◆丁 杰

(揚(yáng)州大學(xué)信息工程學(xué)院)

淺談小波分析教學(xué)

◆丁 杰

(揚(yáng)州大學(xué)信息工程學(xué)院)

本文介紹了如何利用學(xué)科發(fā)展的線索串聯(lián)起教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生通過實踐掌握抽象理論的實質(zhì)，并結(jié)合了教學(xué)實際講授學(xué)科的最新發(fā)展，拓展了學(xué)生的眼界和知識面。

小波分析 教學(xué)內(nèi)容 學(xué)科發(fā)展

一、引言

小波作為信號處理的強(qiáng)有力的工具已經(jīng)在圖像處理、語音處理、時頻分析、故障診斷、金融分析、模式識別等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。JPEG2000就采用了小波變換作為圖像壓縮的標(biāo)準(zhǔn)。在很多高校，小波分析已是數(shù)學(xué)學(xué)科和信息學(xué)科的研究生的必修課和高年級本科生的選修課程。筆者在揚(yáng)州大學(xué)信息工程學(xué)院也多次講授了這門課程。選課對象是以信息與信號處理專業(yè)為主的碩士研究生和部分高年級本科生。鑒于選課學(xué)生并沒有學(xué)過課程所涉及到的調(diào)和分析和泛函分析等較深的數(shù)學(xué)知識，甚至對Fourier分析也缺乏較深入的了解，筆者不得不從Fourier分析的內(nèi)容開始講授。因此筆者所講授的這門課程涵蓋了從Fourier分析到小波分析的基本內(nèi)容。

二、以時頻局部化分析為中心任務(wù)，利用學(xué)科發(fā)展線索串聯(lián)教學(xué)內(nèi)容

考慮到學(xué)生起點較低的實際狀況，我們緊緊圍繞時頻局部化這一中心任務(wù)，依次介紹Fourier變換、加窗Fourier變換、加伸縮窗的Fourier變換、小波變換的基礎(chǔ)知識。按照這條線索串聯(lián)教學(xué)內(nèi)容不僅順應(yīng)了學(xué)科的自我發(fā)展規(guī)律，而且由淺入深、從低到高的知識階梯讓學(xué)生容易掌握。在這條線索中，把加伸縮窗的Fourier變換中的頻率部分eiξ去掉，就自然引出了小波變換。也即僅依靠伸縮率和時間變量也能夠分解和重構(gòu)一個信號，這就是小波變換。因為取消了具有頻率或者周期性的指數(shù)函數(shù)eiξ，小波變換要求“窗函數(shù)”(在小波變換中稱為小波函數(shù))具有某種震蕩性。跟周期性相比，震蕩性顯然要來得更寬松。如果采用一般教科書上直接給出小波變換的定義的方法，而缺乏學(xué)科發(fā)展背景的鋪墊的話，學(xué)生不容易掌握其實質(zhì)且無法從總整體上把握小波變換在學(xué)科發(fā)展中的作用和地位。

信號處理學(xué)科中最重要的主題是時頻局部化的研究。時頻局部化的研究也推動著這門學(xué)科的發(fā)展。Fourier分析只能分別處理時域或者頻域而不能二者兼顧;加窗Fourier變換能夠同時對時域和頻域進(jìn)行分析，但因窗函數(shù)的類型是固定的，分析的精度或分辨率因而不能隨意調(diào)整;對于伸縮窗而言，則可以通過調(diào)整伸縮率來調(diào)整時域或者頻域的分析精度。剛才已經(jīng)提到，小波變換只用伸縮率和時間變量就可以同時做時域和頻域的分析，而且時域與頻域的分辨率或者精度可以通過伸縮率的變化而得到調(diào)整。這就是小波變換的精妙之處。學(xué)生如果了知這一點，就可以掌握小波變換以及Fourier變換的精髓了。當(dāng)然，在小波變換中伸縮率通常叫做尺度，頻域也被尺度域取代。但是頻率和尺度之間的對應(yīng)關(guān)系是很明確的，因而我們可以做這樣的對比。

