劉 哲，賈宏杰

(天津大學(xué)智能電網(wǎng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

一種暫態(tài)功角穩(wěn)定故障損失估計(jì)方法

劉 哲，賈宏杰

(天津大學(xué)智能電網(wǎng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

在進(jìn)行電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估時(shí)，科學(xué)估算故障引起的系統(tǒng)損失是其核心問(wèn)題．為此，將故障引起的損失看作將系統(tǒng)從不穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定狀態(tài)所需要的最小控制代價(jià)，借助軌跡靈敏度技術(shù)，將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)考慮暫態(tài)穩(wěn)定約束的最優(yōu)潮流問(wèn)題實(shí)現(xiàn)求解．推導(dǎo)了發(fā)電機(jī)相對(duì)功角同發(fā)電機(jī)及負(fù)荷功率之間的靈敏度系數(shù)；利用靈敏度系數(shù)和發(fā)電機(jī)相對(duì)功角形成系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定約束，將之引入最優(yōu)潮流實(shí)現(xiàn)對(duì)故障最小控制代價(jià)的求解；并且利用IEEE-14、New England-39節(jié)點(diǎn)等系統(tǒng)驗(yàn)證了所提方法的正確性和有效性．

暫態(tài)穩(wěn)定；風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估；軌跡靈敏度；最優(yōu)潮流

隨著我國(guó)電力系統(tǒng)的發(fā)展，聯(lián)網(wǎng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，系統(tǒng)中的不確定性因素不斷增加，通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)分析，合理評(píng)估不確定性因素對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的影響意義重大[1]．風(fēng)險(xiǎn)分析的難點(diǎn)是如何準(zhǔn)確估算故障引發(fā)系統(tǒng)失穩(wěn)后所造成的損失，利用最優(yōu)穩(wěn)定控制代價(jià)來(lái)近似估計(jì)系統(tǒng)損失，為該問(wèn)題的求解提供了一種可行的途徑[1]．文獻(xiàn)[2]采取預(yù)先設(shè)定低壓減載策略對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行緊急控制，以獲得控制代價(jià)；文獻(xiàn)[3]采取發(fā)電機(jī)維修、啟動(dòng)和出力調(diào)整費(fèi)用以及負(fù)荷緊急控制費(fèi)用來(lái)代替系統(tǒng)失穩(wěn)造成的損失；文獻(xiàn)[4]則利用動(dòng)態(tài)安全域?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行預(yù)防控制和緊急控制，從而得到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)不安全的風(fēng)險(xiǎn)代價(jià)．上述方法都需針對(duì)故障預(yù)設(shè)控制策略，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)會(huì)存在一定局限性．

軌跡靈敏度能夠在暫態(tài)過(guò)程中的每一個(gè)時(shí)刻提供系統(tǒng)豐富的運(yùn)行信息，且不受元件模型限制[5]，近年來(lái)在考慮暫態(tài)穩(wěn)定約束的最優(yōu)潮流(OPF with transient stability constraints，OTS)[6-7]和暫態(tài)穩(wěn)定控制優(yōu)化(包括預(yù)防控制[8-11]和緊急控制[12])等方面得到成功應(yīng)用．筆者將故障引起系統(tǒng)失穩(wěn)后的損失，視為將系統(tǒng)從不穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定狀態(tài)所需最小控制代價(jià)，將之轉(zhuǎn)化為一個(gè)OTS問(wèn)題加以求解．故障中的暫態(tài)穩(wěn)定約束通過(guò)發(fā)電機(jī)相對(duì)功角加以考慮，后者則利用軌跡靈敏度近似加以估計(jì)[13]；發(fā)電機(jī)出力調(diào)整和負(fù)荷裁減作為控制手段，不同的控制手段具有不同的控制代價(jià)(成本)．當(dāng)發(fā)電機(jī)備用容量充足時(shí)，優(yōu)先調(diào)整發(fā)電機(jī)出力(控制成本較低)來(lái)維持系統(tǒng)穩(wěn)定；而當(dāng)發(fā)電機(jī)備用容量不足時(shí)，則通過(guò)控制成本更高的負(fù)荷裁減措施來(lái)保證系統(tǒng)穩(wěn)定，其優(yōu)化過(guò)程更貼合實(shí)際．

1 軌跡靈敏度

1.1 基本原理

電力系統(tǒng)軌跡靈敏度方法最早由Pai等[5]提出，它認(rèn)為暫態(tài)過(guò)程中的系統(tǒng)狀態(tài)變量同系統(tǒng)參數(shù)和狀態(tài)變量初值近似滿足線性關(guān)系，而線性系數(shù)即為系統(tǒng)的軌跡靈敏度．

