高海峰， 黃有度

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

球面調(diào)和函數(shù)（Spherical Harmonics，簡(jiǎn)稱SH）也稱球面諧波函數(shù)，簡(jiǎn)稱球諧函數(shù)，是一種特殊函數(shù)，通常出現(xiàn)在物理問(wèn)題（如量子力學(xué)領(lǐng)域）［1］與化學(xué)問(wèn)題（如蛋白質(zhì)組織結(jié)構(gòu)領(lǐng)域）［2－3］中。很多函數(shù)可以近似分解為多個(gè)不同相位、不同頻率的正弦波，這是傅里葉變換所解決的問(wèn)題。類似地，將多個(gè)球面調(diào)和基函數(shù)疊加合成，也可以模擬很多復(fù)雜函數(shù)，高階的球諧函數(shù)可以還原非常復(fù)雜的函數(shù)，而低階的球諧函數(shù)比較適合還原低頻函數(shù)。球面調(diào)和基函數(shù)的一些特性，諸如旋轉(zhuǎn)不變性及正交規(guī)范性［4］，都是一些比較好的性質(zhì)，這也是使用球面調(diào)和基函數(shù)的重要目的之一。目前球面調(diào)和函數(shù)已廣泛應(yīng)用于圖形光照技術(shù)、人臉識(shí)別以及網(wǎng)格壓縮等相關(guān)領(lǐng)域。

1 球面調(diào)和函數(shù)及其空間結(jié)構(gòu)

球面調(diào)和函數(shù)是調(diào)和函數(shù)的一種，其構(gòu)成Laplace方程的解。球坐標(biāo)系下的Laplace方程形式為：

且θ、φ滿足方程：

則由方程（2）可解出：

這樣，球面調(diào)和函數(shù)系組成了球面上的一組完備的單位正交基。

球坐標(biāo)系下幾個(gè)低階球面調(diào)和基的表達(dá)式見(jiàn)表1所列。

應(yīng)用球坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式：

為擺脫SH函數(shù)上述復(fù)雜的表達(dá)式形式，使人更容易理解SH函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，可將（θ，φ）的幾個(gè)低階SH基的空間結(jié)構(gòu)直觀形象地展現(xiàn)出來(lái)。

圖1描述了一組SH基函數(shù)在球坐標(biāo)系下的的實(shí)際圖像，且由（4）式可驗(yàn)證（θ，φ）的圖像可由（θ，φ）的圖像按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°／m 得到。

表1 低階SH的球坐標(biāo)表達(dá)式

表2 低階SH的笛卡爾坐標(biāo)表達(dá)式（通常情況下r＝1）

圖2所示將SH函數(shù)限制在單位球的范圍內(nèi)， 以顏色值代替距離值的SH函數(shù)圖像（球面上的點(diǎn)為紅色，其余點(diǎn)均以色帶上連續(xù)的顏色值表示）。

圖1 球坐標(biāo)系下的SH基圖像（m為正數(shù)）

圖2 用顏色空間表達(dá)的SH基函數(shù)圖像（m為正數(shù)）

且根據(jù)球面調(diào)和函數(shù)的正交性，可以按如下方式計(jì)算f（θ，φ）的SH 系數(shù)fl，m：

2 在圖形光照系統(tǒng)中的應(yīng)用

如前所述，隨著對(duì)球面調(diào)和函數(shù)認(rèn)識(shí)的不斷加深，目前球面調(diào)和函數(shù)已普遍應(yīng)用于模式識(shí)別、網(wǎng)格壓縮及系統(tǒng)仿真等諸多領(lǐng)域，特別是在圖形圖像處理方面，有著典型的應(yīng)用［5－8］。

下文將利用球面調(diào)和基函數(shù)對(duì)特定場(chǎng)景中模型的光照環(huán)境進(jìn)行編碼，通過(guò)運(yùn)用相關(guān)技術(shù)的合集，將模型的渲染過(guò)程分割成離線預(yù)處理與在線實(shí)時(shí)計(jì)算2個(gè)過(guò)程。在離線預(yù)處理部分，把光照或遮擋反射等因素的影響投影到一組球面調(diào)和基上，并在在線處理部分，通過(guò)將積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)基系數(shù)的操作而得出每個(gè)結(jié)點(diǎn)的出射光強(qiáng)，可以很好地實(shí)時(shí)重現(xiàn)面積光源下模型的渲染效果。

