉,甘 柳,晏小兵

0 引言

在風(fēng)險(xiǎn)理論中，古典風(fēng)險(xiǎn)模型經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的完善和補(bǔ)充，已經(jīng)成為最完美的風(fēng)險(xiǎn)理論。而古典風(fēng)險(xiǎn)模型中，索賠來(lái)到過(guò)程是一個(gè)Poisson過(guò)程,Poisson過(guò)程的一個(gè)重要性質(zhì)是均值等于方差,但在保險(xiǎn)公司的實(shí)際運(yùn)作中是難以具備這樣的性質(zhì)的。為了使模型更加符合實(shí)際,不少人對(duì)索賠來(lái)到過(guò)程進(jìn)行了推廣，其中文獻(xiàn)[1]提出了一類稱為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的計(jì)數(shù)過(guò)程,建立了如下模型:

其中，U(t)為保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余量,c為單位時(shí)間內(nèi)收取的保費(fèi),u≥0為公司的初始盈余,{N(t);t≥0}是參數(shù)為λ、ρ的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程,Xi表示第i次索賠額。針對(duì)模型(1),文獻(xiàn)[1]給出了其破產(chǎn)概率所滿足的更新方程,并在索賠額Xi服從指數(shù)分布時(shí),得到了破產(chǎn)概率的顯示表達(dá)式;文獻(xiàn)[2]在索賠分布Xi為相位分布的情況下,得到了破產(chǎn)概率的顯示表達(dá)式,并進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算;文獻(xiàn)[3]得到了Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)。

隨著保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，險(xiǎn)種日益呈現(xiàn)多元化，近年來(lái)也有不少研究了多險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)模型，例如：文獻(xiàn)[4]對(duì)兩個(gè)險(xiǎn)種的索賠到達(dá)過(guò)程均為齊次Poisson過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了研究，得到了破產(chǎn)概率的近似表達(dá)；文獻(xiàn)[5]和[6]在此基礎(chǔ)上對(duì)將各個(gè)險(xiǎn)種的保費(fèi)收入過(guò)程{ct;t≥0}推廣為Poisson過(guò)程或復(fù)合Poisson過(guò)程；在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[7]將保費(fèi)收入過(guò)程推廣為兩個(gè)獨(dú)立復(fù)合Poisson過(guò)程之和；文獻(xiàn)[8]則將文獻(xiàn)[5]～[7]納入一個(gè)框架之下，即它們都可以表示成為兩個(gè)獨(dú)立的譜正Lévy過(guò)程的差，并研究了這一類模型的首達(dá)時(shí)的性質(zhì)和生存概率的Pollaczek-Khinchin公式。

本文擬建立一類雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，一個(gè)險(xiǎn)種的索賠來(lái)到過(guò)為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程，另一個(gè)險(xiǎn)種的索賠來(lái)到過(guò)程的時(shí)間間隔服從廣義的Erlang(n)分布。然后得到Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)所滿足的積分微分方程,利用鞅方法得到了該模型的Lundberg方程,并且利用Laplace變換給出初始資本為0時(shí)的Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函的精確解。

1 模型定義

我們考慮如下模型：

其中，{X(1)i,i=1,2,…}和{X(2)j,j=1,2,…}分別為兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,其分布函數(shù)分別為F(x)和G(x),密度函數(shù)分別為 f(x)和g(x),均值為 μ1和 μ2。{N1(t);t≥0}是參數(shù)為λ,ρ的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程,{N2(t);t≥0}獨(dú)立于{N1(t);t≥0},是一個(gè)更新過(guò)程,其來(lái)到的時(shí)間間隔{Vi}i≥1,這里假設(shè){}Vii≥1服 從 廣 義 的 Erlang(n)分 布,參 數(shù) 為λ1,λ2,…,λn,即Vi可以分解為Vi=Vi1+Vi2+…+Vin。其中Vij服從均值為1λj的指數(shù)分布。

