張克涵,顧李馮,王司令

摘 要：針對(duì)旋臂式倒立擺的穩(wěn)定控制問題，建立了二階旋臂式倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用連續(xù)系統(tǒng)線性魯棒H∞最優(yōu)控制理論，通過設(shè)計(jì)旋臂式倒立擺控制系統(tǒng)的魯棒調(diào)節(jié)器，使倒立擺系統(tǒng)在閉環(huán)狀態(tài)下穩(wěn)定并具有較強(qiáng)的魯棒穩(wěn)定性。運(yùn)用Matlab進(jìn)行仿真，通過與傳統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制配置方法相比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)魯棒H∞最優(yōu)控制效果更好。

關(guān)鍵詞：旋臂式倒立擺； 魯棒控制； 線性系統(tǒng)二次最優(yōu)控制； 線性矩陣不等式

中圖分類號(hào)：TN911-34; TM571.6+2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-373X(2011)09-0160-04

Control Design and Simulation of Cantilever Type Inverted Pendulum

ZHANG Ke-han,GU Li-feng,WANG Si-ling

(Northwestern Polytechnical University,Xian 710072,China)

Abstract： The second-order mathematic model for cantilever type inverted pendulum is built in this paper to sdabilize and control the cantilever type inverted pendulum. With the theory of linear robust optimal control,the systematic linear robust optimal controller is designed for the stability of the pendulum under the closed loop state. The simulation of the robust control was performed by means of Matlab. The final result shows that the robust optimal method is more effective than the traditional linear quadratic optimal control method.

Keywords： cantilever type inverted pendulum; robust control; linear quadratic optimal control; linear matrix inequality

0 引 言

倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性、強(qiáng)耦合、多變量和不穩(wěn)定系統(tǒng)。它是兩足機(jī)器人、火箭垂直發(fā)射姿態(tài)控制等許多控制對(duì)象最簡(jiǎn)單的模型，所以被控制研究人員所看好。在對(duì)其控制的實(shí)踐檢驗(yàn)中已獲得了許多控制理論，并不斷地發(fā)掘新的控制理論與方法，可見倒立擺系統(tǒng)的研究有著重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。許多控制理論被用來(lái)控制它，如傳統(tǒng)的PID控制和現(xiàn)代控制中的極點(diǎn)配置法等。本文通過魯棒H∞最優(yōu)控制方法對(duì)旋臂式倒立擺進(jìn)行控制設(shè)計(jì)與仿真。

1 旋臂式倒立擺模型

旋轉(zhuǎn)式倒立擺的結(jié)構(gòu)模型［1］如圖1所示?？梢钥吹?，與傳統(tǒng)的倒立擺以小車和擺臂為研究對(duì)象不同的是，旋臂式倒立擺系統(tǒng)以電機(jī)帶動(dòng)驅(qū)動(dòng)臂，控制擺動(dòng)臂的狀態(tài)。這樣既能克服前者中小車往復(fù)運(yùn)動(dòng)弱點(diǎn)［2］，還能通過用控制電機(jī)電壓的方式，在實(shí)際運(yùn)用中實(shí)現(xiàn)良好的控制。

根據(jù)模型的物理結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，如圖2所示。

圖1 旋臂式倒立擺結(jié)構(gòu)圖

圖2 受力分析圖

有了受力分析圖后，運(yùn)用物理力學(xué)及轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)為系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)臂繞轉(zhuǎn)軸、擺動(dòng)臂繞關(guān)節(jié)、擺動(dòng)臂質(zhì)心建立運(yùn)動(dòng)方程見式(1)~式(4)。系統(tǒng)參數(shù)見表1。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

