黃曉吉，扶明福，徐 斌，黎劍華

(1. 華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，南昌 330013;2. 南昌大學(xué)建筑工程學(xué)院，南昌 330031;3. 南昌工程學(xué)院土木工程系，南昌 330099)

Biot 建立飽和土的波動(dòng)理論以來(lái)，后續(xù)學(xué)者在此基礎(chǔ)上對(duì)飽和土的動(dòng)力響應(yīng)開(kāi)展了大量研究。Kumar等［1］分析了飽和介質(zhì)中圓形隧洞在變荷載作用下的徑向位移，并推導(dǎo)出脈沖荷載作用下的封閉形式解。通過(guò)Laplace 變換，文獻(xiàn)［2］分析了軸對(duì)稱荷載和流體壓力作用下飽和介質(zhì)中圓形隧洞的動(dòng)力響應(yīng)，得到了無(wú)限彈性飽和介質(zhì)中圓形孔洞動(dòng)力響應(yīng)的解答。文獻(xiàn)［4］假設(shè)襯砌為完全柔性，分析了平面應(yīng)變條件下軸對(duì)稱簡(jiǎn)諧荷載和簡(jiǎn)諧內(nèi)水壓力兩種荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)。文獻(xiàn)［5］通過(guò)引入Carcione 的黏彈性本構(gòu)方程，研究飽和多孔介質(zhì)中圓柱孔洞在襯砌表面作用軸對(duì)稱簡(jiǎn)諧荷載和流體壓力平面應(yīng)變條件下的頻域響應(yīng)問(wèn)題，分析了襯砌和飽和介質(zhì)的相對(duì)剛度及其他因素對(duì)動(dòng)力響應(yīng)幅值的影響;謝康和等［3］分別考慮襯砌材料為多孔彈性、柔性及剛性介質(zhì)，研究了黏彈性飽和土體中半封閉圓形隧洞在軸對(duì)稱荷載和流體壓力作用下的動(dòng)力響應(yīng)，隨后文獻(xiàn)［6］考慮襯砌材料和土體的多孔性質(zhì)，利用Laplace 數(shù)值變換研究了任意荷載條件下黏彈性飽和土體中半封閉圓形隧洞襯砌—土動(dòng)力相互作用問(wèn)題，得到平面應(yīng)變條件下瞬時(shí)移動(dòng)等響應(yīng)模式條件下的數(shù)值結(jié)果，并討論了襯砌和土體的相對(duì)剛度對(duì)隧洞動(dòng)力響應(yīng)的影響。劉林超等［7］基于連續(xù)介質(zhì)混合物公理和體積分?jǐn)?shù)概念的多孔介質(zhì)理論模擬圓形隧洞周圍的飽和土體，研究平面應(yīng)變軸對(duì)稱簡(jiǎn)諧荷載作用下無(wú)襯砌隧道的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，并分析滲透系數(shù)、阻尼系數(shù)對(duì)隧洞動(dòng)力響應(yīng)的影響。而文獻(xiàn)［8］采用波函數(shù)展開(kāi)法，分析了垂直入射P 波作用下，埋深、襯砌剛度以及入射頻率對(duì)中、淺埋隧道襯砌內(nèi)壁環(huán)向動(dòng)應(yīng)力分布的影響?；贐iot 理論，陸建飛等［9］研究了移動(dòng)的空間軸對(duì)稱荷載作用下飽和土中無(wú)襯砌隧洞的動(dòng)力響應(yīng)，并討論了移動(dòng)荷載的速度對(duì)隧洞動(dòng)力響應(yīng)的影響。在此基礎(chǔ)上，本文研究飽和土中圓形襯砌隧洞在簡(jiǎn)諧軸對(duì)稱荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)。在本文中，襯砌視為彈性體，土體視為飽和多孔彈性介質(zhì)，且考慮土體和孔隙流體的壓縮性，引入勢(shì)函數(shù)，結(jié)合邊界條件和連續(xù)條件，通過(guò)傅立葉變換得到波數(shù)域中的動(dòng)力響應(yīng)幅值，最后通過(guò)傅立葉的逆變換得到空間域內(nèi)動(dòng)力響應(yīng)幅值的數(shù)值解。

1 控制方程

如圖1 所示，在飽和土中有一簡(jiǎn)諧集中環(huán)形軸對(duì)稱荷載作用下的圓形襯砌隧洞，R1與R2分別為隧洞襯砌的內(nèi)外半徑。

1.1 飽和土體的基本方程

假定土體為飽和多孔彈性介質(zhì)，則飽和土體的本構(gòu)方程為

圖1 簡(jiǎn)諧集中環(huán)形荷載(Fn = neiωt，F(xiàn)t = teiωt)作用下的襯砌隧洞的幾何模型

式中，σsij，εsij為土體應(yīng)力和應(yīng)變張量;δij為克羅奈克符號(hào);es，? 分別為土骨架體積應(yīng)變和單位體積孔隙水的流體體積增量，es= usi，i，? = - wi，i(usi，wi為土骨架的位移和孔隙水的滲透位移);i，j =1，2，3;p 為孔隙水壓力;λs，μs為土體的lame 常數(shù);α，M 為與孔隙水壓縮性有關(guān)的Biot 參數(shù)。