為了保證保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)穩(wěn)定,單位時(shí)間內(nèi)的保費(fèi)收入應(yīng)大于其單位時(shí)間內(nèi)的理賠,即：

本文恒設(shè)式(3)成立。

定義1 設(shè) λ＞0,0≤ρ＜1,稱 {N(t);t≥0}是參數(shù)為 λ,ρ的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程,如果

(1)N(0)=0;

(2){N(t);t≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量;

(3)對(duì) t≥0有 N(t)～PG(λt,ρ)

設(shè)保險(xiǎn)公司初始準(zhǔn)備金為u,破產(chǎn)時(shí)刻為Tu=inf{t≥0|u+X(t)＜0}。相應(yīng)的最終破產(chǎn)概率定義為ψ(u)=P(Tu＜∞|U(0)=u)。

我們定義一個(gè)隨機(jī)變量M,M=m如果破產(chǎn)是由第m(m=1,2)個(gè)險(xiǎn)種的索賠導(dǎo)致的。這樣破產(chǎn)概率ψ(u)就可以分解為ψ(u)=ψ1(u)+ψ2(u),這里

ψm(u)=P(Tu＜∞,M=m|U(0)=u)（u≥0,m=1,2)

設(shè)ω(x),x＞0為一非負(fù)函數(shù),定義如下折現(xiàn)罰金函數(shù)

φm(u)=E[e-δTω( ||U(T)I(T＜∞,M=m)|U(0)=u],(u≥0 ；m=1,2)

2 Gerb er-Sh iu折現(xiàn)罰金函的積分微分方程

因?yàn)閂i=Vi1+Vi2+…+Vin,其中Vij服從均值為1λj的指數(shù)分布,對(duì)于時(shí)間段Vi。假設(shè)0時(shí)刻開(kāi)始時(shí),處于時(shí)間段V1中的第 j個(gè)小時(shí)間段V1j(j=1，2，…，n),稱這個(gè)小時(shí)間段為狀態(tài),這樣由指數(shù)分布,從狀態(tài) j轉(zhuǎn)移到 j+1的強(qiáng)度為λj；從狀態(tài)n轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1的強(qiáng)度為λn。

假設(shè)φm,j(u)表示處于狀態(tài) j時(shí),最終由第m(m=1,2)個(gè)險(xiǎn)種的索賠導(dǎo)致破產(chǎn)的模型的折現(xiàn)罰金函數(shù)。下面推導(dǎo)φm,j(u)所滿足的積分微分方程。假設(shè)開(kāi)始處于狀態(tài)j，j=1,2,…,n-1,對(duì)于充分小的時(shí)間Δt,我們考慮(0,Δt]內(nèi)的情況,分成四種:①第二個(gè)險(xiǎn)種無(wú)狀態(tài)轉(zhuǎn)移,第一個(gè)險(xiǎn)種無(wú)索賠；②第二個(gè)險(xiǎn)種無(wú)狀態(tài)轉(zhuǎn)移,第一個(gè)險(xiǎn)種發(fā)生索賠；③第二個(gè)險(xiǎn)種發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移,第一個(gè)險(xiǎn)種無(wú)索賠；④第二個(gè)險(xiǎn)種狀態(tài)轉(zhuǎn)移,第一個(gè)險(xiǎn)種發(fā)生索賠。于是有：

化簡(jiǎn)并利用文獻(xiàn)[1]引理6,我們得到：

其中：ωf(u)=∫0uω(x-u)f(x)dx

當(dāng)處于狀態(tài)n時(shí),我們有：

化簡(jiǎn)得到

利用同樣的方法,我們可以得到：

3 Lun d berg方程

記 τ0=0，τk=∑ki=1Vi為第二個(gè)險(xiǎn)種第k次索賠來(lái)到的時(shí)刻 ，令 U0=u ，對(duì)于 k=1,2,…，Uk=U(τk)=u+cτk-為第二個(gè)險(xiǎn)種第k次索賠后的盈余過(guò)程。下面我們找一個(gè) s使得 {e-δτk+sUk;k=0,1,2…}是一個(gè)鞅,容易得到：

