黨存祿 唐斐

(1.蘭州理工大學(xué) 電氣工程與信息工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050;2.甘肅省工業(yè)過程先進(jìn)控制重點實驗室，甘肅 蘭州 730050)

0 引言

隨著對電能質(zhì)量要求的進(jìn)一步提高，間諧波問題也得到了更多的關(guān)注，而對間諧波參數(shù)的準(zhǔn)確測量就成了對其分析和治理需要首要解決的問題。

IEC 61000.2—2中，給出的間諧波定義為:不是基波頻率整數(shù)倍的任意頻率成分都可認(rèn)為是間諧波成分［1］。

目前間諧波的測量方法主要有兩大類，第一類為參數(shù)估計法，包括:改進(jìn)的FFT算法、小波分析法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、基于瞬時無功功率理論法等;第二類為非參數(shù)型估計法，包括:自回歸模型(AR)法、Pisarenko(基于信號特征空間分解)諧波分析法、prony算法、奇異值分解法及改進(jìn)算法、MUSIC算法、特征空間求根算法等［2-3］。改進(jìn)的FFT算法在判斷位置信號分量個數(shù)的環(huán)節(jié)精度低，且計算量大，計算時間長，很難實現(xiàn)信號的同步采樣，因此存在較高的頻譜泄漏;小波變換有良好的時頻特性，但由于小波基函數(shù)的不唯一，使得變換也不唯一，從而導(dǎo)致不易于掌握，且可能產(chǎn)生混頻現(xiàn)象;瞬時無功功率法對于解決諧波總量實時測量方面有優(yōu)勢，所以在電流諧波抑制和諧波補償方面有較廣泛的應(yīng)用，但其最大的不足就是在于不能解決各次諧波的檢測問題且硬件電路復(fù)雜;用自回歸模型確定擾動頻率分布，分辨率得到了提高，但AR模型階數(shù)對譜分辨率有一定影響。本文就將用AR模型中的Burg估計法與MUSIC法對同一信號進(jìn)行仿真并對實驗結(jié)果進(jìn)行比較，從而驗證MUSIC法在間諧波估計中的優(yōu)勢［2-6］。

1 基于MUSIC算法的間諧波計算方法

多重信號分類(MUSIC)算法是Schmidt R O等人在1979年提出的。這一算法的提出開創(chuàng)了空間譜估計算法研究的新時代，促進(jìn)了特征結(jié)構(gòu)類算法的興起和發(fā)展，該算法已經(jīng)成為空間譜估計理論體系中的標(biāo)志性算法。MUSIC算法的基本思想是對任意陣列輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，根據(jù)特征值確定信號源的數(shù)量，從而得到由信號特征向量組成的信號子空間和由噪聲向量組成的噪聲子空間，利用它們的相互正交關(guān)系確定信號來源方向［8-9］。

整個空間譜估計系統(tǒng)由三個部分組成:空間信號入射、空間陣列接收及參數(shù)估計。相應(yīng)地可分為三個空間，即目標(biāo)空間、觀察空間及估計空間。結(jié)構(gòu)框圖見圖1。

目標(biāo)空間是一個由信號源的參數(shù)與復(fù)雜環(huán)境參數(shù)張成的空間。對于空間譜估計系統(tǒng)，就是利用特定的一些方法從這個復(fù)雜的目標(biāo)空間中估計出信號的未知參數(shù)。觀察空間是利用空間按一定方式排列的陣元，來接收目標(biāo)空間的輻射信號。由于環(huán)境的復(fù)雜性，所以接收數(shù)據(jù)中包含信號特征(方位、距離、極化等)和空間環(huán)境特征(噪聲，雜波，干擾等)。估計空間是利用空間譜估計技術(shù)及相關(guān)技術(shù)從復(fù)雜的觀察數(shù)據(jù)中提取信號的特征參數(shù)［9］。

圖1 空間譜估計的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

1.1 歐拉變換

將空間譜估計方法引入到間諧波分析中，遇到的第一個問題就是間諧波信號是時域信號，而上述方法則是針對空間域的，所以首先要進(jìn)行信號域的變換。常用于實現(xiàn)這種變換的方法有兩種:歐拉變換和希爾伯特變換。

使用希爾伯特變換，經(jīng)時域采樣序列會變?yōu)閺?fù)序列，其最大的優(yōu)點是信號源數(shù)等于正弦成分?jǐn)?shù)，但希爾伯特變換過程會給空間譜分析帶來較大的誤差;若采用歐拉公式進(jìn)行變換則相對誤差較小，且得到的接收矩陣不需要進(jìn)一步計算就可以直接應(yīng)用空間譜分析，因此本文采用歐拉公式的方法進(jìn)行變換［7-8］。

設(shè)含有諧波的電流或電壓表示為

經(jīng)歐拉公式變換后得

化簡整理得

令f(t)以不同時間開始，各時移間隔為均為Δt，就可以獲得一系列時移信號。這一系列信號可以假設(shè)為空域中N個陣元的接收信號，形成N×1維快拍接收數(shù)據(jù)矢量F(t).