這些變換都有類似的的基本性質(zhì)，比如各種變換的反演公式、Parseval恒等式和不確定原理等。盡管這些性質(zhì)在不同的變換下有著不同的表現(xiàn)形式，但是表達(dá)的內(nèi)容卻是固定的。比如，Parseval恒等式告訴我們信號的能量是守恒的，即從頻域的角度和從時域的角度去計算能量都是相等的;不確定性原理則告訴我們時域和頻域的分析精度不可能同時得到無限提高。這樣的教學(xué)有利于學(xué)生透過外在的不同形式去掌握這些原理和性質(zhì)的本質(zhì)內(nèi)容，整個教學(xué)過程也因此可以串聯(lián)成一個整體。

三、結(jié)合實例和應(yīng)用，介紹多分辨分析等小波分析的核心內(nèi)容

多分辨分析是小波分析的精髓，也是學(xué)生難以掌握的內(nèi)容。在多分辨分析理論提出之前，有著五花八門的小波基的構(gòu)造方法。最終由Mayer和Mallat提出了多分辨分析，統(tǒng)一了各個流派的構(gòu)造方法。因為具有一定正則性的小波基，一定可以通過多分辨分析理論構(gòu)造出來。我們有意避開小波基構(gòu)造的各種這些支流理論而直接講授多分辨分析。

我們結(jié)合應(yīng)用來講授比較抽象的多分辨分析理論。讓學(xué)生從直觀實例入手，在實踐中理解和把握多分辨分析的核心內(nèi)容，同時也鍛煉了學(xué)生解決實際問題的能力。比如，我們可以用Harr小波對一維信號進(jìn)行逼近和壓縮。逼近的程度或壓縮比的大小可以通過調(diào)節(jié)Haar函數(shù)的尺度來實現(xiàn)。這些不同尺度的Harr函數(shù)很自然地引出由Harr小波生成的多分辨分析。同時，由Harr分解和重構(gòu)算法也很自然地過渡到一般的多分辨分析的分解和重構(gòu)算法。我們這部分的教學(xué)思路受到了教材的啟發(fā)。

多分辨分析理論在二維圖像處理中有著重要的應(yīng)用。我們利用Matlab的小波工具箱的使用手冊以及演示模塊，教導(dǎo)學(xué)生開展圖像壓縮的實驗，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動手能力，也使得對多分辨分析等小波理論有了進(jìn)一步的體驗和理解。

四、拓展學(xué)生知識面，介紹學(xué)科最新進(jìn)展

在教學(xué)中，我們不僅注重經(jīng)典內(nèi)容的講授，還對所涉及到的本學(xué)科的最新進(jìn)展做一定程度的介紹。比如，我們從講解小波系數(shù)為什么具有稀疏性入手，繼而延伸介紹了最近發(fā)展起來的稀疏重構(gòu)技術(shù)。該技術(shù)通過對稀疏信號進(jìn)行觀測而非采樣，只需少量觀測點就能精確的重構(gòu)原始信號。其觀測頻率可以遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率。這種技術(shù)也稱之為壓縮感知或壓縮采樣，是近年來國際上迅速興起的熱門研究方向。這樣的安排既深化了教學(xué)內(nèi)容，也拓展了學(xué)生的知識面，吸引了他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣。

五、小結(jié)

本文介紹了作者在小波分析課程教學(xué)方面的一些體會:注重學(xué)科發(fā)展的線索，利用理論線索串聯(lián)教學(xué)內(nèi)容，使之具有整體性和內(nèi)在連續(xù)性;讓學(xué)生通過實踐掌握抽象理論的實質(zhì)，提高動手能力，深化對所學(xué)內(nèi)容的體驗和理解;結(jié)合教學(xué)實際講授學(xué)科的最新發(fā)展，拓寬學(xué)生的眼界和知識面。受篇幅所限，我們還有一些教學(xué)體會如利用時頻對偶的觀點看待各個變換的基本性質(zhì)等并未得到展開。

[1]A.Boggess and F.J.Narcowich，A first course in Wavelets with Fourier Analysis Prentice Hall，2001.

[2]S.Mallat，A Wavelet Tour of Signal Processing(third edition)，Elsevier Inc.2009.

[3]Wavelet Toolbox User’s Guide，The MathWorks，Inc.2002.