花寅東，趙利強(qiáng)，鄒士新

(中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009)

0 引言

對于雷達(dá)型導(dǎo)彈導(dǎo)引頭已截獲目標(biāo)后的導(dǎo)彈系統(tǒng)制導(dǎo)精度分析，CADET算法獲得了廣泛的應(yīng)用，并有了系統(tǒng)的分析方法和模式。但對于導(dǎo)彈遙控精度這一類問題的分析，目前仍無有效的分析方法。

本文采用一個簡單的二維導(dǎo)彈模型，僅考慮導(dǎo)彈的非線性誤差、導(dǎo)彈的加速度計誤差、以及機(jī)載雷達(dá)的目標(biāo)探測誤差，并引入CADET算法進(jìn)行定量計算，從而得出各誤差對遙控精度的不同影響程度，成功地對該類問題進(jìn)行編程和仿真。該分析結(jié)果有助于設(shè)計者進(jìn)行針對性設(shè)計和調(diào)整，提高遙控精度，進(jìn)而提高導(dǎo)彈的制導(dǎo)精度，增大導(dǎo)彈的截獲概率。

1 誤差模型

遙控過程工作中的主要誤差源有以下幾個:載機(jī)和導(dǎo)彈坐標(biāo)系的初始對準(zhǔn)誤差、非線性因素的誤差、機(jī)載雷達(dá)的目標(biāo)探測誤差以及慣性器件誤差。為了使仿真結(jié)果更具代表性，應(yīng)該盡可能將上述誤差都考慮進(jìn)去，不過同時工作量也會有很大的增加。綜合考慮后，假設(shè)載機(jī)和導(dǎo)彈坐標(biāo)系初始對準(zhǔn)很精確，慣性器件中的陀螺也沒有誤差，考慮導(dǎo)彈的非線性因素誤差、導(dǎo)彈的加速度計誤差、機(jī)載雷達(dá)的目標(biāo)探測誤差對遙控精度的影響。

1.1 非線性因素誤差模型

遙控過程中，非線性因素也有很多，如:加速度指令限制、彈體的非線性、坐標(biāo)變換、導(dǎo)引頭天線罩像差等。在此，考慮加速度指令限制，讓導(dǎo)彈的y向加速度經(jīng)過一個限幅器，得到真實(shí)的y向加速度，可用式(1)表示:

處理該非線性因素時，對該模型采用準(zhǔn)線性化，先求其統(tǒng)計量:

對其進(jìn)行準(zhǔn)線性化:

其中的參數(shù)可直接利用式(1)計算:

其中的函數(shù)定義如下:

1.2 導(dǎo)彈加速度計誤差模型

遙控過程中，導(dǎo)彈y向加速度由加速度計測量［2］，所得誤差為

式中:ax，ay，az為導(dǎo)彈 x，y，z向加速度;Sy為標(biāo)度因數(shù)誤差;Mx，Mz為交叉耦合因數(shù);Bf為測量零偏;Bv為振擺誤差系數(shù);ny為隨機(jī)零偏。

而事實(shí)上，考慮的是加速度計的誤差整體對遙控精度的影響，因此若是用上述表達(dá)式來分析，所得到的也是加速度計誤差的各個分量對遙控精度的影響。所以，此處不采用該誤差模型，而直接假設(shè)加速度計誤差為一個高斯白噪聲R(x，t)，其統(tǒng)計量函數(shù)可設(shè)定為均值是0，方差為一常數(shù)。即:

1.3 機(jī)載雷達(dá)目標(biāo)探測誤差模型

同樣的，用機(jī)載雷達(dá)測得的目標(biāo)加速度，其誤差也用一個高斯白噪聲表示，且與加速度計誤差白噪聲互不相關(guān)，其統(tǒng)計量函數(shù)均值也是0，方差為一常數(shù)。表達(dá)如下。

另外的，CADET算法的作用函數(shù)w(t)分解為確定性分量與隨機(jī)分量之和，事實(shí)上其中的隨機(jī)分量也可以認(rèn)為是噪聲誤差項(xiàng)。為了研究方便，同樣認(rèn)為該隨機(jī)分量是一個高斯白噪聲，這些白噪聲相互獨(dú)立，互不相關(guān)。

2 系統(tǒng)模型

真實(shí)的系統(tǒng)模型需要對導(dǎo)彈以及目標(biāo)進(jìn)行力和力矩分析，分別列出運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)方程，之后求解出各個參數(shù)。不過在此，所研究的主要是導(dǎo)彈和目標(biāo)的加速度，涉及的參數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于真實(shí)的系統(tǒng)。因此，可以直接忽略動力學(xué)方程，只需對導(dǎo)彈和目標(biāo)進(jìn)行運(yùn)動學(xué)的假設(shè)，就可以推導(dǎo)出整個系統(tǒng)的方程。