電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)可用微分-代數(shù)方程表示為

式中：x為系統(tǒng)狀態(tài)變量；y為系統(tǒng)代數(shù)變量；λ為系統(tǒng)控制變量；x0、y0分別表示狀態(tài)變量和代數(shù)變量的初值．將式(1)對(duì)λ 求偏導(dǎo)可得

式中：xλ、yλ分別為系統(tǒng)軌跡對(duì)控制變量λ的靈敏度矩陣，分別為微分方程組對(duì)狀態(tài)變量、代數(shù)變量和控制變量的偏導(dǎo)；分別為代數(shù)方程組對(duì)狀態(tài)變量、代數(shù)變量和控制變量的偏導(dǎo)數(shù)．根據(jù)系統(tǒng)初始運(yùn)行點(diǎn)可求得軌跡靈敏度的初試條件，將式(1)和式(2)聯(lián)立求解即可得到系統(tǒng)各時(shí)刻的軌跡靈敏度．

1.2 發(fā)電機(jī)功角同其有功出力間的靈敏度

當(dāng)發(fā)電機(jī)采取經(jīng)典模型時(shí)，電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

式中：δi、ωi、Mi、Pg,i、Ei′分別為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角、轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、機(jī)械功率和內(nèi)電勢(shì)；Gii、Gij為僅保留發(fā)電機(jī)內(nèi)節(jié)點(diǎn)后，系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣元素的實(shí)部；分別為為系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣元素的虛部；m為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)數(shù)．

對(duì)式(3)兩端分別求發(fā)電機(jī)k有功出力Pg,k的偏導(dǎo)數(shù)可得

由發(fā)電機(jī)機(jī)端功率方程可得

式中：iI˙為發(fā)電機(jī)注入網(wǎng)絡(luò)的電流；iS、iα分別為發(fā)電機(jī)輸出的視在功率和功率因數(shù)角；Vi、θi分別為發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓幅值和相角．

發(fā)電機(jī)內(nèi)電勢(shì)iE′˙可表示為

因此，有

式(9)兩端分別對(duì)Pg,k求偏導(dǎo)數(shù)，得

式(7)兩端分別對(duì)Pg,k求偏導(dǎo)數(shù)，得

發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)無(wú)功注入方程為

式中n為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)．

式(12)兩端分別對(duì)Pg,k求偏導(dǎo)數(shù)得

又知穩(wěn)態(tài)時(shí)的發(fā)電機(jī)機(jī)械功率為

式(15)兩端分別對(duì)Pg,k求偏導(dǎo)數(shù)，可得

1.3 發(fā)電機(jī)功角同負(fù)荷有功間的靈敏度

假設(shè)負(fù)荷采取恒阻抗模型，式(3)兩端分別對(duì)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)k的有功負(fù)荷PL,k求偏導(dǎo)數(shù)，得

式(18)兩端分別對(duì)PL,k求偏導(dǎo)數(shù)，得

對(duì)于恒阻抗負(fù)荷而言，等值導(dǎo)納可表示為

當(dāng)發(fā)電機(jī)采用較復(fù)雜模型時(shí)，依然可以推導(dǎo)出發(fā)電機(jī)功角同發(fā)電機(jī)有功出力、負(fù)荷有功和無(wú)功間的靈敏度關(guān)系[14]．但對(duì)于復(fù)雜模型，為便于計(jì)算，可利用數(shù)值方法進(jìn)行軌跡靈敏度的求解[13]．

當(dāng)系統(tǒng)控制參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，利用已求得的發(fā)電機(jī)絕對(duì)功角的軌跡靈敏度，可近似估計(jì)發(fā)電機(jī)ij之間相對(duì)功角的變化量，即

2 基于靈敏度的電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定最小控制成本模型

2.1 暫態(tài)穩(wěn)定最小控制成本模型

將軌跡靈敏度和最優(yōu)潮流相結(jié)合，求解非線性?xún)?yōu)化問(wèn)題，即可得暫態(tài)穩(wěn)定最小控制成本，其模型為

約束條件為

上述模型中式(24)表示針對(duì)某故障的控制成本，包括上調(diào)發(fā)電機(jī)出力的成本、下調(diào)發(fā)電機(jī)出力成本和裁減負(fù)荷成本．為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本模型將3種控制代價(jià)均考慮為控制量的線性函數(shù)，進(jìn)一步亦可采用二次、線性分段成本函數(shù)[15]，其求解過(guò)程與上述模型類(lèi)似；式(25)和式(26)分別為有功和無(wú)功潮流方程；式(27)為線路潮流約束；式(28)為節(jié)點(diǎn)電壓約束；式(29)、式(30)和式(31)分別為發(fā)電機(jī)有功出力上調(diào)量約束、下調(diào)量約束和無(wú)功約束；式(32)表示負(fù)荷裁減量約束；式(33)表示暫態(tài)功角約束．

