趙 乾 黃海兵 羅亞中 唐國(guó)金

（國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)航天與材料工程學(xué)院）

1 引言

姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制對(duì)于空間站完成期望的飛行任務(wù)是至關(guān)重要的。空間站的姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制通常采用噴氣推力器執(zhí)行。由于空間站質(zhì)量大，采用這種方式進(jìn)行一次大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)需要耗費(fèi)大量燃料。雖然控制力矩陀螺用于姿態(tài)控制可以減少空間站的燃料消耗，但是由于它產(chǎn)生的控制力矩較小、并存在角動(dòng)量飽和問(wèn)題，當(dāng)將控制力矩陀螺應(yīng)用于空間站大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)、且采用傳統(tǒng)的控制算法和飛控軟件時(shí)，很容易出現(xiàn)飽和，一旦角動(dòng)量飽和，控制力矩陀螺就失去了姿態(tài)控制能力，需要噴氣推力器工作進(jìn)行卸載。由于空間站需要頻繁執(zhí)行包括姿態(tài)模式切換、大角度偏航等姿態(tài)機(jī)動(dòng)，大量的燃料消耗給空間站的后勤補(bǔ)給帶來(lái)了較大的負(fù)擔(dān)。

在國(guó)際空間站建造和運(yùn)營(yíng)中，研究人員開展了使用控制力矩陀螺進(jìn)行大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的可行性研究[1-2]。1996年，Draper實(shí)驗(yàn)室的Bedrossian在集中動(dòng)量管理概念研究中最早提出了零燃料姿態(tài)機(jī)動(dòng)（Zero Propellant Maneuver，ZPM）[1]。2006年 11月 5日，首次在國(guó)際空間站上開展了ZPM技術(shù)的演示驗(yàn)證試驗(yàn)，在不消耗燃料的情況下，國(guó)際空間站在7200s內(nèi)機(jī)動(dòng)了90°[3]。2007年3月3日，國(guó)際空間站又成功地使用控制力矩陀螺進(jìn)行了不消耗燃料的180°姿態(tài)機(jī)動(dòng)，而2007年1月2日國(guó)際空間站采用噴氣推力器完成180°姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)則消耗了50.76kg燃料，使用角動(dòng)量交換裝置實(shí)施一次國(guó)際空間站的180°姿態(tài)機(jī)動(dòng)可節(jié)省成本約110萬(wàn)美元[4]。

ZPM作為一類新穎的空間站大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)，不同于現(xiàn)有的小衛(wèi)星使用角動(dòng)量交換裝置的大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)。對(duì)小衛(wèi)星的大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)研究主要解決控制算法問(wèn)題，采用合適的控制算法實(shí)現(xiàn)大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)，包括切換控制算法[5]、逐次逼近控制算法[7]以及遞階飽和控制算法[8]等，且機(jī)動(dòng)的路徑都是沿歐拉軸的最短路徑實(shí)施，一般只對(duì)機(jī)動(dòng)過(guò)程中的控制力矩實(shí)施飽和限定，以避免角動(dòng)量交換裝置產(chǎn)生飽和。而ZPM主要解決機(jī)動(dòng)路徑規(guī)劃的問(wèn)題，通過(guò)規(guī)劃出合理的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡，并在機(jī)動(dòng)過(guò)程中實(shí)施動(dòng)量管理，只需要采用簡(jiǎn)單的姿態(tài)控制算法，就可以實(shí)現(xiàn)只采用角動(dòng)量交換裝置進(jìn)行的大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)。

本文對(duì)采用控制力矩陀螺的空間站零燃料大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑規(guī)劃開展研究，采用四元數(shù)建立了姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制算法采用星上常用的PD控制算法；建立了路徑規(guī)劃模型，設(shè)計(jì)變量選取為機(jī)動(dòng)路徑，優(yōu)化指標(biāo)為機(jī)動(dòng)過(guò)程中的角動(dòng)量峰值，約束條件為初值終端狀態(tài)參數(shù)，采用直接打靶法對(duì)機(jī)動(dòng)路徑進(jìn)行優(yōu)化，相比Bedrossian等學(xué)者在ZPM研究中采用的路徑規(guī)劃算法[3]，直接打靶法更具直觀性，優(yōu)化變量只需選取機(jī)動(dòng)過(guò)程控制變量；仿真分析對(duì)比了沿規(guī)劃路徑與沿歐拉軸機(jī)動(dòng)的結(jié)果，仿真結(jié)果表明路徑規(guī)劃可以使空間站的控制力矩陀螺在大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中遠(yuǎn)離飽和，實(shí)現(xiàn)了零燃料大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)。

