程 亮，周昌林，汪小京

(寧波現(xiàn)代物流規(guī)劃研究院物流組織與政策研究室，浙江寧波315042)

隨著全球競爭的日趨激烈、產(chǎn)品快速開發(fā)能力的不斷提高，以及顧客需求多樣化和個性化的發(fā)展，使得準確地預(yù)測其銷售產(chǎn)品的種類以及相應(yīng)地規(guī)劃產(chǎn)品和訂單變得越來越困難。因此，在不確定的環(huán)境下，制造商需要在生產(chǎn)期初選擇合適的產(chǎn)能，一方面要考慮盡可能地滿足顧客需求，另一方面要避免產(chǎn)能過剩，節(jié)約投資成本。

基于以上實際問題背景，筆者考慮不確定環(huán)境下制造商的最優(yōu)生產(chǎn)能力決策問題。具體而言，考慮有限計劃期內(nèi)，制造商的訂單需求、生產(chǎn)及外包成本等要素都是隨機變量，首先，在計劃期初，制造商要確定一定的生產(chǎn)能力水平;然后，在計劃期期間，通過生產(chǎn)備貨方式滿足下游顧客訂單需求，并且當制造商的生產(chǎn)能力不夠時，允許制造商采取外包方式滿足下游訂單需求，有限生產(chǎn)能力下的生產(chǎn)與外包模型如圖1所示。

圖1 有限生產(chǎn)能力下的生產(chǎn)與外包模型

與該研究相關(guān)的主要有兩個方面的研究，一是生產(chǎn)能力優(yōu)化研究。在初始能力規(guī)劃研究方面，ATAY［1］、HOOD［2］研究了市場需求不確定情況下半導體制造企業(yè)的能力規(guī)劃問題，建立了用于能力投資決策的隨機整數(shù)規(guī)劃模型;KARABUK［3］研究了面對市場需求和制造能力均不確定的情況下半導體制造企業(yè)的戰(zhàn)略能力規(guī)劃問題，依據(jù)市場銷售和產(chǎn)品生產(chǎn)決策的分散化特性，構(gòu)建了一個能力大小決策模型;潘景銘等以期望總成本最小化為目標函數(shù)，分別建立了不確定需求條件下供應(yīng)鏈期望總成本與生產(chǎn)柔性之間的關(guān)系模型，并給出了最佳生產(chǎn)柔性的確定方法［4－5］。與以上研究不同，筆者同時考慮了多種不確定因素，包括隨機需求、隨機生產(chǎn)成本以及隨外包成本，這與企業(yè)運作環(huán)境更相符，另外，筆者通過結(jié)合動態(tài)批量模型和Monte－Carlo模擬得到了生產(chǎn)商期望總成本與生產(chǎn)能力之間的關(guān)系。而與筆者研究相關(guān)的是動態(tài)批量研究，WAGNER和WHITIN［6?首先考慮了確定需求環(huán)境下的動態(tài)補貨決策模型(一般簡稱該模型為WW模型)，得出最優(yōu)的補貨策略滿足“零庫存補貨”規(guī)則，該規(guī)則是WW模型求解算法的基石。隨后，大量文獻對WW模型進行拓展，包括缺貨等待、學習效應(yīng)和易腐產(chǎn)品等方面，HSU［7］對動態(tài)批量問題做了一個比較全面的綜述。將該研究中生產(chǎn)決策轉(zhuǎn)換為補貨決策，產(chǎn)能約束可以視為庫存能力約束，因此，相近的文獻主要是研究庫存能力受限環(huán)境下的補貨策略，LOVE［8］研究了固定庫存能力條件下的補貨模型，假設(shè)需求在缺貨情況下完全等待，設(shè)計了一個O(T3)算法得到最優(yōu)的補貨策略。ATAMTüRK和Kü?üKYAVUZ［9］研究了時變庫存能力條件下的補貨模型，假設(shè)不允許缺貨發(fā)生，且?guī)齑娉杀局邪ü潭ǔ杀竞途€性持有成本，設(shè)計了一個O(T4)算法得到最優(yōu)的補貨策略。CHU［10］等研究了儲存能力受限條件下的補貨及外包模型，假設(shè)不允許存在缺貨情況，設(shè)計了一個O(T2lb T)算法得到最優(yōu)的補貨以及外包策略。AKSEN［11］等研究了有限計劃期內(nèi)的補貨及外包模型，當下一時期的銷售價格遠高于當期價格時，企業(yè)會采取外包方式滿足當期需求，而將庫存儲備到下一時期從而獲取更多的利潤，并設(shè)計了一個O(T2)算法得到最優(yōu)補貨及外包策略。與以上文獻不同，筆者不僅考慮了制造商的產(chǎn)能限制，而且考慮了外包策略，提出了一個多項式算法得到固定產(chǎn)能限制下的生產(chǎn)及外包策略，同時通過Monte－Carlo模擬得到多種不確定條件的最優(yōu)生產(chǎn)能力。