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，對(duì)于負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，在進(jìn)行負(fù)荷有功裁減時(shí)，負(fù)荷無(wú)功裁減量計(jì)算式為即在控制過(guò)程中，負(fù)荷功率因數(shù)考慮為恒定，若負(fù)荷模型為其他形式，將其考慮成最優(yōu)控制模型的約束條件即可同理求解，式(34)中θ表示負(fù)荷的功率因數(shù)角向量．

式(24)～式(33)屬于典型的含非線性約束最優(yōu)化模型，求解過(guò)程較為簡(jiǎn)單，求解的流程如圖1所示，利為收斂判據(jù)，當(dāng)2個(gè)條件同時(shí)滿足時(shí)，表明系統(tǒng)已無(wú)可調(diào)發(fā)電機(jī)和負(fù)荷，則程序結(jié)束．

圖1 功角穩(wěn)定控制流程Fig.1 Flow chart of angle stability control

2.2 優(yōu)化模型的幾點(diǎn)說(shuō)明

(1) 對(duì)于系統(tǒng)中的平衡機(jī)，只有在其他發(fā)電機(jī)和負(fù)荷調(diào)整不能滿足系統(tǒng)潮流平衡時(shí)，才參與潮流調(diào)整，為達(dá)此目的，將平衡機(jī)的有功出力調(diào)整費(fèi)用取為普通發(fā)電機(jī)調(diào)整費(fèi)用的2倍．

(2) 模型中的式(33)為系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定約束，當(dāng)發(fā)電機(jī)相對(duì)功角超過(guò)δlim時(shí)即認(rèn)為系統(tǒng)發(fā)生暫態(tài)失穩(wěn)．不妨假設(shè)系統(tǒng)中有m個(gè)發(fā)電機(jī)和l個(gè)負(fù)荷，則有Cm2個(gè)發(fā)電機(jī)相對(duì)功角，其中有c個(gè)相對(duì)功角絕對(duì)值大于δlim，進(jìn)而有

(3) 用圖2簡(jiǎn)單解釋式(33)中tsen時(shí)刻的選取原則，該圖給出了一個(gè)3機(jī)簡(jiǎn)單系統(tǒng)的相對(duì)功角：2號(hào)機(jī)和1、3號(hào)機(jī)的功角相互擺開(kāi)，圖中只畫(huà)出了δ23和δ13，曲線δ12和δ23非常近似，但不重合．在t＞后，δ12、δ23絕對(duì)值將大于δlim，而相對(duì)功角δ13的絕對(duì)值一直小于δlim．假設(shè)在δ12、δ23曲線中，δ12最先達(dá)到δsen，此時(shí)刻記為，為了保證在時(shí)刻之前所有相對(duì)功角都位于[?δlim,δlim]內(nèi)，取tsen=．δsen和δlim是預(yù)先設(shè)定的一個(gè)相對(duì)功角的閾值，不同系統(tǒng)閾值的選取可能不同[10]，δlim越小表明穩(wěn)定區(qū)域越小，暫態(tài)穩(wěn)定最優(yōu)控制成本將越大，考慮到功角穩(wěn)定問(wèn)題大多是單擺失穩(wěn)，因此δsen一般選取在2π到10π之間即可．本文暫不考慮預(yù)設(shè)閾值對(duì)算法的影響，對(duì)同一系統(tǒng)δsen和δlim取值相同．

圖2 發(fā)電機(jī)相對(duì)功角曲線示意Fig.2 Sketch of relative rotor angle curves

(4) 在式(33)中，有

式中

靈敏度矩陣的構(gòu)成式為

由于負(fù)荷按照恒功率因數(shù)進(jìn)行處理，因此將發(fā)電機(jī)相對(duì)功角同無(wú)功負(fù)荷的靈敏度按照相應(yīng)的功率因數(shù)折合到有功負(fù)荷靈敏度中表示發(fā)電機(jī)i和j之間的相對(duì)功角同負(fù)荷q間的靈敏度，且有

