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        空間二仿射對應(yīng)點(diǎn)列形成的雙曲拋物面

        2011-07-07 06:52:58劉阜平
        圖學(xué)學(xué)報(bào) 2011年6期
        關(guān)鍵詞:同族投影圖交線

        劉阜平, 丁 勇

        (太原理工大學(xué),山西 太原 030024)

        空間解析幾何中,單葉雙曲面和雙曲拋物面屬于二階直紋曲面中的兩種。在三維空間中,二射影點(diǎn)列對應(yīng)點(diǎn)的連線包絡(luò)成的二次曲面稱為單葉雙曲面;二仿射點(diǎn)列對應(yīng)點(diǎn)的連線包絡(luò)成的二次曲面稱為雙曲拋物面。利用二仿射對應(yīng)點(diǎn)列在正投影圖中的投影,可以容易地求出其導(dǎo)平面位置[1],并且分析他們截交線的變化規(guī)律及其退化情況。

        1 二仿射對應(yīng)點(diǎn)列形成的雙曲拋物面的直線型表示法

        見圖1,空間任意位置不相交的二仿射對應(yīng)點(diǎn)列l(wèi)1(I1,II1,Ⅲ1,…),l2(I2,II2,Ⅲ2,…)都可以通過投影變換得到正投影圖V/H。二仿射對應(yīng)點(diǎn)列本身的度量性可以用仿射比來表示,當(dāng)r=1時(shí)為合同點(diǎn)列。l1l2二交叉直線夾角用 θ表示,可稱為二線角。l1l2二交叉直線距離用a表示,可稱為二線距。r,a和θ反映了空間二仿射對應(yīng)點(diǎn)列的度量性。

        二仿射對應(yīng)點(diǎn)列具有兩個(gè)共性。第一,二仿射對應(yīng)點(diǎn)列正投影后仍為仿射對應(yīng)點(diǎn)列,且對應(yīng)關(guān)系不變。第二,在平面上二仿射點(diǎn)列對應(yīng)點(diǎn)連線包絡(luò)成拋物線[2]。

        見圖1,投影面V中能真實(shí)反映l1l2的仿射比r和二線角 θ的大小。為了求出導(dǎo)平面位置,只要讓二點(diǎn)列在 H1面上投影后得到的新點(diǎn)列仿射比相等,并且同向即可。導(dǎo)平面是唯一的。為了敘述方便,令導(dǎo)平面方向用Pα表示;l1l2組成的平行平面方向用 Tα表示,Tα表示二點(diǎn)列對應(yīng)非固有點(diǎn)連“線”。由于是非固有線,所以用平面表示方向。Tα與導(dǎo)平面 Pα夾角稱為導(dǎo)面角。導(dǎo)面角用α表示。

        圖1 仿射點(diǎn)列確定的二次曲面直線型表示法

        見圖1,l1l2上所有對應(yīng)點(diǎn)連線上總有一點(diǎn)屬于點(diǎn)列l(wèi)0(I0,II0,Ⅲ0,…),l0和l1l2是一條同族直線[3]。l0l1,l0l2為底的點(diǎn)列也分別是仿射對應(yīng)點(diǎn)列。l0平行于Tα。所有與l1l2同族的直線平行于 Tα。

        因此得到二仿射對應(yīng)點(diǎn)列形成的二次曲面的直線型表示法。見圖2。

        圖2 雙曲拋物面直線型表示法

        第一,主平面V,V平行于Tα。在主平面V上,二點(diǎn)列l(wèi)1l2反映實(shí)長,r和θ反映實(shí)際大小,二點(diǎn)列對應(yīng)點(diǎn)連線包絡(luò)成拋物線,就好像“壓扁”了的雙曲拋物面。簡稱為實(shí)形式投影圖。

        第二,副平面H,H垂直于Tα。在H面上,能真實(shí)反映二線距a和導(dǎo)面角α大小,簡稱為柱面式投影圖。 對于每一個(gè)雙曲拋物面,柱面式投影圖是唯一的。

        第三,次平面 H1,H2,H3,…,他們也垂直于Tα。在次平面上,必有一條同族直線lx投影積聚成點(diǎn),簡稱為錐面式投影圖。圖1中H面投影也是錐面式投影圖之一。

        上述三種投影圖,主平面和副平面是必須的,次平面可任意選擇。為了讓這種直線型曲面更有立體感,可以采用三線一般式表達(dá)方式,見圖3。在圖3中,V,H面與Tα既不平行也不垂直,三條同族直線不可能投影成點(diǎn)。

        圖3 雙曲拋物面直線型表示法一般式

        總之,在上述正投影圖中,如果選取的視點(diǎn)不同,看到的雙曲拋物面形狀不同,實(shí)形式,柱面式,錐面式和一般式分別從不同角度反映了直線型雙曲拋物面的形狀。

