王 磊， 郭嗣琮

（1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧 葫蘆島 125105；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 阜新 123000）

在科學(xué)和工程中很多問題都是用模糊微分方程模型來刻畫的，大部分模糊微分方程的解都要滿足模糊初值條件，而模糊微分方程的研究主要是利用模糊值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。文獻(xiàn)［1］提出了模糊導(dǎo)數(shù)的概念；文獻(xiàn)［2］作了進(jìn)一步的研究；文獻(xiàn)［3］利用Hukuhara導(dǎo)數(shù)研究了初值問題，在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)［4］研究了解的存在唯一性。然而利用Hukuhara導(dǎo)數(shù)會使得解的模糊度越來越大，為了克服這一缺點(diǎn)，文獻(xiàn)［5－6］提出了微分閉包的方法，將模糊微分方程轉(zhuǎn)化成一簇微分閉包進(jìn)行研究；文獻(xiàn)［7－8］利用Zadeh擴(kuò)展原理在一定條件下將普通常微分方程的解擴(kuò)展為模糊微分方程的解，而這2種方法的缺點(diǎn)是沒有利用模糊值函數(shù)導(dǎo)數(shù)。為了克服以上缺點(diǎn)，在Hukuhara導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［9－10］提出了推廣Hukuhara導(dǎo)數(shù)的概念，在推廣Hukuhara導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上文獻(xiàn)［11］研究了二階方程解的存在性；文獻(xiàn)［12］研究了n階線性方程的解；文獻(xiàn)［13］利用等距同構(gòu)映射提出了π導(dǎo)數(shù)的概念并研究了一階方程的解，證明了該導(dǎo)數(shù)同推廣Hukuhara導(dǎo)數(shù)是一致的；文獻(xiàn)［14］借助于模糊數(shù)空間的嵌入定理，將模糊微分方程的模糊初值問題轉(zhuǎn)化為某一Banach空間的閉凸錐中的抽象微分方程的初值問題進(jìn)行研究，文獻(xiàn)［15－16］討論了以上不同求解方法之間的關(guān)系。上述求解方法中用到模糊數(shù)和模糊值函數(shù)都涉及λ－截集，這給運(yùn)算帶來了不便，文獻(xiàn)［17］提出了模糊結(jié)構(gòu)元的方法，該方法有效克服了這個困難。文獻(xiàn)［18］利用結(jié)構(gòu)元方法研究了一類模糊微分方程，在此基礎(chǔ)上本文利用該方法研究了一階線性模糊微分方程的模糊初值問題，證明了解的存在唯一性，并給出了方程解的模糊結(jié)構(gòu)元的解析表示，說明模糊結(jié)構(gòu)元方法是克服模糊微分方程解的解析表達(dá)困難的一個有效工具。

1 基本概念

作為本文的預(yù)備知識，下面簡單介紹模糊結(jié)構(gòu)元方法及相關(guān)結(jié)論［17］。

定義1 設(shè)E為實(shí)數(shù)域R上的模糊集，隸屬函數(shù)記為E（t），t∈R。稱E為R 上的模糊結(jié)構(gòu)元，如果E（t）滿足性質(zhì)：① E（0）＝1；② 在區(qū)間［－1，0）上E（t）是單增右連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間（0，1］上是單降左連續(xù)函數(shù)；③ 當(dāng)－∞＜t＜－1或者1＜t＜＋∞時，E（t）＝0。稱E為正則模糊結(jié)構(gòu)元，若模糊結(jié)構(gòu)元E 滿足：對于?t∈（－1，1），E（t）＞0；在區(qū)間［－1，0）上E（t）是連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增的，在區(qū)間（0，1］上是連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)降的。

定理1 設(shè)E是R上的任意模糊結(jié)構(gòu)元，又設(shè)函數(shù)f（t）在區(qū)間［－1，1］上是單調(diào)有界的，（t）是f（t）的延拓集值函數(shù)，則（E）是R 上有界閉模糊數(shù)，且（E）的隸屬函數(shù)為E（f－1（t）），這里f－1（t）是f（t）關(guān)于變量t和y 的輪換對稱函數(shù)（若f（t）是連續(xù)嚴(yán)格單調(diào)的，則f－1（t）是f（t）的反函數(shù)）。

定義2 設(shè)g（t，y）＝f（t）＋ω（t）y，其中f（t）和ω（t）在T 上有界，且ω（t）非負(fù)，稱g（t，y）為變量y的線性函數(shù)。易知g（t，y）是關(guān)于y在［－1，1］上的單調(diào)有界函數(shù)，由定理2，則（2）式稱為T上的一個由模糊結(jié)構(gòu)元E線性生成的模糊值函數(shù)，即

