劉毅男，李述清，張勝修，周帥偉

(第二炮兵工程學院，西安 710025)

0 引言

PID控制是最早發(fā)展起來的控制策略之一。由于其結構簡單、魯棒性好、易于現(xiàn)場調試，PID控制也是迄今為止工業(yè)過程控制中應用最廣泛的控制方法，幾十年來對單變量PID控制參數(shù)設計方法也得到國內外的廣泛研究［1］，著名的有 Ziegler-Nichols設定法、臨界靈敏度法、極點配置法、增益相位裕度法等。但是PID控制有其固有的缺陷，即PID控制本質上只適用于定常被控對象。對于過程的某一特定工作點，采用常規(guī)PID參數(shù)設計方法就能使系統(tǒng)獲得滿意的控制效果。但對于操作條件改變的時變系統(tǒng)，由于其工作范圍和特性變化較大，此時期望用一個PID控制器來完成對系統(tǒng)全工作范圍的優(yōu)良控制是不合適的，常規(guī)PID參數(shù)設計方法難以繼續(xù)保持良好的控制品質［2］。因而利用魯棒控制技術進行PID控制器的設計成為近年來人們研究的一個熱點課題。針對模型不確定對象，通常采用的方法有:

1)依據(jù)某種與誤差有關的最優(yōu)性指標，通過優(yōu)化指標來完成設計［2］，這類方法注重系統(tǒng)的響應品質，但是優(yōu)化計算量較大;

2)基于特定魯棒理論進行 PID控制器設計［3－4］，這類方法理論嚴密，但算法結構復雜，需要艱深的數(shù)學基礎，缺乏工程直觀性。另外，文獻［5－7］基于閉環(huán)增益成形算法給出了一種簡潔的魯棒PID設計方法，在船舶控制中獲得較好的效果。

目前國內外正在使用的航空發(fā)動機通常仍然使用傳統(tǒng)的PID控制［9］。自然地，PID參數(shù)的整定方法成為人們關注的問題，并得到廣泛研究［8－13］。但是，基本方法仍是優(yōu)化方法或理論方法。對于航空發(fā)動機這種典型的工程應用對象，研究簡潔而有效的PID設計方法是很有必要的。

對此，本文展開閉環(huán)增益成形PID方法在某型航空發(fā)動機控制系統(tǒng)設計中的應用研究，獲得了有意義的結論。

1 閉環(huán)增益成形PID設計原理

對于一個典型的單位負反饋控制系統(tǒng)，被控對象為Gp，控制器為 Gc，閉環(huán)傳遞函數(shù)為 φ=GGc/(1+GGc)。閉環(huán)增益成形控制算法是在H∞魯棒控制理論框架下提出的，它避免了權函數(shù)的選擇而對系統(tǒng)進行閉環(huán)增益成形，其核心是確定期望閉環(huán)傳遞函數(shù)φ*的最終希望的形狀，從而能保證設計出的控制器具有良好的魯棒性和魯棒性能。H∞魯棒控制混合靈敏度優(yōu)化問題，主要在求取一定的魯棒控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)S和補靈敏度函數(shù)φ(即閉環(huán)傳遞函數(shù))具有圖1所示的典型形狀［6］。

圖1 典型S和φ奇異值曲線圖Fig.1 Graph about singularity of S ＆ φ

為了簡便起見，對于一個跟蹤控制問題，設期望最終閉環(huán)系統(tǒng)具有下面一階形式:

其中T為時間常數(shù)。顯然，此時閉環(huán)系統(tǒng)φ*的截至頻率為1/T，且其S和φ的奇異值線與圖1相似。

即，直接由被控對象Gp表達式設計得到控制器Gc。

考慮二階深嚴格真對象G=b0/(a2S2+a1S+a0)，代入式(2)，得:

顯然式(3)中Gc具有傳統(tǒng)PID控制器的形式:

對比式(3)和式(4)，可得PID控制器系數(shù)為

于是，式(5)即為PID控制器設計方法，這里稱為LTR-PID?？偨Y上述分析過程，該方法結合了理論指導的普適性和工程設計的直觀性，設計步驟直接而簡潔，計算量也很小，可以預設最終閉環(huán)系統(tǒng)截止頻率，具有很強的工程實用價值。