1 模型構(gòu)建

1.1 基本假設(shè)及參數(shù)定義

筆者主要考慮制造商在不確定環(huán)境下的最優(yōu)生產(chǎn)能力決策問題。制造商擁有一定的生產(chǎn)能力，由于短期內(nèi)不能擴大生產(chǎn)能力，制造商在整個計劃期內(nèi)生產(chǎn)能力保持不變，且生產(chǎn)提前期為零。另外，當制造商的庫存發(fā)生缺貨時，制造商將采取外包方式滿足下游顧客的需求，且外包交貨提前期為零。表1為符號及變量定義。

表1 符號及變量定義

與大多數(shù)動態(tài)批量研究假設(shè)相同，其假設(shè)如下:

(1)制造商的庫存水平在計劃期初和期末均為零，即I0=IT=0。

(2)制造商不允許缺貨等待，所有下游零售商訂單需求必須及時滿足。

同時，筆者考慮存在多種不確定因素的環(huán)境下，假設(shè)在有限計劃期內(nèi)，與傳統(tǒng)動態(tài)批量研究相反的假設(shè)如下:

(1)下游零售商需求為不確定的動態(tài)需求，服從均值為d，方差為φ的正態(tài)分布;

(2)制造商的單位外包成本st服從均勻分布，即

(3)制造商的單位生產(chǎn)成本ct服從均勻分布，即

1.2 模型構(gòu)建

在有限生產(chǎn)能力條件下，制造商以最小化總成本為目標，包括總生產(chǎn)成本、外包成本和庫存成本，具體分析如下:

(1)制造商在第t周期發(fā)生的總生產(chǎn)成本包括固定生產(chǎn)成本、變動生產(chǎn)成本和產(chǎn)能空閑成本:

(2)制造商在第t周期發(fā)生的外包成本為:

(3)制造商在第t周期內(nèi)發(fā)生的庫存成本為:

由此，可以得到制造商在整個計劃期內(nèi)的總成本為:

因此，在計劃期T內(nèi)，制造商首先確定生產(chǎn)能力P，然后在固定生產(chǎn)能力下優(yōu)化每個周期的生產(chǎn)與外包決策(X={xt，1≤t≤T}，Y={yt，1≤t≤T})，以最小化整個計劃期內(nèi)的期望總成本，故可以用以下數(shù)學模型表示:

其中，約束等式(6)為制造商處庫存水平的平衡關(guān)系，約束不等式(7)為制造商的生產(chǎn)量受到生產(chǎn)能力的限制，約束不等式(8)為制造商的生產(chǎn)或外包量均為非負值。

2 模型求解

2.1 最優(yōu)生產(chǎn)與外包策略分析

由于生產(chǎn)能力限制，當期生產(chǎn)能力不能滿足該生產(chǎn)周期內(nèi)的訂單需求，有可能充分利用上一生產(chǎn)周期內(nèi)多余的生產(chǎn)能力，進行前期備貨。例如:T=2;P=10;d=(5，15)，K=0，最優(yōu)生產(chǎn)策略X=(10，10)，充分利用第一時期內(nèi)的生產(chǎn)能力滿足第二時期內(nèi)大量的需求，這種情形在空調(diào)行業(yè)比較常見。因此，可以得到命題1。

命題1存在一個最優(yōu)生產(chǎn)策略不一定滿足It－1xt=0，I≤t≤T。

命題1說明零庫存生產(chǎn)規(guī)則不一定成立，故采用傳統(tǒng)WW模型和算法不能求解有限生產(chǎn)能力下的生產(chǎn)與外包批量策略。因此，筆者考慮零庫存生產(chǎn)這種特殊的生產(chǎn)策略，定義C(i，j)為制造商在生產(chǎn)周期(i，j)內(nèi)滿足i，…，j－1期內(nèi)下游零售商所有訂單需求的最小成本，定義V(j)為制造商滿足i，…，j－1期內(nèi)下游零售商所有訂單需求的最小成本，則V(T+1)為制造商在整個計劃期T內(nèi)的最小總成本。在零庫存生產(chǎn)策略下，可以建立以下動態(tài)規(guī)劃方程:

為優(yōu)化計算，定義原點V(0)=0，有c=0，K0=0，h0=M，且假設(shè)cT+1=0，KT+1=0，hT+1=M，其中M為一個足夠大的自然數(shù)。引入初始0階段和T+1這兩個階段，是為了確保計劃期期初和結(jié)尾階段都發(fā)生補貨需求，以優(yōu)化計算整個計劃期內(nèi)成本。求解動態(tài)方程式(9)的關(guān)鍵之處在于求解生產(chǎn)周期(i，j)內(nèi)的總成本，通過優(yōu)化生產(chǎn)周期(i，j)內(nèi)的生產(chǎn)及外包策略，得到C(i，j)。

命題2在生產(chǎn)周期(i，j)內(nèi)，①若rk＞0，采用生產(chǎn)備貨方式依次滿足集合Λ1={l1，l2，…，ln}中的訂單需求，直至充分利用生產(chǎn)能力，超出生產(chǎn)能力部分采用外包方式滿足;②若rk≤0，采用外包的方式滿足 中的訂單需求。根據(jù)命題2，分別考慮以下兩種情況:

因此，根據(jù)以上分析，可以設(shè)計算法1得到最優(yōu)生產(chǎn)及外包策略。

算法1固定生產(chǎn)能力條件下最優(yōu)生產(chǎn)及外包策略。

初始化:V(0)=0，C(0，1)=0;

For j=1∶T+1

For i=1∶j－1

(1)在生產(chǎn)周期(i，j)內(nèi)，權(quán)衡生產(chǎn)成本和外包成本，得到集合Λ1和Λ2;

(2)在集合Λ1和Λ2內(nèi)，確定生產(chǎn)成本和外包成本;

(3)根據(jù)式(10)和式(11)，計算C(i，j);

End

V(j)=min{V(i)+C(i，j)+Kj∶0≤j≤T+1};End得到最小總成本TC(P)=V(T+1)。

算法1包括兩個循環(huán)，每個循環(huán)的計算復(fù)雜度至多為O(T)，因此可得到命題3。

命題3在確定性環(huán)境下，算法1可以得到固定生產(chǎn)能力條件下最優(yōu)生產(chǎn)及外包策略，且計算復(fù)雜度為O(T2)。

2.2 最優(yōu)生產(chǎn)能力Monte－Carlo模型

考慮到下游零售商的訂單需求、單位生產(chǎn)成本以及外包成本等多種因素都為隨機變量，以下通過Monte－Carlo模擬方法，隨機產(chǎn)生下游訂單需求、生產(chǎn)及外包成本等參數(shù)，根據(jù)算法1得到隨機參數(shù)設(shè)置環(huán)境下的最優(yōu)生產(chǎn)及外包策略，進而得到不同生產(chǎn)能力下的總成本。最后，通過不斷更新生產(chǎn)能力，得到不同生產(chǎn)能力下的總成本變化趨勢，得到最小期望總成本下的最優(yōu)生產(chǎn)能力，其模擬過程如圖2所示。

圖2 Monte－Carlo模擬過程

根據(jù)圖2中的模擬過程，可設(shè)計算法2得到最優(yōu)的生產(chǎn)能力。

算法2隨機環(huán)境下的最優(yōu)生產(chǎn)能力。

步驟1:P=0，計算TC(P);

子步驟1:(1)根據(jù)正態(tài)分布隨機產(chǎn)生訂單需求D={dt，t=1，…，T};

(2)根據(jù)均勻分布隨機產(chǎn)生生產(chǎn)成本C={ct，t=1，…，T};

(3)根據(jù)均勻分布隨機產(chǎn)生外包成本S={st，t=1，…，T};

子步驟2:根據(jù)算法1，得最小總成本TC(P);

步驟2:Δ=TC(P+1)－TC(P)，若 Δ＞0，P=P+1，返回到步驟1;

否則，停止，得到最優(yōu)的生產(chǎn)能力P*=P。

3 算例分析

考慮制造商未來一年(計劃期T=12)的生產(chǎn)及外包決策問題。下游訂單需求服從均值為15，方差為5的正態(tài)分布，即D=norm(15，5);生產(chǎn)成本為C=uniform(10，3)，外包成本為C=uniform(12，2)，生產(chǎn)能力閑置成本及其他參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 制造的參數(shù)設(shè)置

通過模擬10 000次，得到不同生產(chǎn)能力下的期望總成本，如圖3所示，產(chǎn)能設(shè)置在P*=18比較合適。若產(chǎn)能過小，大部分訂單都需要通過外包完成，由于外包成本一般比單位制造成本更高，期望總成本在產(chǎn)能較小時會隨著產(chǎn)能增大而減小;若產(chǎn)能增加到一定范圍，產(chǎn)能對計劃期內(nèi)的運營總成本沒有影響，但是由于存在一定的不確定因素，總成本會在一定范圍內(nèi)波動。

圖3 不同產(chǎn)能下的期望總成本

圖4 為不同需求環(huán)境下的最優(yōu)產(chǎn)能設(shè)置，最優(yōu)產(chǎn)能大小隨著需求波動增大而增大，尤其是當外包成本比較高時，為了避免丟失訂單，企業(yè)在面臨波動較大的需求訂單時需要設(shè)置更大的產(chǎn)能。

圖4 不同需求波動下的最優(yōu)產(chǎn)能

4 結(jié)論

筆者結(jié)合動態(tài)批量模型以及Monte－Carlo模擬兩種方法，以最小化有限計劃期內(nèi)的期望總成本，優(yōu)化總生產(chǎn)能力。動態(tài)批量模型較好地反映了制造商在確定性環(huán)境下的生產(chǎn)及外包計劃，但該模型缺少對不確定性因素的反映。因此，考慮到涉及需求、生產(chǎn)及外包成本的不確定性，筆者將Monte－Carlo模擬方法融入到動態(tài)批量模型中，首先通過動態(tài)批量模型，提出了一個多項式算法得到固定生產(chǎn)能力條件下的最優(yōu)生產(chǎn)及外包策略，并得到最小總成本;然后結(jié)合Monte－Carlo方法，通過數(shù)學實驗得到制造商生產(chǎn)能力與成本及服務(wù)水平之間的關(guān)系，為企業(yè)在實際生產(chǎn)實踐中提供借鑒。

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