參數(shù)含義設(shè)定值參數(shù)含義設(shè)定值

fx /N驅(qū)動(dòng)臂和擺動(dòng)臂的水平分量M1 /kg驅(qū)動(dòng)臂的質(zhì)量0.195

fy /N驅(qū)動(dòng)臂與擺動(dòng)臂的作用力的垂直分量M2 /kg擺動(dòng)臂的質(zhì)量0.15

θ1 /rad驅(qū)動(dòng)臂對(duì)垂直方向的角位移J0 /(kg?m2)轉(zhuǎn)子及連接轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量0.000 13

θ2 /rad擺動(dòng)臂對(duì)垂直方向的角位移J1 /(kg?m2)驅(qū)動(dòng)臂對(duì)質(zhì)心處的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量0.004

θ?1 /(rad/s)驅(qū)動(dòng)臂質(zhì)心角速度J2 /(kg?m2)擺動(dòng)臂對(duì)質(zhì)心處的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量0.006 8

θ?2 /(rad/s)擺動(dòng)臂質(zhì)心角速度L1 /m驅(qū)動(dòng)臂質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離0.1

G0 /(N?m/V)轉(zhuǎn)動(dòng)力矩與控制電壓之比0.03L2 /m擺動(dòng)臂質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離0.15

U /V控制電壓L3 /m從關(guān)節(jié)到轉(zhuǎn)軸的距離0.2

g /(m/s2)轉(zhuǎn)子及連接件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.8μ1 /(N?m?s)轉(zhuǎn)軸處的摩擦阻力系數(shù)

μ2/(N?m?s)關(guān)節(jié)處的摩擦阻力系數(shù)

驅(qū)動(dòng)臂繞轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)方程:

(J0+J1+M1L21)1=G0U－μ11+μ2(2－1)+M1L1sin θ1－fxL3cos θ1+fyL3sin θ1

(1)

擺動(dòng)臂繞關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)方程:

(J2+M2L22)2=M2gL2sin θ2－μ2(2－1)－M2(L3sin θ1)″L2cos θ2+M2(L3cos θ1)″L2sin θ2

(2)

擺動(dòng)臂質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程:

M2(L3sin θ1+L2sin θ2)″=fx

(3)

M2(L3cos θ1+L2cos θ2)″=fy－M2g

(4)

將式(1)~式(4)進(jìn)行整理，得到非線性方程:

J0+J1+M1L21+M2L23M2L3L2cos(θ2－θ1)

M2L3L2cos(θ1－θ2)(J2+M2L22)

12+－(M1L1+M2L3)gsin θ1

－M2gL2sin θ2?

μ1+μ2－μ2－M2L3L2cos(θ2－θ1)2

-μ2－M2L3L2sin(θ1－θ2)1μ2

在θ1=0和θ2=0處進(jìn)行線性化處理，即令sin θ=θ，cos θ=1，得到線性方程：

J0+J1+M1L21+M2L23M2L3L2

M2L3L2(J2+M2L22)1

2+－(M1L1+M2L3)gθ1－M2gL2θ2μ1+μ2－μ2

－μ2μ21

2=G00U

(6)

選擇x=［θ1 θ2 1 2］琓為狀態(tài)向量，y=［θ1 θ2］琓為輸入向量，u=U為輸入量，得到狀態(tài)方程：

1000

0100

00J0+J1+M1L21+M2L23M2L3L2

00M2L3L2J2+M2L22θ12

1

2=

0010

0001

－(M1L1+M2L3)g0μ1+μ2－μ2

0－M2gL2－μ2μ2

1

2

1

2+00G00U

(7)

2 魯棒H∞最優(yōu)控制

由于傳統(tǒng)的線性化、忽略次要因素、系統(tǒng)磨損、外界干擾都會(huì)使系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)難以用狀態(tài)方程來(lái)完全描述。魯棒控制為提高系統(tǒng)對(duì)干擾、攝動(dòng)、測(cè)量誤差等不確定性的抵抗能力提供了設(shè)計(jì)方法，并在近幾年得以快速發(fā)展且得以應(yīng)用?？偟膩?lái)說，H∞控制用來(lái)解決H∞范數(shù)描述的標(biāo)稱性能及魯棒穩(wěn)定問題。

