郭 丁,顧行發(fā),余 濤,趙 輝,馬紅濤

(1.電子科技大學(xué)自動化工程學(xué)院,成都 610054;2.中國科學(xué)院遙感應(yīng)用研究所遙感科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100101;3.國家航天局航天遙感論證中心,北京 100101)

基于分?jǐn)?shù)階濾波器的遙感圖像處理

郭 丁1,2,3,顧行發(fā)1,2,3,余 濤2,3,趙 輝1,馬紅濤2,3

(1.電子科技大學(xué)自動化工程學(xué)院,成都 610054;2.中國科學(xué)院遙感應(yīng)用研究所遙感科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100101;3.國家航天局航天遙感論證中心,北京 100101)

在研究分?jǐn)?shù)階微積分的基礎(chǔ)上,提出了一種基于WLS誤差準(zhǔn)則的濾波方法,該濾波器的系數(shù)可通過調(diào)節(jié)其階次來改變;給出了該濾波器的原理,分析了其幅頻特性。通過用 Riemann-Liouville定義驗(yàn)證,并將此濾波器運(yùn)用于遙感圖像處理,結(jié)果表明,該方法在抗干擾和提取更多細(xì)節(jié)方面取得了很好的平衡,具有較好的濾波效果。

分?jǐn)?shù)階微積分;FIR;數(shù)字濾波器;WLS誤差準(zhǔn)則;遙感

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分 (Fractional Order Calculus,FOC)概念的提出可以上溯 300 a,早在整數(shù)階微積分(IOC)產(chǎn)生時(shí),FOC就產(chǎn)生了;在 19世紀(jì),其理論體系就已基本完善[1]。FOC作為一個(gè)純數(shù)學(xué)分支已逐漸發(fā)展成體系,但其物理意義不明確。近年來,多種信息提取與處理領(lǐng)域的應(yīng)用研究[2-4]表明,作為一種新穎而有效的工具,FOC擁有 IOC所不能替代的作用。

很多數(shù)學(xué)家從不同角度給 FOC作出了多種不同的定義[5,6],主要有 Grumivald-Letinikov(G-L)、Caputo(C)及 Riemann-Liouville(R-L)等 ,其中R-L定義最具有普適性[7]。然而,所有 FOC定義的表達(dá)式都是復(fù)雜的,實(shí)現(xiàn)其計(jì)算比實(shí)現(xiàn) IOC復(fù)雜得多[8]?？梢哉f,探索 FOC有效的計(jì)算方法是深化和拓展其應(yīng)用的關(guān)鍵。

離散化的時(shí)間序列是表達(dá)諸多處理對象信息的重要形式。由于有限沖激響應(yīng)濾波器 (Finite Impulse Response,FIR)的實(shí)現(xiàn)便利及穩(wěn)定性,借助其實(shí)現(xiàn)時(shí)間序列的 FOC運(yùn)算是優(yōu)先考慮的途徑之一。有人使用了基于泰勒級數(shù)展開設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階微分(Fractional Order Derivative,FOD)濾波器的方法[9],這種濾波器可以實(shí)現(xiàn)時(shí)間序列 FOD的近似計(jì)算。然而,由于沒有直接將頻率響應(yīng)作為濾波器的設(shè)計(jì)目標(biāo),該方法不能有效地控制濾波器的頻率響應(yīng)誤差,而且這種基于泰勒級數(shù)展開的方法不能推廣至解決計(jì)算分?jǐn)?shù)階積分(Fractional Order Integral,FO I)問題[10]。

現(xiàn)實(shí)中的時(shí)間序列在頻域上通常是帶限的。可以設(shè)計(jì)出這樣的 FIR濾波器,使其在時(shí)間序列的有效頻帶內(nèi)能很好地逼近 FOC算子,那么通過該濾波器的輸入、輸出處理,就可以在保證有限精度的前提下實(shí)現(xiàn)時(shí)間序列的 FOC運(yùn)算。

與泰勒展開法的出發(fā)點(diǎn)不同,本文充分考慮了時(shí)間序列的頻域帶限性質(zhì),它能夠有效地控制濾波器頻率響應(yīng)帶來的計(jì)算誤差,而且無論對于 FOD還是 FO I都具有普適性。

1 濾波器原理與設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)

1.1 時(shí)間序列 FOC運(yùn)算的 FIR濾波器實(shí)現(xiàn)原理

對于實(shí)數(shù)功率時(shí)間序列 x(n),其 IOC記為I(p)x(n),p為整數(shù),當(dāng) p>0時(shí)表示微分,p<0時(shí)表示積分。根據(jù)傅立葉分析理論,I(p)x(n)的傅立葉變換為