2.1 光照模型與渲染方程

眾所周知，實(shí)際使用中最簡(jiǎn)單的光照模型即是漫反射模型，通常也被稱為點(diǎn)積光照模型。但漫反射模型不過(guò)是真實(shí)物理光照的簡(jiǎn)化，只有完全的模擬物理環(huán)境才能得到趨于真實(shí)的場(chǎng)景效果。先看如下公式，實(shí)際上是在半球上對(duì)光線方向位置的亮度函數(shù)進(jìn)行積分：

（9）式即稱作渲染方程，由James Kajiya于1986年提出［9］。由此可以看出影響真實(shí)場(chǎng)景中視覺(jué)系統(tǒng)復(fù)雜度的因素有以下幾種：局部的幾何因素由位置x隱含地確定；物質(zhì)的材料屬性由fr表示；入射光由L表示；遮擋效果可以由函數(shù)V確定；G表示相對(duì)位置關(guān)系。

2.2 蒙特卡洛積分法

現(xiàn)在來(lái)理解（9）式所示的物理方程，其實(shí)就是出射亮度等于入射亮度立體角微分在半球上的積分，但是解這個(gè)積分是比較難的。在實(shí)際中可以使用一個(gè)近似的積分解法，雖然不能得出精確結(jié)果，但卻能在效率和效果之間得到一個(gè)良好的平衡，它就是蒙特卡洛（Monte Carlo）積分法［10］，這個(gè)方法是以概率論為基礎(chǔ)的，它可以得到求解隨機(jī)函數(shù)的一個(gè)數(shù)值方法：

由（10）式可以看出，利用 Monte Carlo積分法求解積分，需要函數(shù)的大量隨機(jī)樣本，且每個(gè)樣本都應(yīng)具有相應(yīng)的概率。（10）式可以寫(xiě)成包含權(quán)函數(shù)的項(xiàng)：

2.3 利用積分法投影球諧基

對(duì)于給定的可積函數(shù)空間，在一定的收斂條件下，可以將任意函數(shù)f（x）表示成f＝∑ciBi的形式，其中，｛Bi｝為正交規(guī)范基函數(shù)系。現(xiàn)將正交規(guī)范基函數(shù)系｛Bi｝代以球面調(diào)和基函數(shù)系｛yml｝，且將球面調(diào)和基及系數(shù)寫(xiě)成單個(gè)索引k的形式，可將函數(shù)f（x）參數(shù)化為方向變量的函數(shù)，這個(gè)過(guò)程稱為投影：

應(yīng)用Monte Carlo積分法，由投影操作得出的系數(shù)可以利用（11）式中的n個(gè)樣本近似，n越大，逼近效果越好，且每個(gè)樣本f（εj）對(duì)應(yīng)著一個(gè)方向εj，球諧基函數(shù)可由方向集εj（1≤j≤n）進(jìn)行采樣：

2.4 利用球諧函數(shù)重建信號(hào)

一個(gè)原始信號(hào)，可以經(jīng)過(guò)投影過(guò)程，分解為一系列帶縮放基函數(shù)之和，要利用這些基函數(shù)來(lái)重建原始信號(hào)，則是將經(jīng)相應(yīng)系數(shù)縮放后的所有基函數(shù)求和即可。

當(dāng)然有很多種基函數(shù)可以用來(lái)重建信號(hào)，比如正弦信號(hào)（傅立葉級(jí)數(shù)）等。但現(xiàn)在感興趣的是之前討論的球面調(diào)和基函數(shù)，將事先計(jì)算的卷積值（12）式與對(duì)應(yīng)球諧函數(shù)相乘并求和，所得出的結(jié)果即為近似的原始信號(hào)：

由（14）式可知，一個(gè)n階球諧近似，需要n2個(gè)系數(shù)。理論上需要無(wú)窮項(xiàng)的球諧基函數(shù)，才能完美重建原始信號(hào)，這里只取有限的低頻諧函數(shù)，而將高頻函數(shù)忽略掉，雖然重建的信號(hào)會(huì)丟失掉一些高頻信號(hào)（即亮度信號(hào)的細(xì)節(jié)變化），但卻可以耗用較少的資源來(lái)模擬原始的信號(hào)。

2.5 預(yù)計(jì)算光輻射傳遞技術(shù)

