李 莉， 孫富春， 裴衛(wèi)東

(1.天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，天津 300387;2.清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系人工智能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084)

0 引言

由于存在強(qiáng)的柔性模態(tài)，帶撓性附件航天器可以用含小攝動(dòng)參數(shù)的多時(shí)標(biāo)非線性系統(tǒng)進(jìn)行描述。由于多時(shí)標(biāo)系統(tǒng)中病態(tài)問(wèn)題的存在，對(duì)其建模與控制比較困難。以往的處理方法通常是忽略較小的時(shí)間常數(shù)，對(duì)近似模型進(jìn)行分析和綜合［1－4］。這種方法實(shí)際上是僅對(duì)系統(tǒng)中呈慢變化部分的狀態(tài)變量保留了小參數(shù)的零階近似，而對(duì)系統(tǒng)中呈快變化部分的狀態(tài)變量，不僅忽略了其小參數(shù)的高階近似，也使得它在邊界層內(nèi)的值丟失了主要項(xiàng)，達(dá)到失真的程度。采用這種方法設(shè)計(jì)控制器，雖然能夠降低控制器的階次和簡(jiǎn)化其結(jié)構(gòu)，但是往往不能滿足系統(tǒng)的性能要求，甚至?xí)?dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

由于奇異攝動(dòng)理論能夠描述帶有小參數(shù)的高階微分方程，從20世紀(jì)60年代末到70年代初開(kāi)始，用奇異攝動(dòng)理論來(lái)研究、討論多時(shí)標(biāo)系統(tǒng)的分析和綜合問(wèn)題成為這一領(lǐng)域的主要方法并逐漸發(fā)展成熟。但是現(xiàn)有的控制策略都需要奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的模型已知，而且多用于線性系統(tǒng)，這在工業(yè)領(lǐng)域有時(shí)候很難達(dá)到。既然智能控制理論如模糊集和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論已經(jīng)成功用于許多具有不確定性和建模誤差的實(shí)際系統(tǒng)［5－6］，它們同樣可以用于模型部分或全部未知的奇異攝動(dòng)系統(tǒng)控制中。

孫富春及其課題組最早提出了一種模糊奇異攝動(dòng)模型并在此領(lǐng)域開(kāi)展了一系列研究工作［7－9］。在給出模糊奇異攝動(dòng)模型的定義的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了當(dāng)攝動(dòng)參數(shù)足夠小時(shí)的閉環(huán)穩(wěn)定性分析，并提出了鎮(zhèn)定并行分布式補(bǔ)償控制器，對(duì)連續(xù)或離散系統(tǒng)，其控制器增益可以分別歸結(jié)為一組LMI或BMI，后者可以利用迭代LMI方法有效地求解。鑒于模糊奇異攝動(dòng)模型能夠?qū)⒍鄷r(shí)標(biāo)非線性系統(tǒng)通過(guò)隸屬函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐幌盗卸鄷r(shí)標(biāo)線性系統(tǒng)的插值，適用于多時(shí)標(biāo)線性系統(tǒng)的方法可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兓糜诜蔷€性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)中。為減少LMI或BMI方法求解控制器的保守性問(wèn)題，提出一種基于模糊奇異攝動(dòng)模型的自適應(yīng)控制器，用于存在不確定性的帶撓性附件航天器的跟蹤控制中，采用Lyapunov方法保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果證明，所設(shè)計(jì)的控制器能夠獲得較好的跟蹤效果［10－12］。

以上提出的控制方法，絕大多數(shù)要求模糊奇異攝動(dòng)模型的規(guī)則后件或者部分或者完全已知，這在實(shí)際系統(tǒng)中，有時(shí)很難達(dá)到。為此，本文將進(jìn)一步深化研究奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的控制問(wèn)題。當(dāng)模糊奇異攝動(dòng)模型的規(guī)則后件參數(shù)完全未知時(shí)，提出一種直接型自適應(yīng)控制器，其中狀態(tài)反饋的增益可以在線調(diào)整。最后將此控制器用于后件參數(shù)未知的模糊奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的模型跟蹤控制中，并與初始條件及參考模型相同但后件參數(shù)已知情況下設(shè)計(jì)的魯棒控制器相比較，仿真結(jié)果證明了該自適應(yīng)控制器的有效性。

1 問(wèn)題闡述

設(shè)一大類奇異攝動(dòng)系統(tǒng)如柔性機(jī)械手能夠由以下數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述:

其中:ri是子系統(tǒng)的相對(duì)階rp+1=2。x(t)和z(t)分別是快慢狀態(tài)向量;x(t)=和為控制輸入;fi(x，z)，gij(x，z) 為未知函數(shù);ε是小的正數(shù)。

(1)可以寫成

系統(tǒng)(1)、系統(tǒng)(2)可以建立由一系列“如果－則”規(guī)則描述的模糊奇異攝動(dòng)模型。假設(shè)第l條規(guī)則如下。