式中qθ為負(fù)荷q的功率因數(shù)角．

3 算例分析

以IEEE-14和New England-39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，對(duì)本文中方法進(jìn)行驗(yàn)證，計(jì)算中取δlim＝π[10]，ε=0.05MW．對(duì)于14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，發(fā)電機(jī)采用次暫態(tài)模型，負(fù)荷采取恒阻抗負(fù)荷，δsen＝5π；對(duì)于39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，發(fā)電機(jī)采用經(jīng)典模型，負(fù)荷采用恒阻抗模型，δsen＝10π．除平衡節(jié)點(diǎn)以外其他發(fā)電機(jī)控制費(fèi)用：=10 K/MW，平衡節(jié)點(diǎn)的控制費(fèi)用：=＝20 K/MW，負(fù)荷控制費(fèi)用：CL＝30 K/MW，K為某種貨幣單位．

3.1 IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

假設(shè)線路2-4靠近節(jié)點(diǎn)2處發(fā)生三相短路，臨界切除時(shí)間tcr＝0.29 s，設(shè)此故障由于控制設(shè)備原因，其實(shí)際切除時(shí)間為：tcl＝1.5tcr＝0.435 s，節(jié)點(diǎn)電壓最大值均取1.15 p.u.，節(jié)點(diǎn)電壓最小值均取0.85 p.u.，此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)如圖3所示的失穩(wěn)情況．

圖3 發(fā)電機(jī)功角曲線(IEEE-14)Fig.3 Rotor angle curves(IEEE-14)

從圖3中可以清晰地看到發(fā)電機(jī)被分成了{(lán)1，2}和{3，4，5}2組．

情景1 當(dāng)發(fā)電機(jī)有功備用充足時(shí)，不需要調(diào)整負(fù)荷，只通過(guò)調(diào)整發(fā)電機(jī)出力即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定，控制結(jié)果如表1所示，最小控制代價(jià)為1,225.10,K．調(diào)整后各發(fā)電機(jī)功角曲線如圖4所示，從圖4可以看出，經(jīng)過(guò)發(fā)電機(jī)調(diào)整系統(tǒng)可保持暫態(tài)穩(wěn)定．

表1 情景1的發(fā)電機(jī)控制結(jié)果(IEEE-14)Tab.1 Results of generator control for scenario 1(IEEE-14)

圖4 情景1調(diào)整后發(fā)電機(jī)功角曲線(IEEE-14)Fig.4 Rotor angle curves after control for scenario 1 (IEEE-14)

情景2 當(dāng)發(fā)電機(jī)備用不足時(shí)，僅靠調(diào)整發(fā)電機(jī)，將不能達(dá)到系統(tǒng)穩(wěn)定的目的，此時(shí)還應(yīng)伴隨負(fù)荷裁減控制．作為示例，不妨假設(shè)G3、G4、G5號(hào)發(fā)電機(jī)有功出力的最大值由原先的100,MW變成20,MW，通過(guò)優(yōu)化計(jì)算，發(fā)電機(jī)和負(fù)荷的調(diào)整結(jié)果如表2和表3所示．此時(shí)，發(fā)電機(jī)和負(fù)荷總的控制費(fèi)用為3,294.67,K，調(diào)整后發(fā)電機(jī)的功角曲線如圖5所示，可以看出系統(tǒng)亦能保持穩(wěn)定，但由于發(fā)電機(jī)有功儲(chǔ)備較小，需要進(jìn)行負(fù)荷裁減，情景2的控制代價(jià)要高于情景1．

3.2 New England-39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

假設(shè)線路22-21靠近節(jié)點(diǎn)22處發(fā)生三相短路，臨界切除時(shí)間tcr＝0.13 s，因某種原因，系統(tǒng)實(shí)際故障切除時(shí)間變?yōu)椋簍cl＝1.5tcr＝0.2,s，節(jié)點(diǎn)電壓最大值取1.15 p.u.，節(jié)點(diǎn)電壓最小值取0.85,p.u.，此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)如圖6所示的失穩(wěn)情況，從圖6中可以看出10臺(tái)發(fā)電機(jī)被分為{1，3，4，5，8，9}、{2}、{6，7}、{10}4組．

表2 情景2的發(fā)電機(jī)控制結(jié)果(IEEE-14)Tab.2 Results of generator control for scenario 2(IEEE-14)