2 姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制模型

2.1 動(dòng)力學(xué)模型

在研究大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制時(shí)，用歐拉角作狀態(tài)變量就很不方便，因?yàn)闅W拉方程的奇點(diǎn)會(huì)給問(wèn)題的研究帶來(lái)困難。歐拉四元數(shù)也可以用來(lái)描述角位置，而且四元數(shù)表示的運(yùn)動(dòng)方程不存在奇點(diǎn)的問(wèn)題，方程的形式也較為簡(jiǎn)單，因此用四元數(shù)研究大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)較為方便。建立姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

其中，q描述了空間站體坐標(biāo)系相對(duì)于軌道坐標(biāo)系的姿態(tài)四元數(shù)，ω為空間站的絕對(duì)角速度在體坐標(biāo)系中表示，ω0（q）為軌道角速度在空間站體坐標(biāo)系中的表示，Ω表示為

在體坐標(biāo)系中建立形式如下的歐拉動(dòng)力學(xué)方程

其中，J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，τgg為重力梯度力矩，τa為氣動(dòng)力矩，w為除重力梯度力矩和氣動(dòng)力矩外的干擾力矩，h為控制力矩陀螺的角動(dòng)量。

2.2 控制器模型

采用PD控制器實(shí)現(xiàn)姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制。假設(shè)qc和ωc為航天器的目標(biāo)姿態(tài)和目標(biāo)角速度，q和ω為航天器現(xiàn)有的姿態(tài)和角速度，則姿態(tài)誤差和角速度誤差為：

其中，ωc=ωo（qc），設(shè)計(jì) PD 姿態(tài)控制器。

（3）對(duì)環(huán)境的威脅。部分基因改良品種中含有從桿菌中提取的細(xì)菌基因，對(duì)部分昆蟲以及害蟲會(huì)產(chǎn)生危害，造成其死亡或者不正常發(fā)育。

其中，KP和KD分別為比例和微分控制器參數(shù)。該控制器的比例項(xiàng)可以有效地將空間站的姿態(tài)控制到目標(biāo)姿態(tài)，微分項(xiàng)可以使空間站在軌道系中的角速度趨近于零。

控制力矩陀螺如果要產(chǎn)生上述的控制力矩，其動(dòng)力學(xué)方程為：

3 路徑規(guī)劃問(wèn)題的描述

由于空間站受到干擾力矩的影響，即使是初始、終端狀態(tài)和機(jī)動(dòng)時(shí)間相同的兩條不同路徑，在姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中控制力矩陀螺的角動(dòng)量累積也會(huì)不一樣。路徑規(guī)劃的目的就是通過(guò)設(shè)計(jì)姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中路徑，使用控制力矩陀螺實(shí)現(xiàn)空間站實(shí)現(xiàn)大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)，同時(shí)使整個(gè)機(jī)動(dòng)過(guò)程中控制力矩陀螺角動(dòng)量盡量遠(yuǎn)離飽和，從而達(dá)到零燃料姿態(tài)機(jī)動(dòng)的目的。

3.1 設(shè)計(jì)變量

設(shè)計(jì)變量為在規(guī)定的姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)間內(nèi)的目標(biāo)姿態(tài)路徑。目標(biāo)姿態(tài)路徑為隨時(shí)間變化的連續(xù)函數(shù)，可表示為：

對(duì)于PD控制器，某一時(shí)刻的目標(biāo)姿態(tài)與空間站的狀態(tài)參數(shù)決定了這一時(shí)刻的控制力矩，因此，目標(biāo)姿態(tài)路徑qc可以看作控制參數(shù)。

3.2 約束條件

約束條件包括邊界條件約束與過(guò)程約束。邊界條件約束為初始與終端時(shí)刻空間站的狀態(tài)，包括姿態(tài)角與角速度，為了保證在機(jī)動(dòng)前與機(jī)動(dòng)后空間站穩(wěn)定運(yùn)行，初始與終端時(shí)刻姿態(tài)一般為力矩平衡姿態(tài)（Torque Equilibrium Attitude，TEA），相應(yīng)地，此時(shí)空間站相對(duì)于軌道系保持靜止，空間站的旋轉(zhuǎn)角速度即為軌道角速度，可得邊界條件約束為：

過(guò)程約束為四元數(shù)單位范化特性約束，即要滿足:

3.3 優(yōu)化目標(biāo)

路徑規(guī)劃的目的是要使完成整個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)的過(guò)程中控制力矩陀螺遠(yuǎn)離飽和，因此，優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)可取為姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中控制力矩陀螺角動(dòng)量二范數(shù)的峰值，優(yōu)化的目標(biāo)是使其最小化，即