預(yù)計(jì)算光輻射傳遞（Precomputed Radiance Transfer，簡(jiǎn)稱PRT）技術(shù)［11］是基于以下2點(diǎn)重要假設(shè)而提出的：所有場(chǎng)景中的物體均為不發(fā)光物體且光源假設(shè)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。因而方程（9）中的直接光照項(xiàng)L0可以寫(xiě)成：

可將方程（15）中的函數(shù)fr、V 及G整合成一個(gè)新的函數(shù)T，稱為傳遞方程：

設(shè)方程（16）中的亮度函數(shù)及傳遞函數(shù)均被投影到同一族正交規(guī)范基函數(shù)系｛Bk｝，這樣，原始信號(hào)可以近似地表示為：

且有：

將近似的亮度函數(shù)（17）代入方程（18）可得：

注意到上述積分為線性操作，即積分的和等于和的積分，（19）式亦可寫(xiě)成：

對(duì)于上述和式的第k項(xiàng)，相關(guān)的照明系數(shù)將被乘以整個(gè)區(qū)域上的積分，此積分代表了投影的過(guò)程。于是，和式的每一項(xiàng)將產(chǎn)生一個(gè)新的系數(shù)，這個(gè)系數(shù)是將傳遞函數(shù)投影到特定的基函數(shù)（如球面調(diào)和基、Harr小波基等）上的結(jié)果，（20）式即為一般意義下的PRT方程。

3 應(yīng)用實(shí)例

結(jié)合有關(guān)球面調(diào)和函數(shù)的理論及上述所討論的相關(guān)技術(shù)的處理過(guò)程，可以得出特定場(chǎng)景中的模型最終渲染效果。模型的顯示效果由Visual Studio 2005開(kāi)發(fā)環(huán)境實(shí)現(xiàn)，工程框架由Gamedev的Paul Baker提供，運(yùn)行環(huán)境為Intel Pentium1.73GHz、內(nèi)存為 1.0Gbytes RAM、顯卡為Intel 915GM／GMS，開(kāi)發(fā)語(yǔ)言為標(biāo)準(zhǔn)C＋＋，圖形接口為OpenGL標(biāo)準(zhǔn)接口。本實(shí)例將對(duì)生成的球諧光照模型與普通光照模型作對(duì)比（可以應(yīng)用快捷鍵結(jié)合鼠標(biāo)移動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)場(chǎng)景光照條件及光源位置），相關(guān)的處理效果如圖3～圖5所示。

圖3 模型在普通光照條件下的渲染效果

圖4 模型在SH光照條件下的渲染效果（無(wú)陰影）

圖5 模型在SH光照條件下的渲染效果（有陰影）

4 結(jié)束語(yǔ)

本文分別從幾種角度刻畫(huà)了低階實(shí)數(shù)域球面調(diào)和函數(shù)的空間結(jié)構(gòu)與主要特征，并將其相關(guān)性質(zhì)應(yīng)用于圖形光照系統(tǒng)的光傳輸過(guò)程中。

利用球面調(diào)和基函數(shù)來(lái)對(duì)每個(gè)點(diǎn)的光照條件進(jìn)行編碼，隨后利用這些編碼恢復(fù)編碼前的光照環(huán)境，再利用特殊的積分方法計(jì)算點(diǎn)光強(qiáng)，便可實(shí)時(shí)重現(xiàn)面積光源下模型的渲染效果。

通過(guò)優(yōu)化相關(guān)算法的性能，就可以在問(wèn)題處理的效率和性能上得出一個(gè)良好的平衡。

此外，基于球面調(diào)和理論的相關(guān)算法及技術(shù)中，球面調(diào)和函數(shù)對(duì)原函數(shù)的壓縮和還原始終是作為核心思想進(jìn)行使用的，這就導(dǎo)致相關(guān)后續(xù)技術(shù)也因此受到球面調(diào)和理論所帶來(lái)的限制，它也許可以在某些情況下工作得很好，卻不一定能完全適用于普遍的情況。

所以，在實(shí)際應(yīng)用中，如何既能充分運(yùn)用基于球面調(diào)和理論的相關(guān)方法，又能夠采取一定手段規(guī)避球面調(diào)和函數(shù)本身的特性所帶來(lái)的局限，這是需要逐步解決的重要問(wèn)題，同時(shí)也為下一階段的工作提出了新的研究方向。

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