2 仿真實例

2.1 航空發(fā)動機增益成形PID控制器設計

以某渦扇發(fā)動機主供油量Wf對風扇轉速Nf的線性化數(shù)學模型為例，其傳遞函數(shù)為

式(6)為在0高度0馬赫數(shù)下發(fā)動機線性化模型。為了簡單起見，省略了增量符號Δ。發(fā)動機主供油量執(zhí)行機構被視為時間常數(shù)為0.1 s的慣性環(huán)節(jié)，則閉環(huán)系統(tǒng)結構如圖2所示。于是，被控對象應為發(fā)動機主供油量執(zhí)行機構及發(fā)動機，且其傳遞函數(shù)為一高階形式。通過傳遞函數(shù)單位階躍響應擬合近似，可得其二階深嚴格真形式的傳遞函數(shù)為

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)結構圖Fig.2 Closed loop system structure

為獲得合適的響應速度，取期望回路時間常數(shù)T=0.15 s，根據(jù)式(5)、式(6)易得 LTR-PID 控制器參數(shù)為:Kp=9.8382，Ki=20.4687，Kd=0.8501。另外，文獻［8］給出優(yōu)化PID控制器參數(shù)為:Kp=9.933，Ki=11.146，Kd=0.808。

考慮工程實現(xiàn)性，由于純微分環(huán)節(jié)不能物理實現(xiàn)，幾乎所有PID控制系統(tǒng)都會附加一階低通濾波器來實現(xiàn)近似微分，即Gc=Kp+Ki·1/S+Kd·S/(1/N·S+1)，其中常數(shù)N一般取較大值。進一步，取值N=100，分別將LTR-PID控制器和文獻［8］給出的優(yōu)化PID控制器換成該形式，再將上述兩組PID分別作用發(fā)動機轉速控制系統(tǒng)所得階躍響應比較，如圖3所示，轉速Nf階躍響應保持明顯的一階響應特征，這與前面選取期望最終閉環(huán)系統(tǒng)為式(1)的形式一致。

根據(jù)圖3中仿真結果，相比文獻［8］提供設計方法，由于該LTR-PID控制器參數(shù)設計過程簡潔，計算量小，以理論為指導又不失工程直觀性，又能獲得滿意的控制效果，這很好地展現(xiàn)出該方法的快速性和有效性特點。

圖3 轉速Nf階躍響應Fig.3 Step response of Nf

2.2 發(fā)動機模型攝動情形控制效果

典型地，對發(fā)動機標稱模型G考慮如下加型攝動:

其中:系數(shù)dA反映系統(tǒng)實際發(fā)動機模型G*相比標稱模型G的偏差程度。下面考慮模型攝動dA=0.8、1.2時，LTR-PID控制器作用效果，如圖4中所示。轉速Nf受發(fā)動機模型攝動有一定影響，但系統(tǒng)都能保持穩(wěn)定，階躍響應均無超調，且轉速穩(wěn)態(tài)精度控制一致。同時，受發(fā)動機模型攝動影響而使系統(tǒng)增益不同會導致主供油量Wf穩(wěn)態(tài)值不同，這與圖4中仿真結果相一致。

圖4 考慮模型攝動情形閉環(huán)響應Fig.4 Simulation with model uncertainty

圖4直觀說明LTR-PID控制器對發(fā)動機模型攝動具有較好的魯棒性能，也顯示了在H∞魯棒控制理論框架下發(fā)展的閉環(huán)回路成形設計方法的有效性。

3 結論

本文在文獻［5］工作的基礎上，擴展了閉環(huán)回路成形魯棒PID設計方法在航空發(fā)動機上的應用，并對該型控制系統(tǒng)進行了仿真和比較。仿真結果表明:

1)本文設計所得PID控制器具有良好的控制品質，檢驗了PID設計方法的有效性;

2)相比文獻［8］提供設計方法，該方法具有工程背景直觀且便于理解，設計步驟直接而簡潔，計算量小、魯棒性能好的特點，具有很強的工程適用性。

進一步考慮，該方法完全可以用于PID控制參數(shù)優(yōu)化初值的選取，這樣可以極大減小初值選取的盲目性和經(jīng)驗要求，并有利于改善后續(xù)優(yōu)化收斂。

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