導(dǎo)彈的遙控過程示意圖見圖1［1］。

圖1 導(dǎo)彈遙控過程示意圖Fig.1 The sketch map of missile’s remote control process

遙控過程需要的時間為T(即攔截時間為T)，考慮t時刻的情況，則還需要飛行的時間為tgo=T－t。導(dǎo)彈、目標(biāo)的速度與加速度都在圖1中標(biāo)注，不再具體說明。

考慮y方向上的相對距離y(t)，與y方向的導(dǎo)彈加速度、目標(biāo)加速度有如下關(guān)系:

自動駕駛儀用如下線性模型的傳遞函數(shù)表示:

載機(jī)測得目標(biāo)加速度后將數(shù)據(jù)傳遞給導(dǎo)彈，導(dǎo)彈采用比例導(dǎo)引律接近目標(biāo)，加速度指令a0是與目標(biāo)線角速度和徑向速度之積成正比，比例系數(shù)k取為常數(shù)3，即:

則未限制的導(dǎo)彈y向加速度滿足微分方程:

實(shí)際上，導(dǎo)彈的y向加速度還需要經(jīng)過一個理想限幅器，模擬彈體的結(jié)構(gòu)飽和效應(yīng)，其表達(dá)式已在誤差模型式(1)給出。

并假設(shè)目標(biāo)加速度是確定性變量與有限帶寬的高斯過程之和，滿足:

式中:w為目標(biāo)機(jī)動帶寬，仿真時取一常數(shù);w(t)為隨機(jī)輸入。

至此，就有足夠的運(yùn)動學(xué)假設(shè)方程，取狀態(tài)量為

由式(9)、式(12)、式(13)，經(jīng)過近似、化解，可以得到狀態(tài)方程如下(具體推導(dǎo)過程可參見參考文獻(xiàn)［1］):

這時，再加入誤差模型，實(shí)測值表達(dá)為真實(shí)值加上誤差項(xiàng)，真實(shí)值依然滿足各個假設(shè)的運(yùn)動學(xué)方程。即:

狀態(tài)量取其實(shí)測值，各個運(yùn)動學(xué)方程都需要做變形。如式(9)變?yōu)?/p>

同理修正式(12)、式(13)，得到新的狀態(tài)方程為

這時，狀態(tài)方程的最后一項(xiàng)G、w(t)均發(fā)生了變化。再利用下述性質(zhì):

1)高斯隨機(jī)過程的線性組合還是高斯隨機(jī)過程;

2)高斯隨機(jī)過程的微分(積分)還是高斯隨機(jī)過程;

3)高斯隨機(jī)過程的微分(積分)后得到的高斯隨機(jī)過程，統(tǒng)計量函數(shù)是原來的統(tǒng)計量函數(shù)的微分(積分)。

性質(zhì)1)、性質(zhì)2)在介紹高斯隨機(jī)過程的書籍中都有推導(dǎo)與證明，在這里可以簡單證明一下性質(zhì)3)。

考慮高斯隨機(jī)過程分布函數(shù)為f(x，t)，統(tǒng)計量函數(shù)為均值函數(shù)m(t)，方差函數(shù)σ(t);微分后的高斯隨機(jī)過程統(tǒng)計量函數(shù)為均值函數(shù) m'(t)，方差函數(shù)σ'(t)。

方差函數(shù)σ(t)的推導(dǎo)證明復(fù)雜一些，但考慮到此時要處理的噪聲函數(shù)m(t)均為常數(shù)0，則其微分也為0，此時有:

同樣的，可以推導(dǎo)高斯隨機(jī)過程積分后的統(tǒng)計量函數(shù)表達(dá)式。

對誤差項(xiàng)進(jìn)行化解，化成一個噪聲項(xiàng)，令:

其系數(shù)為對角矩陣:

至此，可以按照定義重新計算該噪聲的統(tǒng)計量得:

其中:參數(shù)b和q是隨機(jī)輸入w(t)的輸入統(tǒng)計量，分別代表均值和方差。

將非線性項(xiàng)f(x3)按照式(2)～式(5)進(jìn)行準(zhǔn)線性化，并將狀態(tài)方程的等式右邊前兩項(xiàng)整體作為一個非線性函數(shù)，則可以推出:

并由 N(t)的計算公式［3］得:

之后代入統(tǒng)計量微分傳遞方程［4］:

此時，就得到了統(tǒng)計量(包括均值向量和協(xié)方差矩陣)的微分傳遞方程，依次迭代、積分就能得到每一個時刻的統(tǒng)計量，再對此協(xié)方差矩陣進(jìn)行分析，就能看出誤差的影響情況了。

至此，完成了系統(tǒng)模型的建立。

3 仿真結(jié)果分析

上文推導(dǎo)的系統(tǒng)狀態(tài)方程以及CADET算法微分傳遞方程，在已有條件下按照式(27)、式(28)可以得到解算，設(shè)定均值向量m與協(xié)方差矩陣P的初值為0，目標(biāo)機(jī)動帶寬w定為1 rad/s，時間常數(shù)τ為1 s，遙控過程的攔截時間T=10 s。