4 優(yōu)化問(wèn)題數(shù)值求解

采用直接打靶法研究零燃料姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑規(guī)劃的最優(yōu)控制問(wèn)題，用離散變量來(lái)代替原模型中的連續(xù)變量，以使原問(wèn)題變成一個(gè)參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。

首先要將整個(gè)機(jī)動(dòng)時(shí)間分為N個(gè)時(shí)間段，這些時(shí)間段之間的節(jié)點(diǎn)處的時(shí)間為:

其中，tN就是終端時(shí)間tf，設(shè)節(jié)點(diǎn)tk上的控制參數(shù)為qck，將未知參數(shù)寫成一個(gè)矢量：

知道了每個(gè)節(jié)點(diǎn)的控制參數(shù)后，通過(guò)對(duì)節(jié)點(diǎn)處的控制參數(shù)插值就可以得到整個(gè)機(jī)動(dòng)過(guò)程的控制，將控制參數(shù)qck轉(zhuǎn)化成歐拉角θck以便于差值，采用Lagrange差值多項(xiàng)式擬合整個(gè)機(jī)動(dòng)過(guò)程的控制參數(shù)：

那么整個(gè)過(guò)程的控制參數(shù)可寫成:

整個(gè)過(guò)程的控制參數(shù)狀態(tài)方程可以從t0積分到tf得到整個(gè)過(guò)程的狀態(tài)，進(jìn)而目標(biāo)函數(shù)可寫成:

從而可以將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。進(jìn)一步地，可以采用序列二次規(guī)劃算法對(duì)非線性參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題求解。

由于采用直接打靶法得到的結(jié)果為離散值，因此倘若節(jié)點(diǎn)選取較少，則得到結(jié)果精度較差，但是可以通過(guò)其了解最優(yōu)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑的趨勢(shì)。若直接選取較多的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，會(huì)導(dǎo)致設(shè)計(jì)變量的數(shù)目就會(huì)較為龐大，從而使問(wèn)題本身維度過(guò)高，而造成計(jì)算無(wú)法收斂到最優(yōu)解。針對(duì)這一問(wèn)題，本文采用逐次增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目的方法求得最優(yōu)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑。

5 仿真算例

設(shè)空間站所在軌道為圓軌道，軌道高度為380km，軌道傾角為36.5°，空間站的質(zhì)量特性取值如下:

姿態(tài)機(jī)動(dòng)的初始終端狀態(tài)為力矩平衡姿態(tài)，表示為3-2-1順序下的歐拉角

那么初始初始狀態(tài)參數(shù)為:

控制力矩陀螺的最大角動(dòng)量與最大角動(dòng)量變化率分別為：

以沿歐拉軸的機(jī)動(dòng)路徑為初值，采用本文的求解策略，可以得到節(jié)點(diǎn)數(shù)取12時(shí)的路徑規(guī)劃結(jié)果，各參數(shù)的變化曲線如圖1-5所示，從=4000s開始實(shí)施姿態(tài)機(jī)動(dòng)，至=12000s機(jī)動(dòng)結(jié)束。

圖1 姿態(tài)角變化曲線

圖6為沿歐拉軸最短路徑實(shí)施大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的控制力矩陀螺角動(dòng)量幅值變化曲線，角動(dòng)量的峰值為2.10×104（Nms），遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了角動(dòng)量最大值，需要在機(jī)動(dòng)過(guò)程中進(jìn)行飽和卸載。

圖5為沿最優(yōu)路徑實(shí)施大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的控制力矩陀螺角動(dòng)量幅值變化曲線，角動(dòng)量峰值僅為6.29×103（Nms），僅為角動(dòng)量最大允許值的39.3%，可見(jiàn)，最優(yōu)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑有效地抑制了姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中的控制力矩陀螺角動(dòng)量飽和，實(shí)現(xiàn)了零燃料的大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)。

圖4 角動(dòng)量變化曲線

圖5 角動(dòng)量幅值變化曲線

圖6 角動(dòng)量幅值變化曲線（沿歐拉軸機(jī)動(dòng)）

6 結(jié)論

針對(duì)空間站大角度的姿態(tài)過(guò)程，姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑實(shí)施規(guī)劃，得到最優(yōu)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑，使控制力矩陀螺的角動(dòng)量遠(yuǎn)離飽和值，并達(dá)到最小，這樣就避免了進(jìn)行控制力矩陀螺角動(dòng)量卸載，整個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程不需要消耗燃料。 ◇

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