楊 梅,幸克堅(jiān)

（遵義師范學(xué)院,貴州遵義563002）

1 數(shù)學(xué)語言的類型、特點(diǎn)、意義和作用

人類從遠(yuǎn)古蠻荒到現(xiàn)代文明,是文化和科學(xué)進(jìn)步使然,而文化和科學(xué)進(jìn)步離不開思考和交流傳播,思考和交流傳播必須運(yùn)用語言。每一種文化、每一門科學(xué)都有自己的語言,沒有這形形色色的語言,就沒有今天的人類文明。而作為“理性的化身、宇宙的詩篇”的數(shù)學(xué),其顯著特征就是有簡捷、明確、完美的符號語言系統(tǒng),在某種程度上說,一部數(shù)學(xué)史就是數(shù)學(xué)語言更新與擴(kuò)展的歷史。

1.1 數(shù)學(xué)語言的含義和類型

什么是數(shù)學(xué)語言呢？數(shù)學(xué)語言是以文字、符號、圖形(圖像)為基本元素,按照數(shù)學(xué)自身的規(guī)則進(jìn)行組合后,用定義、定理(含公理)、解析式等形式對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)問題等進(jìn)行表達(dá)的一種信息系統(tǒng)。

“文字”,指一定的人類社會通用的自然語言中所使用的文字。人類交流最基本媒介就是自然語言,數(shù)學(xué)作為人類文化的重要組成部分,不能脫離這樣一種最基本的媒介。

“符號”,是從具體事物中抽象概括出的一種簡明的記號。數(shù)學(xué)符號包括:表示數(shù)量的數(shù)碼和字母；表示概念如圓——⊙、三角形——△的圖形符號；表示運(yùn)算如加減乘除、微分積分、集合的交并補(bǔ)等的運(yùn)算符號；表示關(guān)系如相等、不等、平行、垂直、元素與集合之間的“屬于”、集合與集合之間的“包含”以及任取“?”、存在“?”等關(guān)系的關(guān)系符號。

大量和集中地使用符號是數(shù)學(xué)語言有別于其它學(xué)科最典型、最專業(yè)化的表現(xiàn)形式,正是由于使用了各種符號,數(shù)學(xué)語言才可以用相當(dāng)少的書面容量表達(dá)相當(dāng)豐富的信息。

“圖形”,包含幾何圖形、函數(shù)圖像和圖表等,是一種視覺語言,其特點(diǎn)是直觀,便于通過觀察與聯(lián)想,揭示數(shù)、形間或變量之間的關(guān)系,從而找到解決問題的思路。

數(shù)學(xué)語言就是以文字、符號和圖像作為元素進(jìn)行組合構(gòu)成的。例如,給一個(gè)數(shù)學(xué)新概念的定義,常呈現(xiàn)為這樣一種形式:“‘××叫作××’——文字表述、‘記作××’——符號表述、‘讀作××’——口頭語言表述”。

1.2 數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家A·A斯托利亞爾在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》中說:“數(shù)學(xué)語言是按下列不同方向改進(jìn)自然語言的結(jié)果:按簡化自然語言的方向；按克服自然語言中含糊不清的毛病的方向；按擴(kuò)充它的表達(dá)范圍的方向[1]?！边@些改進(jìn)使數(shù)學(xué)語言具有簡潔、精確、抽象等特點(diǎn)。

陳省身說過:“數(shù)學(xué)使科學(xué)簡單化”,簡潔是數(shù)學(xué)語言的重要特點(diǎn)。用符號進(jìn)行思維、表述和概括比其他任何語言都精煉,一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式的信息往往用一大段文字都難以表達(dá)清楚。

精確性也是數(shù)學(xué)語言的重要特點(diǎn),它杜絕了產(chǎn)生歧義、似是而非的可能。

抽象性是數(shù)學(xué)語言最典型的特點(diǎn),數(shù)學(xué)概念都是抽象的,現(xiàn)實(shí)世界中沒有“3”而有3本書、3個(gè)人……,“3”就是從這些數(shù)量概念中抽象出來的。正是這種抽象性,導(dǎo)致了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。

數(shù)學(xué)語言上述特點(diǎn)使其具有通用性,數(shù)學(xué)語言無民族性、無區(qū)域性,全世界在基本的數(shù)學(xué)符號上是統(tǒng)一的,這極大地方便了數(shù)學(xué)的交流、普及和發(fā)展。