此時，有3 個誤差項(xiàng) amax、Rm(x，t)、Rt(x，t)會對 y向距離均方值σy產(chǎn)生影響，分別代表導(dǎo)彈非線性因素誤差、導(dǎo)彈加速度計誤差、機(jī)載雷達(dá)的目標(biāo)探測誤差。其中的兩個噪聲項(xiàng)由于均值統(tǒng)計量為0，因此主要是噪聲的方差σm、σt對y向距離均方值σy造成影響，其中σy越大，表明y向距離在均值上下起伏的波動越大，誤差也就越大。

當(dāng) amax=8e10、σm=2、σt=2 時，得到的誤差分析曲線與無誤差時CADET算法解算該模型的曲線［1］比較接近，表明該算法的可行性是可以保障的。如圖2所示。

圖2 amax無限制、噪聲方差很小時的誤差分析曲線Fig.2 Curve of error with unbounded amaxand small noise variance

但實(shí)際上，amax不可能做到無限制，往往是令其取中等限制amax=8，這時候的曲線在t=7 s之后就能明顯地看出是對非線性系統(tǒng)進(jìn)行近似的準(zhǔn)線性系統(tǒng)。此時，再對σm、σt固定其中一個，令另一個的數(shù)值進(jìn)行變動，得到很形象的三維曲線圖，即圖3。

圖3 誤差曲線隨誤差源變動的三維曲面圖Fig.3 The 3D error analysis

從圖3中可以看出，當(dāng)導(dǎo)彈加速度計誤差σm很小時，誤差σy在達(dá)到峰值之后，又收斂回零點(diǎn);但隨著導(dǎo)彈加速度計誤差σm的增大，σy－t誤差曲線也一直在增大，σy峰值的幅度越來越大，取到峰值的時間也在增大，當(dāng)σm增大到一定程度(約為數(shù)值8)后，取到峰值的時間在攔截時間T外，這意味著誤差曲線在整個遙控過程中是一直發(fā)散的。而機(jī)載雷達(dá)的目標(biāo)探測誤差σt很小時，誤差σy在達(dá)到峰值之后，又收斂回零點(diǎn);隨著σt增大，σy越來越快地取到峰值，其峰值的幅度越來越大，之后收斂速度越來越慢，以至在最后攔截時間T時，誤差σy的數(shù)值還很大。

圖4 增大各誤差后，誤差曲線的變化Fig.4 The change of error curve

此外，還可以對這3個誤差源的影響程度做分析:讓誤差源在程序中對應(yīng)的參數(shù)各自增大同一個數(shù)值(仿真時取3)，將某項(xiàng)參數(shù)改變后的誤差曲線集中畫在一個圖中，就能直觀地看出哪個誤差源對誤差的影響最大。但要注意的是，讓非線性因素誤差源增大，對應(yīng)的是限幅器的幅值amax減小，這樣對應(yīng)的線性范圍減小，增大了非線性因素;其他的兩項(xiàng)誤差源對應(yīng)的參數(shù)都應(yīng)該增大。如圖4所示，可以直觀地看出，導(dǎo)彈加速度計誤差σm是對整個誤差影響最大的一個誤差源，在t=7.8 s之前機(jī)載雷達(dá)的目標(biāo)探測誤差次之，非線性因素誤差最末;而t=7.8 s之后非線性誤差更加明顯。這與遙控過程實(shí)際工作時的誤差分析是一致的。

4 結(jié)論

本文將CADET算法應(yīng)用到導(dǎo)彈的遙控過程進(jìn)行精度分析，在誤差源很小的情況下得到的分析曲線與無誤差時CADET算法解算該模型的曲線十分吻合，表明將該算法應(yīng)用到遙控過程誤差模型中是行之有效的。

量化計算誤差源對精度的影響，從而判斷出最大誤差源是導(dǎo)彈加速度計誤差，也和實(shí)際相符，這說明了該算法在遙控過程誤差模型中的精度分析上具有獨(dú)到之處。

略微不足的是本文為研究方便，并沒有采用導(dǎo)彈六自由度的模型，而只是對相關(guān)參數(shù)做了合適的運(yùn)動學(xué)方程假設(shè);對遙控過程中“載機(jī)－導(dǎo)彈－目標(biāo)”這三者組成的系統(tǒng)的工作過程也沒有深入地分析。這可以作為下一步的工作，不斷完善系統(tǒng)模型，對真實(shí)的導(dǎo)彈模型進(jìn)行分析，從而能更精確地進(jìn)行導(dǎo)彈遙控過程精度分析。

［1］TAYLOR J H.戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)直接統(tǒng)計分析手冊［M］.趙善友，譯.上海:第八二五○研究設(shè)計所，1978，12:9-13，49-50.

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