自然地想到,將 p的取值范圍推廣至實(shí)數(shù)域,可以得到 FOC數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)定義,它同樣取式 (2)的形式,為便于區(qū)別,式中的 p用 q代替。本文用 F(q)x(n)表示所對應(yīng)的時(shí)間序列的 FOC,q為實(shí)數(shù),q>0為微分,q<0為積分。顯然,I(p)x(n)是F(q)x(n)當(dāng) q取整數(shù)時(shí)的特例。由式 (2)可得 FOC濾波器的單位沖激響應(yīng),即

則時(shí)間序列 x(n)經(jīng)過該濾波器的輸出為

式 (3)、(4)從傅立葉變換角度給出了時(shí)間序列的 FOC定義。另一方面,本文還通過對運(yùn)算結(jié)果的驗(yàn)證,從應(yīng)用角度說明了它的合理性。

由于 h(q)(n)是無限長的,直接計(jì)算式 (3)、(4)實(shí)際上沒有應(yīng)用價(jià)值。本文使用的方法是,在保證有限誤差的前提下求解 FOC的近似值。由式(1)得

式中,sgn(·)為符號函數(shù)。分析上式虛、實(shí)部的奇偶特性,并考慮到時(shí)間序列在頻域上通常是帶限的,可以找到長度為 2M+1的 FIR濾波器,其頻率響應(yīng)函數(shù)表示為

容易推導(dǎo)出時(shí)間序列 x(n)經(jīng)過該濾波器的輸出為

若H(ejω)在X(ejω)的有效頻帶內(nèi)逼近Hq(ejω),則可證明 y(n)就是 Fqx(n)的一個(gè)逼近。

需要說明的是,式 (7)表達(dá)的濾波器是非因果的,但將其延遲M即可成為因果可實(shí)現(xiàn)的。

1.2 基于WLS誤差準(zhǔn)則的 FOC FIR濾波器設(shè)計(jì)

本文用WLS誤差準(zhǔn)則解決H(ejω)逼近H(q)(ejω)這一FOC FIR濾波器的設(shè)計(jì)問題。給定加權(quán)函數(shù) W(ω)≥0,規(guī)定 W(0)≡0,根據(jù)式 (5)、(6)定義WLS誤差函數(shù)為

容易知道,e2達(dá)到極小的條件是它對所有 a(·)及 b(·)的偏微分皆為 0,即

式 (10)、(11)中,m=1,2,…,M。

2 濾波器實(shí)例及驗(yàn)證

2.1 設(shè)計(jì)實(shí)例與比較

2.1.1 FOD FIR濾波器

為比較設(shè)計(jì)性能,取 L=1 000;濾波器長度與文獻(xiàn)[10]示例一致 (即 M=5);微分階取 q=0.8,1.0,1.5,2.0。加權(quán)函數(shù)選擇為

所得 4個(gè)濾波器的幅頻響應(yīng)如圖 1(a)所示。對照圖中虛線所示理想的幅頻響應(yīng) |ω|q可知,它們在非高頻段內(nèi)具有很好的頻率響應(yīng)。與前人[9]示例結(jié)果比較,在采用同樣濾波器參數(shù)的條件下,本文設(shè)計(jì)的頻率響應(yīng)誤差較小,而且具有更寬的有效頻帶。

圖 1 FOC FIR濾波器的幅頻響應(yīng)Fig.1 Amplitude-frequency response character is tics of the FOC FIR filter

2.1.2 FO IFIR濾波器

參數(shù)取M=15;q=-0.8,-1.0,-1.2。加權(quán)函數(shù)選擇為

所設(shè)計(jì)的 3個(gè)濾波器的幅頻響應(yīng)如圖 1(b)所示,它們在中頻段[0.1π,0.85π]很好地逼近理想的幅頻響應(yīng) |ω|q。

2.2 實(shí)現(xiàn) FOC運(yùn)算的驗(yàn)證

選擇中心頻率為的窄帶時(shí)間序列 x(n)=e-0.02n·cos(1.5n)(n=0,1,…)作為試驗(yàn)樣本,用上節(jié)中設(shè)計(jì)的 FOC FIR濾波器分別對它進(jìn)行 0.8次微分和0.8次積分運(yùn)算,結(jié)果如圖 2中的圓點(diǎn)所示。

圖 2 FIR濾波器實(shí)現(xiàn)序列 FOC計(jì)算的驗(yàn)證Fig.2 The validation of the FOC series realization using FIR filter