根據(jù)Biot 理論，不計(jì)體力時(shí)飽和土體和孔隙水的運(yùn)動(dòng)方程為

式中，ρb，ρf分別為飽和土體與孔隙水密度;m =a∞ρf/f(a∞為孔隙流體彎曲系數(shù)，f 為土體孔隙率);bp= η/k表示土骨架與孔隙流體間的相互作用力(η 為孔隙流體黏性系數(shù)，k 孔隙流體的動(dòng)力滲透系數(shù))。

1.2 襯砌的基本方程

襯砌的本構(gòu)方程和運(yùn)動(dòng)方程分別為

式中，σlij和εlij為襯砌的應(yīng)力和應(yīng)變張量;ulij為襯砌的位移(i，j =1，2，3);el= uli，i為襯砌的體積應(yīng)變;λl、μl為襯砌的lame 常數(shù);ρl為襯砌的密度。

1.3 控制方程求解

在簡(jiǎn)諧荷載(Fneiωt，F(xiàn)teiωt)作用且穩(wěn)態(tài)情形下，襯砌隧洞的所有動(dòng)力響應(yīng)均有ˉfeiωt的形式，其中，ˉf 表示振幅，ω 表示圓頻率。把ˉfeiωt形式代入運(yùn)動(dòng)方程(2)和(4)中，可得

式(7)～式(8)中，下標(biāo)r，z 為柱坐標(biāo)系下的r 坐標(biāo)和z坐標(biāo)，s，f，l 分別表示土體、孔隙流體和襯砌。

引入勢(shì)函數(shù)后無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為柱坐標(biāo)下的Helmoltz 方程。對(duì)Helmoltz 方程進(jìn)行z→ξ 的傅立葉變換，即可求得波數(shù)域中勢(shì)函數(shù)的解答，進(jìn)而求得動(dòng)力響應(yīng)幅值在波數(shù)域中的解答。傅立葉正向變換和逆向變換公式如下

式中，上標(biāo)“∧”表示正向傅立葉變換值。

對(duì)Helmoltz 方程進(jìn)行z→ξ 傅立葉正向變換后，得到波數(shù)域中的勢(shì)函數(shù)。考慮到無(wú)窮遠(yuǎn)處飽和土的動(dòng)力響應(yīng)趨于零，使γf、γs和γt滿足im(γf)＜0、im(γs)＜0，im(γt)＜0，則可求得

把上述解答代入位移幅值—?jiǎng)莺瘮?shù)關(guān)系表達(dá)式(7)～式(8)，以及飽和土體和襯砌的幾何方程和本構(gòu)方程式(1)和式(3)中，可得土體、孔隙水和襯砌的位移、應(yīng)力及孔隙水壓力在波數(shù)域中的幅值表達(dá)式。

1.4 邊界條件和連續(xù)條件

襯砌隧洞的動(dòng)力響應(yīng)幅值(位移、孔隙水壓和應(yīng)力)表達(dá)式中的7 個(gè)待定常數(shù)應(yīng)根據(jù)邊界條件和連續(xù)條件來(lái)確定。若圓形襯砌隧洞在簡(jiǎn)諧集中環(huán)形荷載(Fn，F(xiàn)t)作用下，在襯砌內(nèi)表面r =R1處應(yīng)滿足

式中，δ()為Dirac—δ 函數(shù)。

在飽和土體與襯砌的接觸面(r = R2)，若隧洞襯砌完全透水，則孔隙水壓

對(duì)上述邊界條件進(jìn)行z→ξ 的傅立葉變換，使其轉(zhuǎn)換為波數(shù)域中邊界條件

假設(shè)襯砌與土體完全接觸，則襯砌和土體的應(yīng)力在接觸面(r =R2)處應(yīng)連續(xù)，即

本文引入式(14)中的3 個(gè)邊界條件及徑向、環(huán)向正應(yīng)力與徑向、環(huán)向位移連續(xù)的4 個(gè)條件，求得襯砌、飽和土體的位移、應(yīng)力和孔隙水壓力中的7 個(gè)待定常數(shù)，波數(shù)域中應(yīng)力、位移和孔隙水壓幅值得到完全解答。對(duì)波數(shù)域中的響應(yīng)幅值進(jìn)行傅立葉逆變換即可得到空間領(lǐng)域中的應(yīng)力、位移和孔隙水壓幅值。

