宋 攀，董興建，孟 光

(上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

模態(tài)綜合法是一種縮減自由度的動力學分析方法。它可以化整為零，先進行各個子結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析，然后通過模態(tài)綜合得到全結(jié)構(gòu)的模態(tài)信息［1]。由于僅采用了各個子結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)信息和必要的補償模態(tài)信息，因而使所建立整體結(jié)構(gòu)動力模型的自由度數(shù)大大降低。自上世紀 60 年代 Hurty［2]和 Gladwell［3]分別提出經(jīng)典的自由界面模態(tài)綜合法以來，該技術(shù)引起大量力學工作者的關(guān)注。

隨著現(xiàn)代工程技術(shù)的飛速發(fā)展，以大飛機和大型運載火箭為代表的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)越來越龐大且復(fù)雜，而工程中常需要快速準確地計算、分析和預(yù)測其動態(tài)特性。由于此類結(jié)構(gòu)邊界條件復(fù)雜，材料特性和裝配誤差存在較大的分散性，結(jié)構(gòu)全尺寸實驗分析代價太大，單純依靠有限元方法或者現(xiàn)代實驗?zāi)B(tài)分析技術(shù)都不能很好地解決上述結(jié)構(gòu)動態(tài)分析問題。因此目前更有工程意義的模態(tài)綜合法應(yīng)用方案應(yīng)是發(fā)展實驗?zāi)B(tài)綜合技術(shù)［4，5]，對于某些不能或者不便于進行有限元建模的子結(jié)構(gòu)用實驗?zāi)Ｐ腿〈治瞿Ｐ?，對于其它子結(jié)構(gòu)建立其有限元方法分析模型，最后通過模態(tài)綜合獲得整體結(jié)構(gòu)的動力學模型。然而現(xiàn)有的將模態(tài)綜合法應(yīng)用于實驗領(lǐng)域的研究，也都停留在理論數(shù)值分析階段［6]，或者單純的對模態(tài)試驗進行研究［7]，很少真正的將實驗測量模態(tài)數(shù)據(jù)與有限元數(shù)據(jù)進行綜合得到半試驗半有限元模型。將實驗?zāi)Ｐ鸵肽B(tài)綜合法中將導致以下三個與實驗技術(shù)有關(guān)的難題:① 難以通過實驗方法獲得剩余模態(tài);② 難以計算子結(jié)構(gòu)的剩余質(zhì)量陣和剩余剛度陣;③ 難以測量轉(zhuǎn)角模態(tài)，難以施加集中力矩載荷。雖然以MacNeal方法［8]為代表的經(jīng)典自由界面模態(tài)綜合法和高階的Rubin方法［9]對于理論模型的綜合非常有效，但是對于解決上述實驗?zāi)B(tài)綜合中的技術(shù)難題并無多大幫助。為解決上述技術(shù)難題，提出了定頻剩余動柔度的概念，基于定頻剩余動柔度定義了定頻剩余慣性釋放附著模態(tài)，其意義在于動柔度的測量與靜柔度相比要容易得多，從而很容易通過實驗方法得到定頻剩余慣性釋放附著模態(tài);基于剩余質(zhì)量的理論分析，證明其影響可以忽略，而剩余剛度可以由剩余動柔度表達，從而回避了基于實驗數(shù)據(jù)辨識質(zhì)量陣和剛度陣這一比較困難的動力學反問題，大大簡化了實驗和計算過程;基于諧波集中力系的等效原理，提出了一種全新的轉(zhuǎn)角動柔度間接測量方法，在一定程度上解決了實驗?zāi)B(tài)綜合中的界面對接信息不足問題。以上解決方案克服了將實驗?zāi)Ｐ鸵肽B(tài)綜合法時可能遇到的困難技術(shù)難題，針對混合建模中技術(shù)問題提出了一套完整的解決方案。整個實驗和計算過程簡單易行，且具有一定的計算精度。

1 基本理論

1.1 基于剩余動柔度的剩余慣附模態(tài)

任一無阻尼子結(jié)構(gòu)受諧波激勵的動力學方程可表示為:

將結(jié)構(gòu)的位移列向量x按照內(nèi)部自由度和界面自由度分為xi和xj，同樣將載荷f也分為非界面載荷分量fi和界面載荷分量fj，且對于結(jié)構(gòu)特征值問題，非界面載荷分量fi=0，以上向量之間滿足:

其中B為布爾矩陣，標志了界面自由度在總體自由度中的位置。Φ和Λ分別為自由界面子結(jié)構(gòu)的主模態(tài)矩陣和特征值矩陣，將它們劃分為可通過實驗?zāi)B(tài)分析得到的低階保留主模態(tài)部分(ΦlΛl)和未知的高階截斷模態(tài)部分(ΦhΛh)。設(shè)f為一簡諧激勵力，于是方程(1)的穩(wěn)態(tài)解可寫為:

其中 Gd(ω)，Gl(ω)和 Gh(ω)分別為動柔度，保留動柔度和剩余動柔度:

定義Gh在ω0處的值Gh(ω0)為準剩余動柔度:

式(7)的右端各項可通過實驗?zāi)B(tài)分析獲得，而且對于半正定結(jié)構(gòu)動柔度的測量無需作任何特別處理。所以采用實驗方法獲得高階剩余動柔度不僅在計算方面更方便，同時在擴大模態(tài)綜合技術(shù)的運用領(lǐng)域方面也有特殊的意義。

從Gh(ω0)中取與邊界自由度相對應(yīng)的列向量，得到基于剩余動柔度的剩余慣性釋放附著模態(tài)(以下簡稱剩余慣附模態(tài))Ψd:

1.2 模態(tài)綜合

假設(shè)完整結(jié)構(gòu)由子結(jié)構(gòu)A和子結(jié)構(gòu)B構(gòu)成，對子結(jié)構(gòu)A基于實驗?zāi)B(tài)分析可得到其低階保留主模態(tài)和剩余慣附模態(tài)，對于子結(jié)構(gòu)B則基于有限元方法建模。由低階保留主模態(tài)和基于剩余動柔度的剩余慣附模態(tài)組成子結(jié)構(gòu)A的Ritz基底，并用此基底對式(1)進行坐標變換。并注意到與低階保留主模態(tài)對應(yīng)的為低階模態(tài)坐標pl，與剩余慣性釋放附著模態(tài)對應(yīng)的廣義坐標為界面力向量fj。

其中MG和KG分別稱之為剩余質(zhì)量和剩余剛度:

采用有限元方法得到子結(jié)構(gòu)B的模型:

對于子結(jié)構(gòu)A，由上面提到的Ritz基底得到其界面位移的表達式:

由子結(jié)構(gòu)A和子結(jié)構(gòu)B的位移協(xié)調(diào)條件及力平衡條件:

得到坐標轉(zhuǎn)換公式:

聯(lián)立式(9)和式(12)，并考慮到式(15)，得到綜合以后的耦合方程:

其中，

由式(19)和式(20)可以看出，整體結(jié)構(gòu)與子結(jié)構(gòu)A有關(guān)的運算單元是BΨd和BΦl，它們分別是剩余慣附模態(tài)和保留模態(tài)中與界面自由度對應(yīng)的行。可見子結(jié)構(gòu)A的界面上的保留模態(tài)和動柔度的測量至關(guān)重要。若能采用實驗手段得到子結(jié)構(gòu)A的界面上的模態(tài)參數(shù)，那么式(16)就可以通過模態(tài)綜合法得到。

2 轉(zhuǎn)角模態(tài)的間接測量方法

然而，由于現(xiàn)有傳感器技術(shù)只能測得的平動自由度再加上傳感器放置位置的限制，實驗測量往往僅能得到子結(jié)構(gòu)A界面兩個方向平動自由度的模態(tài)參數(shù);而通過有限元分析則得到子結(jié)構(gòu)B包括轉(zhuǎn)角自由度在內(nèi)的全部六個自由度模態(tài)參數(shù)。所以在對實驗分析模型和有限元分析模型進行模態(tài)綜合時將會出現(xiàn)界面對接信息不足的問題，該問題自1972年首次提出至今仍然難以解決。

我們通過數(shù)值微分計算實驗中不易測得的轉(zhuǎn)角模態(tài)。當界面比較復(fù)雜時，以板結(jié)構(gòu)為例，假設(shè)振型連續(xù)且振型含有二階導數(shù)。如圖1所示，在平板變形前X方向上取點1，2，3等距，結(jié)構(gòu)振型中Y方向和Z方向的位移參數(shù)可直接通過實驗?zāi)B(tài)分析得到。對三個點進行數(shù)值微分即可得到邊界點3的轉(zhuǎn)角位移。θ36是指測點3的Z方向的轉(zhuǎn)角位移，θ35是測點3的Y方向的轉(zhuǎn)角位移。