圖 2中同時(shí)用實(shí)線繪出了由 R-L定義[1]得到的數(shù)值計(jì)算結(jié)果,其表達(dá)式為

由圖 2可知,采用所設(shè)計(jì)的 FIR濾波器實(shí)現(xiàn)序列 x(n)的 0.8次微分和 0.8次積分計(jì)算,其結(jié)果與R-L定義結(jié)果之間只存在少量的誤差。相對而言,積分結(jié)果比微分的更好,幾乎完全逼近 R-L定義。容易解釋上述現(xiàn)象產(chǎn)生的原因:FO I濾波器的長度為 2M+1=31,而 FOD濾波器的只有 2M+1=11。

圖 3 原始圖像與不同階次濾波結(jié)果Fig.3 The original image and filtered results by different orders

根據(jù)圖 1,微分運(yùn)算可以有效地提高信號高頻部分,并伴隨頻率與分?jǐn)?shù)階數(shù)的增長呈現(xiàn)急劇變化。分析圖 1(a)中濾波器的幅頻特征曲線,2階微分對信號高頻成分的提升遠(yuǎn)大于其他階次。對于 FOD,當(dāng)階數(shù) q位于 1～2之間時(shí),信號高頻部分的幅度得到明顯增強(qiáng),雖遠(yuǎn)小于 2階時(shí)的增強(qiáng)程度,但也獲得了足夠的提升;當(dāng) q位于 0～1時(shí),信號中頻部分的

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

圖 4 圖 3的局部放大Fig.4 Local images filtered by different orders

為了檢驗(yàn)分?jǐn)?shù)階 FIR濾波器的檢測效果,本文截取 HJ-1圖像的一部分進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。圖 3為原始圖像與其 0.4、0.8及 1階導(dǎo)數(shù)結(jié)果。圖 4為圖 3中圓形框內(nèi)區(qū)域的局部放大圖像。幅度也有所加強(qiáng)。觀察 FOD在中低頻段的情況可以看出,相對 1階、2階增加幅度較小,信號低頻幅度隨頻率的降低呈非線性衰減,衰減幅度明顯小于 1階、2階微分?？梢?FOD在加強(qiáng)信號高、中頻成分的同時(shí),也對信號的甚低頻成分進(jìn)行了非線性保留。

分?jǐn)?shù)階 FIR濾波器是整數(shù)階濾波器的一種延拓,與整數(shù)階微分相類似,它可以實(shí)現(xiàn)圖像的銳化;同時(shí)利用分?jǐn)?shù)階的非線性特性,選擇適當(dāng)?shù)奈⒎蛛A數(shù),可以大幅度增強(qiáng)圖像邊緣和突出紋理細(xì)節(jié)、非線性保留平滑區(qū)域和避免產(chǎn)生較多的噪聲。本文通過分?jǐn)?shù)階 FIR微分算子運(yùn)算使圖像細(xì)節(jié)明顯突出、清晰并使平滑區(qū)域信息得以相對保留,從而提高了圖像的視覺清晰度。

針對 FOD的階數(shù)可連續(xù)變化的優(yōu)勢,根據(jù)圖像采用不同的微分階次,可以達(dá)到較好的增強(qiáng)效果。對比圖 3和圖 4可以發(fā)現(xiàn),隨著階數(shù)的增加,圖像的銳化濾波效果明顯增強(qiáng),圖像的邊緣信息和局部細(xì)節(jié)得到加強(qiáng)。針對本幅圖像,發(fā)現(xiàn)階數(shù)在 0.4和0.8時(shí),原圖像在整數(shù)階濾波中被濾掉的像素,在 0.8階微分圖像中得到了很明確的展現(xiàn) (如圖 4左下圖中的箭頭所示:左下角的像素得到顯示,而右上的兩個(gè)點(diǎn)得到了增強(qiáng))?？梢?分?jǐn)?shù)階濾波效果較之整數(shù)階有一定的優(yōu)勢。由于不同圖像的整體亮度不同,所對應(yīng)的最佳微分階數(shù)也會有所不同。

4 結(jié)論

(1)可以從傅立葉變換角度定義序列的 FOC。

(2)對于頻帶有限的序列,可以通過 FIR濾波器實(shí)現(xiàn)其 FOC計(jì)算。

(3)基于WLS誤差準(zhǔn)則的設(shè)計(jì)算法,可以有效設(shè)計(jì) FOC FIR濾波器。

(4)由 FIR濾波器實(shí)現(xiàn)序列的 FOC計(jì)算,只需要極少的計(jì)算量,其結(jié)果逼近 R-L定義的誤差隨濾波器長度的增加而減小。