又因?yàn)?/p>

所以鞅條件為：

我們把式(8)稱為模型(2)的Lundberg方程。容易看出當(dāng)λ=0,ρ=0 時(shí),式(8)退化為文獻(xiàn)[9]中的情況。

定理1 δ＞0時(shí)式(8)有n個(gè)根s1,s2,…,sn,且Re(si)＞0。

令 Aδ(s)=Λδ(s)+B(s),這樣 ||Aδ(s)=0 就等價(jià)于式(8)。利用文獻(xiàn)[10]、[11]中的方法，令 Aδ(s,u)=Λδ(s)+uB(s),δ＞0時(shí),用?表示半徑為R的區(qū)域(包括邊緣),其中.下面證明,當(dāng)0≤u≤1時(shí), | Aδ(s,u)|≠0,當(dāng)s∈?。因?yàn)閕=1,2,…,n-1時(shí)有：

同理i=n時(shí)：

上述不等式表明 | Aδ(s,u)| ≠0,當(dāng) s∈?ˉ。具體證明過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)[12]。

下面定義函數(shù) f(u)為 | Aδ(s,u)|=0在區(qū)域 ?+(?的內(nèi)部)根的個(gè)數(shù),這樣就有

因此,f(u)是[0,1]上的取整連續(xù)函數(shù),且為常數(shù)。因?yàn)閨Λδ(s)|=0 有n個(gè)根，為。故 f(0)=n。這樣就有 f(1)=n。

4 初始資本為0時(shí)的Gerb er-Sh iu折現(xiàn)罰金函的精確解

先定義如下的Laplace變換：

對(duì)等式(4)和(5)利用Laplace變換得到：

我們記

其中I1的n個(gè)元素都為1,I2最后一個(gè)元素為1,其余為0。又因?yàn)?/p>

由文獻(xiàn)[1]引理6,知上式后一個(gè)等式的∫和∑ 交換順序是可以的。于是

這樣上述等式就可以寫成如下矩陣形式：

解式(9)得到：

其中,A*δ(s)為 Aδ(s)的伴隨矩陣。

同樣的,對(duì)等式(6)和(7)利用Laplace變換,寫成矩陣形式后得到：

解式(11)得到：

定理2如果(8)式有n個(gè)不同的根,則φ1(0),φ2(0)的精確表達(dá)式為：

證明：因?yàn)?||Aδ(si)=0（i=1,2,…,n）所以存在非0向量,使得 ATδ(si)=0→ ，將左乘式(9)得到：

其中, ξδ(si)=ξi1+ξi2+…+ξin（i=1,2,…,n)。利用克萊姆法則有：

其中,Dm1是矩陣D去掉第一列和第m行后剩下元素組成的矩陣。

將上面兩個(gè)展開(kāi)式代入到式(15)就有：

同理可以得到φ2(0)的精確表達(dá)式。

[1]毛澤春,劉錦萼.索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型及破產(chǎn)概率[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,26(3).

[2]毛澤春,劉錦萼.索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程下破產(chǎn)概率的顯式表達(dá)[J].中國(guó)管理科學(xué),2007,15(5).

[3]廖基定,龔日朝,劉再明,鄒捷中.復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型Gerber-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2007,30(6).

[4]蔣志明，王漢興．一類多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的破產(chǎn)概率[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000,14(1).

[5]董亞娟，朱勇華.保險(xiǎn)系統(tǒng)中一種推廣風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2004,34(6).

[6]趙曉芹,劉再明.廣義二元復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率的估計(jì)[J].統(tǒng)計(jì)研究,2008,25(5).

[7]王晶剛，劉再明，周勇衛(wèi).保險(xiǎn)系統(tǒng)中一類雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2005,25(1).

[8]趙永霞，尹傳存.經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的推廣[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2009,25(4).

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