頻率響應(yīng)函數(shù)可以看作單位激勵力下的位移響應(yīng)，基于式(21)和式(22)可以得出由平動位移頻響函數(shù)表示的轉(zhuǎn)角頻響函數(shù)，其中平動位移頻率響應(yīng)函數(shù)可以方便的由實驗測量得到。

圖1 邊界附近的測點分布圖Fig.1 Measurement points near the interface

該方法雖然僅僅是靜力學等效的自然延伸，但對于測量卻是非常有效的改進:可以不用施加諧波形式的集中力矩，也不用施加諧波形式的集中力系，只需要做幾次錘擊實驗或者掃頻實驗，就可以將集中力矩作用下的轉(zhuǎn)角動柔度用多個集中力作用下的平動動柔度線性表示。

3 剩余質(zhì)量陣和剩余剛度陣

在以上的推導過程中，假設(shè)子結(jié)構(gòu)A的一切參數(shù)都由實驗獲得。在式(9)中可以看出，子結(jié)構(gòu)A的待定參數(shù)有:低階模態(tài)參數(shù)(ΦlΛl)，剩余慣性釋放附著模態(tài)Ψd，剩余質(zhì)量陣和剩余剛度陣MG和KG。其中低階保留模態(tài)和基于剩余動柔度的剩余慣附模態(tài)可方便的由實驗獲得，然而現(xiàn)在的困難在于式(17)和式(18)中的剩余質(zhì)量陣和剩余剛度陣未知，且目前尚無可靠的方法通過實驗手段識別質(zhì)量和剛度陣，從而子結(jié)構(gòu)A的模型無法建立。我們從另外一個角度考慮這個問題:

將式(8)代入式(11)，并考慮到式(4):

由于ω0遠小于子結(jié)構(gòu)的截止頻率，那么:

于是:

將式(27)帶入式(19)的第二行，得到:

至此，由式(27)和式(28)就推導出了剩余質(zhì)量和剩余剛度矩陣KG和MG的近似表達式。如此一來，就不必刻意去求解結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，從而回避了動力學反問題。事實上，式(27)成立的前提假設(shè)是部分地忽略高階模態(tài)的動態(tài)效應(yīng)，而式(28)不過是上述假設(shè)在模態(tài)坐標下的表現(xiàn)形式。

4 數(shù)值分析與實驗驗證

4.1 數(shù)值分析

考慮一根如圖2所示底端固定的L形管，外徑19.05 mm，壁厚1.0 mm。將其劃分為子結(jié)構(gòu)A和子結(jié)構(gòu)B兩部分。L形管的材料參數(shù)為:直管楊氏模量E=134.4 GPa，密度ρ=8 905 kg/m3，泊松比 μ =0.33;彎頭部分楊氏模量E=102.9 GPa。

圖2 L型銅管實驗?zāi)Ｐ褪疽釬ig.2 The geometrical model of a L shape pipe

數(shù)值計算用有限元方法，每個結(jié)點具有6個自由度，假定有限元模型是精確的，因而可將完整L形管的有限元解作為標準解。

對于子結(jié)構(gòu)A，基于有限元分析得到其模態(tài)參數(shù)、精確的質(zhì)量陣和精確的剛度陣，計算其動柔度矩陣且基于準剩余動柔度計算其剩余慣附模態(tài)，然后按照式(9)得到其基于模態(tài)參數(shù)的子結(jié)構(gòu)模型。對于子結(jié)構(gòu)B則建立其自由界面有限元模型。現(xiàn)按三種方案作模態(tài)綜合:

方案(1):基于子結(jié)構(gòu)A精確的質(zhì)量陣和剛度陣，由式(10)和式(11)計算得子結(jié)構(gòu)A的剩余質(zhì)量和剩余剛度，與子結(jié)構(gòu)B綜合后得整體結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合結(jié)果;

方案(2):基于子結(jié)構(gòu)A精確的質(zhì)量陣和剛度陣，按照式(27)和式(28)對子結(jié)構(gòu)A的剩余質(zhì)量和剩余剛度作近似處理，與子結(jié)構(gòu)B綜合后得整體結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合結(jié)果;