1.3 數(shù)學(xué)語言的意義和作用

數(shù)學(xué)活動(dòng)需要思維和交流。在進(jìn)行數(shù)學(xué)思維時(shí),我們大腦中呈現(xiàn)的是無聲的數(shù)學(xué)語言,我們筆下流出的是一連串?dāng)?shù)學(xué)符號；在進(jìn)行數(shù)學(xué)交流時(shí),運(yùn)用數(shù)學(xué)文字語言、符號及圖形來使得對方接收和理解己方所要表達(dá)的信息。不難想象,如果不用數(shù)學(xué)語言,思維和交流都難以實(shí)現(xiàn),數(shù)學(xué)活動(dòng)將無法進(jìn)行。

我國古代有領(lǐng)先于世界的科學(xué)技術(shù),而近代科學(xué)史上卻出現(xiàn)著名的“李約瑟難題”,重要原因之一就是我國近代數(shù)學(xué)抵制了西方符號字母的引進(jìn),使我國數(shù)學(xué)落后于世界。如京師大學(xué)堂(北京大學(xué)前身)直至1905年在《代微積拾級》中還使用豎排版式和天干地支加上天地人元代替26個(gè)字母就是一例。

2 數(shù)學(xué)教育與課程改革對數(shù)學(xué)語言的要求

數(shù)學(xué)教育在發(fā)展和完善人的教育活動(dòng)中起著重要的作用,是公民終身發(fā)展的需要。但“在數(shù)學(xué)教育中,交流的重要性長期以來一直沒有受到應(yīng)有的重視,更沒有被作為一個(gè)重要的課程目標(biāo)。隨著時(shí)代的發(fā)展,各國和各地區(qū)都認(rèn)識到,數(shù)學(xué)在當(dāng)今各學(xué)科中的用途急劇增加的一個(gè)重要原因就是數(shù)學(xué)能簡明地表達(dá)和交流思想[2]。”對此,新一輪的數(shù)學(xué)課程改革在兩學(xué)段的綱領(lǐng)性文件中這樣要求:

《國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求“學(xué)會與人合作,并能與他人交流思維的過程和結(jié)果[2]”；《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》則要求“數(shù)學(xué)教育應(yīng)使學(xué)生表達(dá)清晰、思考有條理……學(xué)會用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認(rèn)識世界……評價(jià)應(yīng)當(dāng)重視考察學(xué)生能否理解并有條理地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容[3]?！币虼?數(shù)學(xué)語言的訓(xùn)練和培養(yǎng),應(yīng)當(dāng)作為數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)之一。

曹才翰先生在《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》中指出“能否成功地進(jìn)行數(shù)學(xué)交流,不僅涉及一個(gè)人的數(shù)學(xué)能力,而且也涉及到一個(gè)人的思路是否開闊,頭腦是否開放,是否尊重并且愿意考慮各方面的不同意見,是否樂于接受新的思想感情觀念和新的行為方式,是否愿意相互了解,為人處事是否做到尊重與自尊[4]?！?/p>

國際上對數(shù)學(xué)語言方面研究的重要進(jìn)展表現(xiàn)為把數(shù)學(xué)語言作為當(dāng)前數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要目標(biāo),“各國和各地區(qū)的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn),數(shù)學(xué)交流大體包括這樣三個(gè)方面:第一是數(shù)學(xué)知識的交流,第二是數(shù)學(xué)體驗(yàn)的交流,第三是解決問題的心得交流[2]”?？梢?重視數(shù)學(xué)語言已成為當(dāng)今國際數(shù)學(xué)教育界的共識。

3 數(shù)學(xué)語言使用的要求及常見的問題

數(shù)學(xué)語言的掌握和使用不當(dāng),將直接影響學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,中小學(xué)數(shù)學(xué)教師使用數(shù)學(xué)語言不當(dāng)而導(dǎo)致知識性錯(cuò)誤是教學(xué)中常見的一種現(xiàn)象。而數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域?qū)?shù)學(xué)語言及其教學(xué)的研究基本上是針對中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂,在高師教育中未能引起足夠重視。實(shí)際上,中小學(xué)教師來源于高師院校,所以應(yīng)重視高師生數(shù)學(xué)語言能力的培養(yǎng),使高師生重視數(shù)學(xué)語言的地位和作用,能準(zhǔn)確地理解和使用數(shù)學(xué)語言,為今后從事基礎(chǔ)教育奠定良好的基礎(chǔ)。很難想象,一個(gè)在高師學(xué)習(xí)中不重視和具備數(shù)學(xué)語言及交流能力的未來教師今后能承擔(dān)好基礎(chǔ)教育。

根據(jù)筆者長期從事高師數(shù)學(xué)教學(xué)的感受,在高師學(xué)生中常見問題有:

(1)數(shù)學(xué)術(shù)語使用混亂,文字語言不準(zhǔn)確、不明確。如基本算術(shù)運(yùn)算的稱謂:加上、減去、乘以、除以、去除等使用混亂,沒有嚴(yán)格區(qū)分的習(xí)慣和意識,把“a÷b”說成a除b；把(a+b)2說成“a加b的平方”；用語措辭完全不注意是否準(zhǔn)確貼切,如集合“A?{3,5,7,9}”,讀作“A等于3,5,7,9”；在解題或證題時(shí),“解”、“證”不分等。

(2)數(shù)學(xué)符號與表達(dá)式書寫不規(guī)范,缺乏認(rèn)真的訓(xùn)練。經(jīng)?？匆妼W(xué)生將小寫英文字母a、希臘字母α,阿拉伯?dāng)?shù)碼2隨手輕描淡寫地畫一下,很難分清楚是這三個(gè)符號中的哪一個(gè)；大括號“{}”也是隨便彎一下就作數(shù)；

(3)圖形圖表不規(guī)范,畫得太離譜,缺乏圖形表示的基本訓(xùn)練。圖形往往是解決問題的重要輔助手段,正確、直觀的圖形能幫助我們啟迪解題的思路。但不少情況下,學(xué)生所畫圖形與題意相差很遠(yuǎn):平面圖形中明顯的位置和幾何量的比例關(guān)系往往嚴(yán)重失調(diào),直接影響到解題思路的發(fā)現(xiàn)和表達(dá)；立體圖形中就更加離譜,簡直不成其為圖形了。這在空間解析幾何、重積分等課程中表現(xiàn)十分明顯,嚴(yán)重影響了學(xué)習(xí)的積極性和效果。

(4)思維和表達(dá)不嚴(yán)密,條理層次不清、邏輯關(guān)系不明等現(xiàn)象普遍存在。對于條件和假設(shè),基本不予說明,表述時(shí)完全沒有“哪些該說？那些不該說？那些該先說？那些該后說？應(yīng)該怎樣說才準(zhǔn)確簡潔”的習(xí)慣,使得整個(gè)解題過程沒有一個(gè)連續(xù)的、清楚的邏輯表述,如一盤散沙,茫然不知所云；又如在空間解析幾何中,“兩直線不相交就一定平行”缺乏“在同一平面內(nèi)”的限定、常常將二元一次方程的圖形——“平面”說成“直線”、“到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡”——球面,說成“圓”,忽視了“平面內(nèi)”這一重要條件、但“平面內(nèi)三條線段一次首尾連接構(gòu)成的圖形叫三角形”又多了“平面內(nèi)”這個(gè)條件,說明思維不嚴(yán)謹(jǐn)。

(5)數(shù)學(xué)式子和符號讀音不準(zhǔn)確:在數(shù)學(xué)中,常用到拉丁字母和希臘字母,在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中,不少學(xué)生甚至教師并沒有認(rèn)真區(qū)分這兩種字母,如解析幾何中的不變量分別用了希臘字母“I[aiot]”和“K[kappa]”,但不少教師和學(xué)生卻將它們作為英文字母來讀。

上述現(xiàn)象體現(xiàn)了高師生數(shù)學(xué)語言水平普遍較低甚至很低,導(dǎo)致整體數(shù)學(xué)素質(zhì)不高。而不少高師數(shù)學(xué)教師在傳授數(shù)學(xué)知識的同時(shí),基本沒有注意糾正學(xué)生這些錯(cuò)誤,說明未認(rèn)識到這些問題,甚至自己都在不同程度上出現(xiàn)這些錯(cuò)誤。

4 高師院校數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)交流能力的培養(yǎng)初探

高師數(shù)學(xué)教育要適應(yīng)基礎(chǔ)教育課程改革,就必須重視數(shù)學(xué)語言的地位和作用,加強(qiáng)對高師生數(shù)學(xué)語言表達(dá)與交流能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)。針對教學(xué)實(shí)踐中出現(xiàn)的上述問題,高師教師自己應(yīng)該對數(shù)學(xué)語言引起高度重視,首先要從文字、符號和圖形表現(xiàn)力上嚴(yán)格要求自己,提高自己的數(shù)學(xué)語言能力。其次,要以自己為表率,對學(xué)生提出明確的要求:

(1)文字語言必須力求準(zhǔn)確、明確。各類運(yùn)算的稱謂:如加上、減去、乘以、除以、去除……等必須養(yǎng)成嚴(yán)格區(qū)分的習(xí)慣,用語措辭必須準(zhǔn)確貼切,“屬于”與“包含”,“解”與“證”一定要嚴(yán)格區(qū)分,不要混淆……