其中，f（t）為平移函數(shù)；ω（t）為伸縮函數(shù)。特殊地，當(dāng)f（t）和ω（t）≥0都為常數(shù)時，則稱其為由模糊結(jié)構(gòu)元E線性生成的模糊數(shù)。

由模糊結(jié)構(gòu)元E線性生成的模糊數(shù)全體用RE表示。文獻(xiàn)［19］證明了對于任何有界模糊數(shù)或模糊值函數(shù)，均存在一個模糊結(jié)構(gòu)元，使其能夠由這個結(jié)構(gòu)元線性生成。

2 解的存在性和唯一性

一階線性模糊微分方程為：

因?yàn)椋?）式為線性方程，所以函數(shù)F（t，（f（t）＋ω（t）E））可以被分解成如下形式：

由（5）式可知，（4）式被表示為2個一階線性常微分方程，則（4）式與（5）式是同解的，下面的定理說明了這一點(diǎn)。

定理4 對于（4）式，其中F：［t0，t0＋a］×RE→RE，若下面（1）、（2）條件滿足，則（4）式與（5）式是同解的。

（1）F－ （t，f（t），ω（t）），F(xiàn)＋（t，f（t），ω（t））關(guān)于t為等度連續(xù)函數(shù)，即當(dāng)：‖（t，f（t），ω（t））－（t1，f1（t），ω1（t））‖ ≤δ 時，有｜F±（t，f1（t），ω1（t））－F±（t，f2（t），ω2（t））｜≤ε。

（2）存在L＞0，滿足：

證明 首先說明（4）式與（5）式解的存在唯一性。

由常微分方程理論知條件（2）保證了（5）式解的存在唯一性。條件（1）的連續(xù)性保證了函數(shù)F（t，x（t））的連續(xù)性，又由條件（2）得：

此式即為模糊微分方程的Lipschitz條件，保證了（4）式解的存在唯一性。

下面說明（4）式與（5）式為同解方程。假設(shè)?x（t）＝f（t）＋ω（t）E為（4）式的解，將其帶入（4）式即得（5）式，所以f（t）和ω（t）為（5）式的解；反之，若f（t）和ω（t）為（5）式的解，令?x（t）＝f（t）＋ω（t）E，因?yàn)椋?/p>

3 結(jié)構(gòu)元解法與其他方法比較

首先討論利用結(jié)構(gòu)元方法與利用Zadeh擴(kuò)展原理及方法之間的關(guān)系，令U 是R的子集，假設(shè)x（t，x0）是常微分方程（6）式的一個解，即

其中，x0∈U。x（t，x0）在U 上為連續(xù)函數(shù)，于是定義映射：

令Lt（x0）＝x（t，x0）是（6）式的唯一解且關(guān)于點(diǎn)x0是連續(xù)函數(shù)，于是對Lt作擴(kuò)展得：

定理5 利用結(jié)構(gòu)元方法與利用Zadeh擴(kuò)展原理求解（4）式所得結(jié)果一致。

證明 由Zadeh的擴(kuò)展原理解得（4）式的解為：

利用結(jié)構(gòu)元方法解得（4）式的解為：

由（5）式知，f（t）和ω（t）為同一常微分方程分別在初值m和n條件下的解，而由Zadeh的擴(kuò)展原理知該常微分方程在初值x0的條件下的解為x（t，x0），所以將f（t）和ω（t）分別記為f（t）＝x（t，m）和ω（t）＝x（t，n），于是：

本文借助定理5給出結(jié)構(gòu)元方法同其他方法之間的關(guān)系。

定理6 利用結(jié)構(gòu)元方法與利用微分閉包求解（4）式所得結(jié)果一致。

證明 文獻(xiàn)［7］證明了利用Zadeh擴(kuò)展原理與利用微分閉包求解（4）式所得結(jié)果一致，由定理5，知結(jié)論成立。

證明 文獻(xiàn)［13］證明了利用Zadeh擴(kuò)展原理與推廣Hukuhara導(dǎo)數(shù)求得（4）式所得結(jié)果一致，由定理5，知結(jié)論成立。

定理8 利用結(jié)構(gòu)元方法與利用π導(dǎo)數(shù)求解（4）式所得結(jié)果一致。

證明 文獻(xiàn)［11］證明了利用π導(dǎo)數(shù)與推廣Hukuhara導(dǎo)數(shù)求得（4）式所得結(jié)果一致，由定理7，知結(jié)論成立。