Rl:如果v1是且…且vN是ΨlN，則

給定輸入輸出對(duì)x(t)和u(t)，TS模型可以合成為

這里xm(t)∈Rn表示參考模型的狀態(tài)，r(t)∈Rp為有界參考輸入。

定義跟蹤誤差為

控制目標(biāo)即設(shè)計(jì)控制器u(t)，使得被控對(duì)象的狀態(tài)x(t)跟蹤穩(wěn)定參考模型的動(dòng)態(tài)xm(t)，即當(dāng)t→∞時(shí)，e(t)→0。

2 自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

由于矩陣Hl和Ll未知，假設(shè)此時(shí)的理想控制律為

則可得閉環(huán)系統(tǒng)為

則閉環(huán)系統(tǒng)等價(jià)于式(7)，因?yàn)槭?7)為穩(wěn)定系統(tǒng)，則有當(dāng)t→ ∞ 時(shí)，e(t)→0。

對(duì)式(8)求導(dǎo)得

將式(12)代入式(13)，可得

則有

所以式(14)即為

對(duì)式(18)求導(dǎo)得

取自適應(yīng)律為

將式(21)、式(22)代入式(20)得

由此得到定理1。

定理1考慮式(3)所示的被控系統(tǒng)和穩(wěn)定參考模型(6)，采用控制律(12)和自適應(yīng)律(21)、(22)，假設(shè)參考輸入r(t)和參考狀態(tài)量xm(t)一致有界，則能夠保證在控制量和輸入信號(hào)有界的情況下，當(dāng)t→∞時(shí)，e(t)→0。

證明:由式(23)得，對(duì)于任意的 t＞0，有 e(t)，有界。因?yàn)閤m(t)有界，則X(t)有界。又因?yàn)閞(t)∈L∞，根據(jù)式(12)得u(t)∈L∞。因此閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)有界。所以

由式(23)可以得到

因此有e(t)∈L2。

由于小參數(shù)ε的存在，在求解LMI的過(guò)程中會(huì)存在病態(tài)?？梢粤钍?19)變化為不等式

只要使得公共矩陣P滿足式(26)

討論:設(shè)計(jì)參考模型(6)的首要條件是穩(wěn)定，其次需滿足線性矩陣不等式(19)。在參考模型穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，式(19)中的Pε應(yīng)該很容易求得。最后在保證以上兩個(gè)基本條件的前提下，可以通過(guò)選取不同的參考輸入r(t)和參考模型的矩陣參數(shù)，以達(dá)到優(yōu)化跟蹤系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能的目的。例如，可以通過(guò)增加矩陣Am特征根的數(shù)值，提高閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)速度。

3 仿真驗(yàn)證

本部分將設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)控制器，使得即使模糊奇異攝動(dòng)模型的規(guī)則后件參數(shù)未知，閉環(huán)系統(tǒng)仍然能夠跟蹤穩(wěn)定參考模型的狀態(tài)。假設(shè)該模糊奇異攝動(dòng)模型由兩條規(guī)則建立，其規(guī)則如下所述。

Rl:如果x1(t)是，則

這里

則可得

假設(shè)隸屬函數(shù)為

穩(wěn)態(tài)參考模型的參數(shù)為

假設(shè) ε =0.11，求解式(19)得

這里參數(shù) A1，A2，B1，B2未知，需要按照式(12)和式(21)、式(22)設(shè)計(jì)控制律和自適應(yīng)律，仿真結(jié)果如圖1～圖5的實(shí)線部分所示。為了便于比較，同時(shí)假設(shè)模糊奇異攝動(dòng)模型的參數(shù)已知，對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)魯棒控制器，仿真結(jié)果如圖1～圖5點(diǎn)劃線部分所示。

圖1 跟蹤誤差e1(t)Fig.1 Tracking error of e1(t)

圖2 跟蹤誤差e2(t)Fig.2 Tracking error of e2(t)

圖3 快變量z(t)Fig.3 Fast variable of z(t)

圖4 控制量u1(t)Fig.4 Controller of u1(t)

圖5 控制量u2(t)Fig.5 Controller of u2(t)

從圖1～圖5可以看出，與模糊奇異攝動(dòng)模型規(guī)則后件參數(shù)已知時(shí)采取魯棒控制所得到的仿真結(jié)果相比，采用本文提出的方法使得閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間都略有增加，原因在于本章提出的方法是基于模型規(guī)則后件參數(shù)未知情況下提出的，控制器的增益需要通過(guò)自適應(yīng)調(diào)整才能達(dá)到穩(wěn)定值。雖然如此，在15 s以后，控制器輸出仍然能夠達(dá)到穩(wěn)定，系統(tǒng)的慢狀態(tài)較好地跟蹤了參考模型的狀態(tài)，而快狀態(tài)能夠保持穩(wěn)定。

4 結(jié)論

本章提出當(dāng)模糊奇異攝動(dòng)模型的參數(shù)完全未知情形下的自適應(yīng)跟蹤控制，不需要模糊奇異攝動(dòng)模型精確已知，控制器的增益值可以在線自適應(yīng)調(diào)整，仿真結(jié)果證明了方法的有效性。

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