        2 雙曲拋物面的截交線和退化

        大家知道,二仿射對應(yīng)點(diǎn)列l(wèi)1(I1, II1, Ⅲ1,…),l2(I2, II2, Ⅲ2,…),底l1l2互相交叉,稱為同族直線。對應(yīng)點(diǎn),I1I2,II1II2,Ⅲ1Ⅲ2,…連線和l1,或者和l2是相交的,因此稱為異族直線。屬于I1I2交叉直線的平行平面Tα方向唯一。導(dǎo)平面Pα方向唯一。Tα和Pα交線方向S∞也唯一,如圖4所示。

        雙曲拋物面截交線有下列幾種情況:

        (1)任意截平面如果通過同族直線或異族直線,截交線退化成直線。

        (2)任意截平面如果平行于Tα,截交線退化成直線。見圖4中正平面 K、S。當(dāng)然,注意到這些直線的方向是不定的。他們也是與I0同樣意義的同族直線,他們中任意一條都平行Tα,而且以這些直線為底的點(diǎn)列和 l1或 l2構(gòu)成仿射對應(yīng),當(dāng)然仿射比是分別不同的。可以用lx來表示這類直線。

        (3)傾斜于Tα的截平面得到的截交線為拋物線。見圖4中鉛垂面R。拋物線軸線方向?yàn)門α與導(dǎo)平面Pα交線S∞方向。

        (4)垂直于 Tα的截平面得到的截交線為雙曲線。見圖5中的E、F平面。雙曲線兩條漸近線方向分別為截平面與 Tα平面交線和截平面與Pα平面交線表示的直線方向。

        圖4 雙曲拋物面截交線為直線和拋物線

        圖5 雙曲拋物面截交線為雙曲線

        上述結(jié)論(1)、(2)是明顯的,(3)、(4)通過大量作圖沒有發(fā)現(xiàn)不同的結(jié)論。

        3 二仿射對應(yīng)點(diǎn)列形成雙曲拋物面的度量性

        見圖1,二仿射對應(yīng)點(diǎn)列 l1(I1, Ⅱ1, Ⅲ1, …),l2( I2,II2,Ⅲ2,…) 形成雙曲拋物面的底可以互換成同族直線中任意兩條。如l0( I0,II0,Ⅲ0,…)和 l1(I1,Ⅱ1,Ⅲ1,…)形成的雙曲拋物面和 I1I2形成的雙曲拋物面是同一個(gè)。當(dāng)然這時(shí)I0I1與I1I2仿射比、二線角、二線距都是不一樣的。因此,仿射比、二線角、二線距只是兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)列之間度量性參數(shù),并不能反映雙曲拋物面的大小。衡量雙曲拋物面的大小的主要參數(shù)是Tα、Pα以及它們的交線S∞方向、反映它們相互之間的位置參數(shù)導(dǎo)面角α。

        如圖6所示,當(dāng)導(dǎo)面角為負(fù)α?xí)r,相對于圖1,其它參數(shù)都不變,此時(shí),可以認(rèn)為形成了另一個(gè)大小相等,方向相反的雙曲拋物面。

        圖6 反向雙曲拋物面

        如圖7所示,如果I1I2為底的仿射點(diǎn)列是合同點(diǎn)列,即仿射比r =1,這時(shí)副平面H垂直于I1I2角分線。但是注意到其他同族直線,如 Ix與 I1為底的點(diǎn)列就不再是合同點(diǎn)列了。因此,兩合同點(diǎn)列形成的雙曲拋物面并不具備普遍性。

        圖7 二合同點(diǎn)列形成的雙曲拋物面

        當(dāng)然,對于以I1I2為底的二仿射點(diǎn)列,如果只改變其中一個(gè)參數(shù),如二線距a,或二線角θ,或仿射比r,都能得到一個(gè)新的雙曲拋物面。

        4 結(jié)束語

        目前,雖然用解析幾何討論雙曲拋物面已經(jīng)比較全面,但是容易看出,用二仿射對應(yīng)點(diǎn)列來分析,也有其特別之處。如對于截交線的退化,截交線為拋物線時(shí)軸線方向,截交線為雙曲線時(shí)漸近線方向的表示就比較直觀。而且利用二仿射對應(yīng)點(diǎn)列構(gòu)造一個(gè)雙曲拋物面,用計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)也相對變得簡單。

        [1]大連理工大學(xué)工程畫教研室編. 畫法幾何學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1992: 106.

        [2]劉阜平, 丁 勇. 二射影對應(yīng)點(diǎn)列與二級曲線[J].山西礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào), 1996, 52(4): 354-358.

        [3]南開大學(xué)數(shù)學(xué)系《空間解析幾何引論》編寫組編. 空間解析幾何引論[M]. 北京: 人民教育出版社, 1978:154-160.

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