4 算 例

考查下面的模糊馬爾薩斯人口問題：

解（8）式得f（t）＝0，ω（t）＝be－at，所以?x（t）＝be－atE，可以看出解可以解析地表示，取λ－截集得［?x（t）］λ＝（1－λ）e－at［－b，b］，這個結(jié)果與文獻(xiàn)［7］中利用擴(kuò)展原理、文獻(xiàn)［15］利用微分閉包、文獻(xiàn)［10］利用推廣Hukuhara導(dǎo)數(shù)、文獻(xiàn)［13］利用π導(dǎo)數(shù)所得結(jié)果一致。在（7）式中，令a＝b＝2，將時間t＝［0，1.5］進(jìn)行6等分，利用結(jié)構(gòu)元方法解析給出了t在7個點(diǎn)處解的隸屬函數(shù)，如圖1所示。

圖1 解的隸屬函數(shù)

5 結(jié)束語

本文利用結(jié)構(gòu)元方法研究了一階線性模糊微分方程的模糊初值問題，其優(yōu)點(diǎn)是：模糊值函數(shù)不需要重新定義導(dǎo)數(shù)，直接轉(zhuǎn)化為2個普通函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而且方程的解可以解析地表示。文中要求ω（t）及ω′（t）非負(fù)，即伸縮函數(shù)為非負(fù)單調(diào)遞增函數(shù)這一條件并不苛刻，如同文獻(xiàn)［7，10］利用Hukuhara導(dǎo)數(shù)及推廣Hukuhara導(dǎo)數(shù)求解時要求［uλ（t），vλ（t）］和 ［u′λ（t），v′λ（t）］為有效的λ－截集一樣。利用結(jié)構(gòu)元方法研究非線性模糊微分方程及高階模糊微分方程是值得研究的課題。

［1］Chang L S，Zadeh L A.On fuzzy mapping and control［J］.IEEE Trans Systems Man Cybernet，1972，2：30－34.

［2］Dubois D，Prade H.Towards fuzzy differential calculus：part 3，differentiation［J］.Fuzzy Sets and Systems，1982，8：225－233.

［3］Kaleva O.Fuzzy differential equations［J］.Fuzzy Sets and Systems，1987，24：301－317.

［4］Song S，Wu C.Existence and uniqueness of solutions to the Cauchy problem of fuzzy differential equations［J］.Fuzzy Sets and Systems，2000，110：55－67.

［5］Hüllermeier E.An approach to modelling and simulation of uncertain systems［J］.International Journal of Uncertainty Fuzziness Knowledge－Based System，1997，5：117－137.

［6］Guo M，Xue X P，Li R.Impulsive functional differential inclusions and fuzzy population models［J］.Fuzzy Sets and Systems，2003，138：601－615.

［7］Misukoshi M，Chalco－Cano Y，Román－Flores H，et al.Fuzzy differential equations and the extension principle［J］.Information Sciences，2007，177：3627－3635.

［8］Allahviranloo T，Shafiee M，Nejatbakhsh Y .A note on fuzzy differential equations and the extension principle［J］.Information Sciences，2009，179：2049－2051.

［9］Bede B，Gal S G.Generalizations of the differentiability of fuzzy number value functions with applications to fuzzy differential equations［J］.Fuzzy Sets and Systems，2005，151：581－599.

［10］Bede B，Rudas I L，Bencsik A L.First order linear fuzzy differential equations under generalized differentiability［J］.Information Sciences，2007，177：1648－1662.

［11］Allahviranloo T，Kiani N A，Barkhordari M.Toward the existence and uniqueness of solutions of second－order fuzzy differential equations ［J］.Information Sciences，2009，179：1207－1215.

［12］Khastan A，Bahrami F，Ivaz K.New results on multiple solutions for nth－order fuzzy differential equations under generalized differentiability［J］.Boundary Value Problems，2009，doi：10.1155／2009／395714.

［13］Plotnikova N V.Systems of linear differential equations withπderivative and linear differential inclusions［J］.Sbornik：Mathematics，2000，196：1677－1691.

［14］Wu C X，Song S J，Lee E S.Approximate solutions，existence，and uniquencess of Cauchy problem to fuzzy differential equations［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1996，200：629－645.

［15］Chalco－Cano Y，Román－Flores H.Comparation between some approaches to solve fuzzy differential equations［J］.Fuzzy Sets and Systems，2009，160：1517－1527.

［16］Wang L，Li N.Comparation between some approaches to solve first order linear fuzzy differential equation［J］.Advances in Intelligent and Soft Computing，2010，78：95－102.

［17］郭嗣琮，蘇志雄，王 磊.模糊分析計(jì)算中的結(jié)構(gòu)元方法［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2004，18（4）：68－75.

［18］郭嗣琮，王 磊.一類線性模糊常微分方程的模糊結(jié)構(gòu)元解法［J］.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報，2009，28（4）：668－671.

［19］郭嗣琮.模糊數(shù)與模糊值函數(shù)的結(jié)構(gòu)元線性生成［J］.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報，2006，25（3）：475－477.