2 算例和分析

圖2 無(wú)量綱徑向位移幅值實(shí)部和虛部曲線

圖3 無(wú)量綱孔隙水壓幅值實(shí)部和虛部曲線

從圖2、圖3 可知，襯砌隧洞和無(wú)襯砌隧洞的徑向位移和孔隙水壓的幅值實(shí)部、虛部均對(duì)稱分布于荷載作用平面的兩側(cè)，而z 向位移的幅值實(shí)部、虛部則反對(duì)稱分布于荷載作用平面的兩側(cè)。由于襯砌剛度大于飽和土體的剛度，在半徑r =1.1 和r =1.5 處，襯砌隧洞的徑向位移及z 向位移幅值的最大實(shí)部與虛部均小于無(wú)襯砌隧洞相應(yīng)位移幅值的最大實(shí)部、虛部。此外，由于輻射阻尼的影響，不管是無(wú)襯砌隧洞還是襯砌隧洞，r =1.5 處的徑向位移及z 向位移幅值的最大實(shí)部與虛部均小于r =1.1 處的徑向位移及z 向位移幅值的最大實(shí)部與虛部。在半徑r =1.5 處，襯砌隧洞外周飽和土中孔隙水壓幅值的最大實(shí)部、虛部也小于相應(yīng)位置的無(wú)襯砌隧洞孔隙水壓幅值的最大實(shí)部和虛部。

圖4 無(wú)量綱剪切應(yīng)力幅值實(shí)部和虛部曲線

圖5 無(wú)量綱環(huán)向正應(yīng)力幅值實(shí)部和虛部曲線

由圖4、圖5 可知，隧洞的剪切應(yīng)力實(shí)部、虛部具有反對(duì)稱性，環(huán)向正應(yīng)力實(shí)部、虛部則對(duì)稱分布于荷載作用平面的兩側(cè)。由于襯砌彈性模量遠(yuǎn)大于外周飽和土體的彈性模量，且襯砌的泊松比小于飽和土的泊松比，在同樣壓力作用下，襯砌的橫向位移遠(yuǎn)小于飽和土體的橫向位移，則襯砌與外周飽和土的界面處存在較大的相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì);為使兩者完全接觸，保證兩者界面處不存在相互滑移，在襯砌體內(nèi)產(chǎn)生很大的剪切應(yīng)力以阻止兩者的相對(duì)滑移。從圖4 可知，在襯砌隧洞r =1.1 處襯砌體內(nèi)的剪切應(yīng)力幅值的最大實(shí)部、虛部遠(yuǎn)大于其它三者的剪切應(yīng)力幅值的最大實(shí)部、虛部。由于襯砌體內(nèi)存在很大的剪切應(yīng)力，導(dǎo)致襯砌體內(nèi)產(chǎn)生較大的環(huán)向正應(yīng)力，從圖5 可知，隧洞襯砌體內(nèi)的環(huán)向正應(yīng)力幅值最大實(shí)部、虛部均遠(yuǎn)大于其它三者環(huán)向正應(yīng)力幅值的最大實(shí)部、虛部。

3 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)Biot 理論和邊界條件，本文研究了簡(jiǎn)諧集中環(huán)向荷載作用下襯砌隧洞的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，通過(guò)傅立葉變換，得到襯砌隧洞的動(dòng)力響應(yīng)解答。根據(jù)算例分析的結(jié)果可得到如下結(jié)論:

1)由于襯砌的剛度大于飽和土的剛度，襯砌隧洞中襯砌內(nèi)部和外周飽和土的徑向位移均比無(wú)襯砌隧洞相應(yīng)處的徑向位移小。

2)由于襯砌和外周飽和土彈性模量、泊松比的差異，襯砌內(nèi)部存在較大的剪切應(yīng)力及環(huán)向正應(yīng)力。

3)襯砌的存在使得隧洞動(dòng)力響應(yīng)的數(shù)值和分布發(fā)生改變，因此在襯砌隧洞的動(dòng)力計(jì)算中不能忽略襯砌的影響。

［1］KUMAR R.Radial displacements of an infinite liquid saturated porous medium with cylinderical cavity ［J］. Computers and Mathmatics with Applications，1999(37):117-123.

［2］SENJUNTICHAI T，RAJAPAKSE R K N D. Tranisent response of acircular cavity in a porouelastic medium［J］.Int J for Numerical and Analytical Method in Geotechnics，1993(17):357-383.

［3］XIE Kanghe，LIU Ganbin，SHI Zuyuan. Dynamic response of partially sealed circular tunnel in viscoelastic saturated soil［J］.Soil Dynamics ＆ Earthquake Engineering，2004(24):1003-1011.

［4］劉干斌，頓志林，謝康和，等.黏彈性飽和土體中半封閉圓形隧洞的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析［J］.中國(guó)鐵道科學(xué)，2004，25(5):78-83.

［5］劉干斌，謝康和，施祖元. 黏彈性飽和多孔介質(zhì)中圓柱孔洞的頻域響應(yīng)［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2004，36(5):557-563.

［6］劉干斌，謝康和，施祖元. 黏彈性飽和土體中圓形隧洞動(dòng)力相互作用［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版)，2005，39(10):194-201.

［7］劉林超，楊驍.基于多孔介質(zhì)理論的飽和土體中圓形隧洞穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2009，26(1):12-16.

［8］高廣運(yùn)，李育樞，李天斌. P 波作用下淺埋圓形襯砌隧道動(dòng)力反應(yīng)分析［J］.中南公路工程，2007，32(2):56-60.

［9］LU Jianfei，JENG Dongsheng. Dynamic response of a circula tunnel embedded in a saturated poroelastic medium due to a moving load［J］.Journal of Vibration and Acoustics，2006(128):750-756.