從表2可以看出，方案1完全采用有限元結(jié)果未有任何近似，用剩余動柔度代替舍去的高階模態(tài)，所得綜合結(jié)果十分精確。方案2的力學本質(zhì)是忽略剩余質(zhì)量，并且在計算剩余剛度時部分地忽略高階模態(tài)的動態(tài)效應(yīng)，經(jīng)過這種近似處理后，計算精度雖有所下降，但誤差仍在允許的范圍以內(nèi)。

表1顯示基于式(21)和式(22)計算出子結(jié)構(gòu)A界面的轉(zhuǎn)角模態(tài)位移誤差小，結(jié)果具有相當?shù)木取?/p>

表1 子結(jié)構(gòu)A邊界點的轉(zhuǎn)角模態(tài)位移Tab.1 Rotational modal displacement of the interface point

表2 整體有限元結(jié)果和模態(tài)綜合結(jié)果/HzTab.2 Frequency results of the full structure/Hz

4.2 實驗分析

對于子結(jié)構(gòu)A基于LMSTest.Lab模態(tài)分析系統(tǒng)采用錘擊法進行單點激勵多點測量的模態(tài)實驗得到其振型，頻率等模態(tài)參數(shù)，在實驗過程中由于傳感器位置分布限制，僅能夠得到子結(jié)構(gòu)A邊界點Y和Z方向的平動位移，對于子結(jié)構(gòu)B則建立其自由界面有限元模型。現(xiàn)按第3種方案作模態(tài)綜合:

方案(3):基于實驗得到的準剩余動柔度計算子結(jié)構(gòu)A的剩余慣附模態(tài);按照式(27)和式(28)對子結(jié)構(gòu)A的剩余質(zhì)量和剩余剛度作近似處理;按照式(21)和式(22)求出子結(jié)構(gòu)A邊界點Y，Z方向轉(zhuǎn)角位移，與子結(jié)構(gòu)B的自然邊界有限元模型進行模態(tài)綜合，其中子結(jié)構(gòu)A未知的X方向平動和轉(zhuǎn)角位移在有限元軟件中用彈簧與子結(jié)構(gòu)B的邊界點對接。

在以上三種方案中，子結(jié)構(gòu)A的保留4階模態(tài)，ω0=350 rad/s，介于第2階固有頻率和第3階固有頻率之間。

表2中的數(shù)據(jù)可以看出，方案(3)得到的前四階頻率及振型與精確值基本吻合，而在第5階頻率以外不能給出滿意的結(jié)果?？梢娮咏Y(jié)構(gòu)A被截去的模態(tài)以及對邊界面缺失信息的處理對結(jié)構(gòu)高頻模態(tài)影響很大?？傮w看來所得到的數(shù)據(jù)在低階與精確值基本一致，且該方法的實驗實施確實是可行且方便。

5 結(jié)論

針對將實驗?zāi)Ｐ团c有限元模型進行綜合時可能遇到的困難，結(jié)合有限元建模和實驗建模的優(yōu)勢，首次提出了一種自成體系的將實驗?zāi)Ｐ团c有限元模型進行綜合的模態(tài)綜合法。該方法導出了基于剩余動柔度的剩余慣附模態(tài)，回避了基于剩余靜柔度的剩余慣性釋放模態(tài)難以測量的困難;推導了剩余質(zhì)量和剩余剛度的近似表達式，回避了基于實驗數(shù)據(jù)辨識質(zhì)量陣和剛度陣這一動力學反問題;并通過數(shù)值微分間接計算轉(zhuǎn)角模態(tài)，在一定程度上解決了界面自由度不匹配情況下的子結(jié)構(gòu)對接問題。雖然目前的研究尚屬初步，但是以上解決方案具有很強的可操作性，為解決混合建模中的技術(shù)難題提供了一個有價值的嘗試。通過分析，結(jié)論如下:

(1)與傳統(tǒng)的剩余慣性釋放附著模態(tài)相比，基于準剩余動柔度的剩余慣性釋放附著模態(tài)更容易通過實驗獲得;

(2)當ω0遠小于子結(jié)構(gòu)的截止頻率時，質(zhì)量矩陣可以被忽略，剩余剛度也可以被簡化，這樣大大降低了實驗建模的難度，且不會引起較大的誤差;

(3)所提出的轉(zhuǎn)角模態(tài)的間接測量方法，可以繞開彎矩的施加和轉(zhuǎn)角的測量，試驗簡單，解決了界面對接信息不足的問題，使邊界面對接信息不足情況下的模態(tài)綜合成為可能。

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