按圖3所示，H∞控制問題可描述為給定正數(shù)γ及一般被控對(duì)象G(s)，求反饋控制器K(s)，使得如圖3所示的系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，且由w到z的傳遞矩陣的H∞范數(shù)小于γ。其中：z為評(píng)價(jià)控制性能及模型攝動(dòng)的輸出向量；y為控制器輸入向量；w為評(píng)價(jià)控制性能的輸入向量；u為控制輸入；γ為充分小的正數(shù)。將輸入陣和輸出陣對(duì)應(yīng)進(jìn)行分塊化，得下式：

zy=G11G12G21G22wu=AB1B2

C1D11D12

C2D210

xwu

(8)

則：

Hzw(s)=G11(s)+G12(s)K(s)[I-G22(s)K(s)]-1G21(s)

(9)

圖3 反饋控制系統(tǒng)

本文以狀態(tài)方程的各個(gè)矩陣為考察對(duì)象，求解存在擾動(dòng)w(t)時(shí)，不確定線性倒立擺系統(tǒng)的魯棒H∞最優(yōu)控制問題。

不確定線性系統(tǒng)的描述如下：

(t)=(A+ΔA(t))x(t)+B1w(t)+B2u(t)

z(t)=C1x(t)

(10)

式中：x(t)∈R琻為系統(tǒng)的狀態(tài)；u(t)∈R琺為系統(tǒng)的控制輸入；w(t)∈R琾為系統(tǒng)的外部擾動(dòng)；z(t)∈R琿為系統(tǒng)的輸出；A,B1,B2,C1為已知常數(shù)矩陣，ΔA為具有適當(dāng)維數(shù)的不確定時(shí)變實(shí)矩陣，具有如下形式：

ΔA=DF(t)E

(11)

式中：D∈R琻×r，E∈R琿×n為已知常數(shù)矩陣;F(t)∈R瑀×q為不確定性函數(shù)矩陣，并設(shè)F(t)滿足：

Ω={F(t)|F琓(t)F(t)≤I,衪}

(12)

系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)為：

J=∫∞0(x琓Qx+u琓Ru)dt

(13)

對(duì)于不確定線性系統(tǒng)以及相應(yīng)的性能指標(biāo)，如果存在一個(gè)狀態(tài)反饋u=－Kx(t)，使得閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)所有容許的不確定性ΔA，滿足下面三個(gè)條件：

(1) 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；

(2) 閉環(huán)系統(tǒng)是LQ意義下最優(yōu)的；

(3) 當(dāng)初始x(0)=0時(shí)，從系統(tǒng)的外部擾動(dòng)輸入w(t)到系統(tǒng)輸出z(t)的傳遞函數(shù)Hzw(s)的‖Hzw(s)‖∞<γ，則稱在反饋u=－Kx(t)下魯棒H∞最優(yōu)。

定理：給定常數(shù)γ>0，對(duì)于不確定線性系統(tǒng)和性能指標(biāo)，存在狀態(tài)反饋u=－Kx(t)，使閉環(huán)系統(tǒng)魯棒H∞最優(yōu)的充分必要條件是存在常數(shù)ε>0和正定矩陣P，使得:

A琓P+PA+γ－2PB1B琓1P－PB2R－1B琓2P+

εPDD琓P+1εE琓E+C琓1C1<0

(14)

應(yīng)用Schur補(bǔ)引理結(jié)合式(14)可得到以下推論：給定常數(shù)γ>0，對(duì)于不確定線性系統(tǒng)式(10)和性能指標(biāo)式(13)，存在狀態(tài)反饋u=－Kx(t)，使閉環(huán)系統(tǒng)魯棒H∞最優(yōu)的充分必要條件是存在常數(shù)ε>0、矩陣X=X琓>0和Y，使得如下線性矩陣不等式成立：

φXY琓B1XC琓1XE琓D

*－Q－100000

**－R－10000

***－γ2I000

*** *－I00

** * ** －ε－1I 0

******－εI<0

(15)