(5)分?jǐn)?shù)階 FIR濾波器用于圖像的增強(qiáng)較傳統(tǒng)的整數(shù)階濾波器有明顯的優(yōu)勢?；诜?jǐn)?shù)階的圖像濾波方法效果良好,可以大幅度增強(qiáng)圖像邊緣和突出紋理細(xì)節(jié)、非線性保留平滑區(qū)域和避免產(chǎn)生較大的噪聲,表明分?jǐn)?shù)階濾波器在遙感圖像處理領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景。

(6)需要說明的是,對于頻帶有限的連續(xù)信號,其FOC運(yùn)算可以通過對它進(jìn)行采樣頻率大于奈奎斯特頻率的離散化處理、進(jìn)而采用本文的方法得以實(shí)現(xiàn)。

(7)本文是 FOD在遙感圖像處理中進(jìn)行的嘗試性應(yīng)用,是一個(gè)剛剛起步的研究課題。從應(yīng)用的角度提出了一種解決 FOC復(fù)雜計(jì)算問題的有效方法,它可以大大的推動 FOC這一新穎工具更深入、更廣泛的應(yīng)用。

[1] Miller K S,Ross B.An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations[M].New York:Wiley,1993.

[2] Ortiguerira M D.Introduction to Fractional Linear System s.Proc Inst Elect Eng Proc V is[J].Image Signal Process,2000,147(3):62-78.

[3] Podlubny I.Fractional-order Systems and PID -controllers[J].IEEE Trans on Automat Contr,1999,44(1):208-214.

[4] Engheta N.On the Role of Fractional Calculus in Electromagnetic Theory[J].IEEE Antennas Propagat Mag,1997,39(8):35-46.

[5] Axtell M,Bise M E.Fractional Calculus Application in Control System[C]//Aerospace and Electronics Conference.Proceeding of the IEEE,1990,2:563-566.

[6] Mbodje B,Montseny G.Boundary Fractional Derivative Control of the Wave Equation[J].IEEE Trans on Automat Contr,1995,40(2):378-382.

[7] 林孔容.關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的幾種不同定義的分析與比較[J].閩江學(xué)院學(xué)報(bào),2003,24(5):3-6.

[8] 朱正佑,李根國,程昌鈞.分?jǐn)?shù)積分的一種數(shù)值計(jì)算方法及其應(yīng)用[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2003,24(4):331-341.

[9] Tseng C C.Design of Fractional Order Digital FIR Differentiators[J].IEEE Signal Processing Letters,2001,8(3):77-79.

[10]Chen YQ,Moore K L.Discretization Schemes for Fractional-Order Differentiators and Integrators[J].IEEE Trans on CAS-I,2002,49(3):363-367.

(責(zé)任編輯:劉心季)

Remote Sen sing Image Filtering Method Using the Fractional Order FIR Based on the WLS Error Criterion

GUO Ding1,2,3,GU Xing-fa1,2,3,YU Tao2,3,ZHAO Hui1,MA Hong-tao2,3
(1.University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu 610054,China;2.State Key Laboratory of Remote Sensing Science,Institute of Remote Sensing Applications,CAS,Beijing 100101,China;3.Demonstration Center of Spaceborne Remote Sensing National Space Administration,Beijing 100101,China)

In this paper,a new filtering method has been proposed on the basis of the WLS error criterion,and the fractional order calculus has been used in the method.The coefficient of the filter can be altered with the order.Validated by the Riemann-Liouvillerule,the method can be applied to remote sensing image processing.Studies show that the method can attain the balance between anti-interference and detail extraction.Thus the technique displays fairly good filtering effect.

Fractional calculus;FIR;Digital filter;WLS rule;Remote sensing

郭 丁 (1980-),男,博士研究生,主要從事檢測技術(shù)及自動化裝置方面研究。

TP 751.1

A

1001-070X(2011)01-0048-04

2010-06-09;

2010-07-13

中國科學(xué)院知識創(chuàng)新工程重要方向項(xiàng)目“航天遙感圖像仿真模擬關(guān)鍵技術(shù)研究”(編號:KZCX2-YW-303)和國防科技工業(yè)民用專項(xiàng)科研技術(shù)研究項(xiàng)目“HJ-1衛(wèi)星數(shù)據(jù)應(yīng)用研究”(編號:07K00100KJ)共同資助。