通過上述方法，就將時域信號轉(zhuǎn)變?yōu)榭沼虻慕邮招盘?，變換成矩陣形式為

即

其中A(ω')為導(dǎo)向矢量陣;S(t)為變換后得到的空域信號，N(t)為噪聲信號，分析時認(rèn)為是理想的高斯白噪聲，且噪聲與信號互相獨立，噪聲間也互相獨立。

1.2 MUSIC算法參數(shù)求解

假設(shè)信號窄帶遠(yuǎn)場信號X(t)，則其數(shù)學(xué)模型為［10］

陣列數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

由于信號與噪聲相互獨立，數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可分解為與信號、噪聲相關(guān)的兩部分，其中RS是信號的協(xié)方差矩陣，ARSAH是信號部分，S為目標(biāo)空間的信號源陣列，σ2為誤差方差，I表示單位矩陣。對R進(jìn)行特征分解得

式中，US是由大特征值對應(yīng)的特征矢量張成的子空間也即信號子空間，而UN是由小特征值對應(yīng)的特征矢量張成的子空間，也即噪聲子空間。

理想條件下數(shù)據(jù)空間的信號子空間和噪聲子空間是相互正交的，即信號子空間中的導(dǎo)向矢量也是與噪聲子空間正交的，即

經(jīng)典的MUSIC算法正是基于上述性質(zhì)提出的，但是考慮到實際接收數(shù)據(jù)矩陣式有限長的，即數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的最大似然估計為

所以MUSIC算法的譜估計公式為

當(dāng)導(dǎo)向適量屬于信號子空間時aH(θ)是一個趨近于零的值，而當(dāng)導(dǎo)向適量不屬于信號子空間時，aH(θ)是一個不為零的值，從而運用上述公式得到的空間譜在信號源方向會產(chǎn)生很尖的譜峰，而在其他地方相對平坦。通過上述估算，從而得到了信號的各頻率數(shù)。

2 仿真結(jié)果及分析

設(shè)含有諧波、間諧波的信號為

式中，Ai、fi、φi分別表示信號中對應(yīng)正弦分量的幅值、頻率、初相位參數(shù)。為便于比較，同時在該信號中加入最大幅值為0.1的高斯噪聲信號，具體參數(shù)設(shè)定見表1。

表1 分量參數(shù)設(shè)定

采樣頻率fs=1 000，樣本長度N=1 024，模型的階數(shù)p=17，分別運用Burg算法和MUSIC算法得到的結(jié)果見圖2和圖3。

觀察圖2和3可以發(fā)現(xiàn)，在隨機噪聲的影響下，當(dāng)階數(shù)P=17時，Burg算法不能分辨出54 Hz的頻率成分，而MUSIC算法則能分辨出所有設(shè)定的頻率成分。將P=17時的仿真數(shù)據(jù)與理論值對比如表2和表3，可以得到結(jié)論，由MUSIC算法得到的仿真值更逼近理論值。

表2 Burg算法仿真結(jié)果與理論值的比較

表3 music算法仿真結(jié)果與理論值的比較

如果提高模型階數(shù)，使階數(shù)P=45.對同一信號進(jìn)行仿真，則可得圖4和圖5。

表4 MUSIC算法與Burg算法誤差比較(P=17)

分析圖4和圖5可以看到，當(dāng)P=45時，Burg算法雖然能夠分辨出所有的頻率成分，但是在基頻(50 Hz)位置卻出現(xiàn)了譜線分裂現(xiàn)象，如果進(jìn)一步提高階數(shù)會使得譜分裂現(xiàn)象更嚴(yán)重;而MUSIC在階數(shù)增大的情況下仍然能很好的分辨各頻率成分。

將本文中的Burg算法和MUSIC算法仿真得到的誤差進(jìn)行比較，見表4，可見MUSIC算法的精度更高。

3 結(jié)束語

本文在比較了Burg算法和MUSIC算法的基礎(chǔ)上，研究了間諧波的分析方法，通過大量仿真分析得出結(jié)論，MUSIC算法對于電力系統(tǒng)中含有諧波和間諧波成分的實際信號，在信號FFT的頻譜中能更準(zhǔn)確地對信號頻率成分進(jìn)行估計，進(jìn)一步的實驗還可以證明，在較低信噪比及較短的采樣時間下對間諧波參數(shù)的檢測精度好。

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