式中:φ=AX+XA琓－B2Y－Y琓B琓2。若上式成立，則對(duì)應(yīng)的魯棒H∞最優(yōu)控制律為:

u=－Kx(t)=－YX－1x(t)

(16)

有了線性矩陣不等式，就可以運(yùn)用Matlab中LMI工具箱對(duì)不等式進(jìn)行求解。

以上概念、定理和推論的具體論述過程參見參考文獻(xiàn)［3-5］。

3 旋臂式倒立擺控制仿真過程

3.1 仿真參數(shù)計(jì)算

首先根據(jù)有關(guān)參數(shù)［1］，計(jì)算出各個(gè)狀態(tài)方程標(biāo)稱值如下:

A= 0010

0001

-48.89.9500

21.78-26.3200

B= 002.89-1.29 C= 10000100

3.2 H∞最優(yōu)控制設(shè)計(jì)

根據(jù)能控矩陣的秩和能觀矩陣的秩都為4，可知最優(yōu)控制及u(t)存在，所以可以給系統(tǒng)加上最優(yōu)控制器，使得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，且滿足暫態(tài)性能指標(biāo)。通常為了簡(jiǎn)化且使加權(quán)陣具有明顯的物理意義，將Q選為對(duì)角陣，Q=diag{Q11 Q22Q33Q44}。同時(shí)要注意以下幾個(gè)方面［2］：

(1) 由于系統(tǒng)模型是線性化的結(jié)果，為了使系統(tǒng)各狀態(tài)變量能夠在線性范圍工作，要求狀態(tài)變量不應(yīng)過大。

(2) 閉環(huán)系統(tǒng)最好能有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，這樣有利于克服系統(tǒng)的非線性摩擦，但系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的模不能過大，那樣會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)頻帶過寬，對(duì)噪聲過于敏感，使系統(tǒng)不能正常工作。

(3) 加權(quán)矩陣過小，會(huì)使控制能量大增，以致超過執(zhí)行器能力，使放大器處于飽和狀態(tài)。Qii是對(duì)xi的平方加權(quán)，Qii的相對(duì)增加就意味著系統(tǒng)對(duì)xi的要求變嚴(yán)格，在性能指標(biāo)中的比重大，偏差狀態(tài)相對(duì)減小。因?yàn)楸鞠到y(tǒng)主要的輸出量為θ1和θ2，且在選取加權(quán)對(duì)角陣Q的各元素值時(shí)，用Q11代表驅(qū)動(dòng)臂相對(duì)于垂直方向角位移的權(quán)重，Q22代表擺動(dòng)臂相對(duì)于垂直方向角位移的權(quán)重，所以選取Q11=100，Q22=10。為了使Q為非奇異矩陣,選取Q33=Q44=1。r是對(duì)1控制量的平方加權(quán)，當(dāng)r相對(duì)較大時(shí)，意味著控制費(fèi)用增加，使得控制能量減小，反饋減弱；而r選取較小時(shí)，系統(tǒng)控制費(fèi)用減小，反饋增加，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速，選取R=r=1。

下面考慮攝動(dòng)矩陣ΔA的選取。本文根據(jù)實(shí)際考察轉(zhuǎn)軸處摩擦阻力系數(shù)μ1和關(guān)節(jié)處摩擦阻力系數(shù)μ2的變化給系統(tǒng)帶來(lái)的攝動(dòng)影響，并結(jié)合式(7)和式(16)得:

D=0000

0000

0099.698μ1+144.01μ2－144.01μ2

00－44.31μ1－161.47μ2－161.47μ2

式中:μ1=μ10+Δμ1;μ2=μ20+Δμ2;μ10=0;μ20=0;