(2)符號書寫必須認(rèn)真訓(xùn)練、嚴(yán)格要求以達(dá)到規(guī)范。必要時(shí)應(yīng)該對數(shù)碼、大小寫英文字母、希臘字母和各種數(shù)學(xué)符號進(jìn)行專門的書寫訓(xùn)練甚至考核,一定要養(yǎng)成規(guī)范書寫數(shù)學(xué)符號的習(xí)慣。

板書是教師的書面語言,在課堂上要充分利用教師板書對學(xué)生做好示范教育。由于課時(shí)緊張的原因,不少高校教師的板書往往比較潦草,殊不知這樣的板書會引起學(xué)生效仿,學(xué)生的作業(yè)也可能因此而潦草。

(3)加強(qiáng)圖形表示的基本訓(xùn)練。平面圖形應(yīng)該有明顯準(zhǔn)確的位置和比例關(guān)系,能高度和題意吻合；涉及立體圖形課程,更要有意識地增加畫圖練習(xí):如畫出不同位置的兩個(gè)、三個(gè)平面、異面直線及其公垂線、不同位置的空間曲面以及空間曲面所圍區(qū)域等。只有這樣,才能提高學(xué)生的空間想象力和圖形表現(xiàn)力。

(4)思維與語言密切相關(guān),應(yīng)養(yǎng)成縝密的邏輯思維和表達(dá)習(xí)慣。在解題或證題時(shí),對于條件、假設(shè)必須清楚說明,認(rèn)真推敲“哪些該說？那些不該說？那些該先說？那些該后說？”的習(xí)慣,使得整個(gè)解題過程有一個(gè)連續(xù)的、清楚的邏輯表述,讓看的人覺得是一種美的享受。

(5)注意正確的字母讀音,嚴(yán)格區(qū)分英文字母和希臘字母以及其他符號,不要混淆。

(6)要從高師一年級開始嚴(yán)格要求,及時(shí)糾正學(xué)生在符號寫法、讀法、使用上的錯(cuò)誤。通過批改作業(yè)發(fā)現(xiàn)問題,對不符合規(guī)范的,要在作業(yè)本上糾正、在評講作業(yè)時(shí)強(qiáng)調(diào),使學(xué)生逐步養(yǎng)成正確地書寫規(guī)范化的數(shù)學(xué)符號和字母,正確閱讀數(shù)學(xué)語言的習(xí)慣,養(yǎng)成對科學(xué)知識認(rèn)真負(fù)責(zé)的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度。

特別是在教學(xué)實(shí)習(xí)——“試講”過程中,要處處強(qiáng)調(diào)這些方面。這樣,才能培養(yǎng)學(xué)生“能說會講”,能正確表達(dá)自己的思想,掌握好數(shù)學(xué)交流的工具。只有這種以身作則與諄諄教誨相結(jié)合,才能使學(xué)生潛移默化地認(rèn)識到數(shù)學(xué)語言的重要性,感受到準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語言的樂趣和美感,逐步養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的思維和表達(dá)習(xí)慣。

數(shù)學(xué)語言的形成過程與數(shù)學(xué)發(fā)展史密切相關(guān),了解一定的數(shù)學(xué)史,有利于加深對數(shù)學(xué)語言的認(rèn)識和理解,自覺養(yǎng)成準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語言的習(xí)慣。因此,高師數(shù)學(xué)教師自身應(yīng)該具備一定的數(shù)學(xué)史知識和數(shù)學(xué)文化觀念,能夠隨時(shí)結(jié)合學(xué)生所學(xué),自然、生動(dòng)地予以介紹,讓學(xué)生輕松地理解和接受數(shù)學(xué)符號與語言。

總之,數(shù)學(xué)語言能力的訓(xùn)練應(yīng)在高師數(shù)學(xué)教育中引起高度重視,應(yīng)滲透在整個(gè)高師數(shù)學(xué)教育的全過程,還應(yīng)該融合在高師教師自身專業(yè)化的進(jìn)程中。高師數(shù)學(xué)教師應(yīng)不斷檢查和反思自己的教學(xué),在嚴(yán)格要求自己的前提下,嚴(yán)格要求學(xué)生,才有可能通過不懈的努力,得到逐步的提高。

[1] [蘇]A·A斯托利亞爾.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].北京:人民教育出版社,1984.221.

[2] 中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)解讀.[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2002.83,85.

[3] 中華人民共和國教育部.高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京:人民教育出版社,2002.83.

[4] 曹才翰.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2002.2627.