Δμ1=0.05;Δμ2=0.002 6;E=I4;F(t)=I4。

通過調(diào)試和實(shí)際對(duì)比選取ε=0.06，γ=0.005，并令B2=B，C1=C，B1=［0 0 -3 -20］琓。

運(yùn)用以上分析的方法并通過Matlab計(jì)算得:

K=［-4.813 9 -28.009 5.301 7 5.132 3］。

3.3 仿真結(jié)果及分析

通過選取擺角一，對(duì)直接運(yùn)用二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)的系統(tǒng)與用H∞最優(yōu)控制設(shè)計(jì)系統(tǒng)的響應(yīng)，分三種情況進(jìn)行比較。無(wú)攝動(dòng)即Δμ1=0，Δμ2=0；第一種攝動(dòng)情況為Δμ1=0.025，Δμ2=0.001 3；第二種攝動(dòng)情況為Δμ1=0.037 5，Δμ2=0.001 95。

通過圖4(a)，圖4(b)響應(yīng)曲線比較不難發(fā)現(xiàn)，采用線性二次型最優(yōu)控制算法雖然在響應(yīng)時(shí)間上比魯棒最優(yōu)控制快些，但其穩(wěn)定時(shí)間明顯慢于魯棒最優(yōu)控制，最重要的是其魯棒性明顯不如后者。無(wú)攝動(dòng)情況下兩者都能達(dá)到穩(wěn)定，響應(yīng)特性各有所長(zhǎng)；但在第一種攝動(dòng)情況下前者的系統(tǒng)穩(wěn)定特性發(fā)生了大的改變，而魯棒最優(yōu)控制卻只發(fā)生了很小的變化；到第二種攝動(dòng)，線性二次最優(yōu)控制已趨近于振蕩，而H∞最優(yōu)控制卻還保持了原有的響應(yīng)特性，并未發(fā)生大的改變。可見，魯棒H∞最優(yōu)控制器較線性二次最優(yōu)控制具有更強(qiáng)的魯棒穩(wěn)定性和綜合性能。

圖4 旋轉(zhuǎn)式倒立擺響應(yīng)曲線

3.4 仿真程序

限于篇幅，部分關(guān)鍵程序如下：

lmiterm(［1 1 1 X］,A,1,′s′);

lmiterm(［1 1 1 Y］,-B2,1,′s′);

lmiterm(［1 1 3 -Y］,1,1);

lmiterm(［1 1 4 0］,B1);

lmiterm(［1 1 5 X］,1,C1′);

lmiterm(［1 1 6 X］,1,E′);

lmiterm(［1 1 7 0］,D);

lmiterm(［1 2 2 0］,-inv(Q));

lmiterm(［1 3 3 0］,-inv(R));

lmiterm(［1 4 4 0］,-gama^2);

lmiterm(［1 5 5 0］,-1);

lmiterm(［1 6 6 0］,-1/sigama*eye(4));

lmiterm(［1 6 7 0］,0);

lmiterm(［1 7 7 0］,-sigama*eye(4));

lmiterm(［-2,1,1,X］,1,1);

4 結(jié) 語(yǔ)

魯棒H∞最優(yōu)控制器具有良好的魯棒穩(wěn)定性，干擾、攝動(dòng)抑制能力，兼具H∞和最優(yōu)控制的優(yōu)點(diǎn)，能夠補(bǔ)充H∞性能指標(biāo)無(wú)法反映工程品質(zhì)和最優(yōu)控制魯棒性不強(qiáng)的弱點(diǎn)，是一般控制方法無(wú)法比擬的。本文通過理論分析，證明了運(yùn)用魯棒H∞最優(yōu)控制可以使旋臂式倒立擺穩(wěn)定并獲得更加良好的魯棒性，能為該理論在旋臂式倒立擺上的實(shí)際運(yùn)用，提供了理論依據(jù)和參考。此外旋轉(zhuǎn)式倒立擺系統(tǒng)又類似于簡(jiǎn)化的吊車吊臂，研究它在現(xiàn)實(shí)生活也有較強(qiáng)的實(shí)用性。

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文