表3 情景2的負(fù)荷控制結(jié)果(IEEE-14)Tab.3 Results of load control for scenario 2(IEEE-14)

圖5 情景2調(diào)整后發(fā)電機(jī)功角曲線(IEEE-14)Fig.5 Rotor angle curves after control for scenario 2 (IEEE-14)

圖6 發(fā)電機(jī)功角曲線(New England-39)Fig.6 Rotor angle curves(New England-39)

情景1 當(dāng)發(fā)電機(jī)備用充足時(shí)，發(fā)電機(jī)調(diào)整結(jié)果如表4所示．由于發(fā)電機(jī)均具有充足的有功調(diào)解備用，因此故障后，通過(guò)調(diào)整發(fā)電機(jī)出力即可保證系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定運(yùn)行，系統(tǒng)最小控制成本為9,564.39,K，控制后系統(tǒng)功角曲線如圖7所示．

情景2 假設(shè)10號(hào)發(fā)電機(jī)有功出力最大值由1,600,MW變?yōu)?,400,MW，系統(tǒng)將沒(méi)有足夠的發(fā)電機(jī)備用容量可調(diào)，因此同樣的故障出現(xiàn)后，單純依靠發(fā)電機(jī)調(diào)整無(wú)法保證系統(tǒng)穩(wěn)定，必須輔以負(fù)荷裁減，此時(shí)系統(tǒng)的控制方案和最小控制成本示于表5和表6．不難看出，由于發(fā)電機(jī)缺乏足夠的有功備用，系統(tǒng)的故障控制成本升高變?yōu)?1,128.62,K，控制后的系統(tǒng)功角曲線示于圖8．

圖7 情景1調(diào)整后的發(fā)電機(jī)功角曲線(New England-39)Fig.7 Rotor angle curves after control for scenario 1 (New England-39)

表4 情景1的發(fā)電機(jī)控制結(jié)果(New England-39)Tab.4 Results of generator control for scenario 1(New England-39)

表5 情景2發(fā)電機(jī)控制結(jié)果(New England-39)Tab.5 Results of generator control for scenario 2(New England-39)

表6 情景2負(fù)荷控制結(jié)果(New England-39)Tab.6 Results of load control for scenario 2(New England-39)

圖8 情景2調(diào)整后發(fā)電機(jī)功角曲線(New England-39)Fig.8 Rotor angle curves after control for scenario 2 (New England-39)

4 結(jié) 語(yǔ)

本文中提出了一種基于軌跡靈敏度的暫態(tài)功角穩(wěn)定故障損失估計(jì)方法，將故障損失用將系統(tǒng)從不穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定狀態(tài)所需要最小控制代價(jià)加以考慮．利用軌跡靈敏度技術(shù)近似估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)變化后發(fā)電機(jī)相對(duì)功角的變化量，進(jìn)而將暫態(tài)穩(wěn)定約束引入最優(yōu)潮流模型，以發(fā)電機(jī)調(diào)整和負(fù)荷裁減作為控制手段，實(shí)現(xiàn)最小控制代價(jià)的求解．本文尚未考慮故障隨機(jī)性的影響，但經(jīng)過(guò)大量算例驗(yàn)證(包括不同的故障線路、不同的故障類(lèi)型和切除時(shí)間等)，算法對(duì)所有故障具有普遍適用性，這為進(jìn)一步開(kāi)展電力系統(tǒng)暫態(tài)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估研究奠定了基礎(chǔ)．

［1］ 薛禹勝，劉 強(qiáng)，董朝陽(yáng)，等. 關(guān)于暫態(tài)穩(wěn)定不確定性分析的評(píng)述[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2007，31(14)：1-6.

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An Evaluation Method for Transient Stability Contingency Cost

LIU Zhe，JIA Hong-jie
(Key Laboratory of Smart Grid of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

In power system transient stability risk assessment，it is a core issue to properly estimate the cost consequences caused by instability events. In this paper，the cost consequences of a contingency are considered as the minimum control cost to move the system from instability to stability under the contingency. Trajectory sensitivity is employed to properly consider the transient stability constraints in the optimal power flow(OPF).The minimum objective of the OPF is the determination of contingency cost. The sensitivities of the relative rotor angle with respect to the output of generator and the dispatchable load are firstly derived. The information is then used to imitate the transient stability constraints in the OPF. The correctness and effectiveness of the proposed method in this paper is finally validated by some systems，such as IEEE 14-bus system and New England 39-bus system.

transient stability；risk assessment；trajectory sensitivity；optimal power flow

TM712

A

0493-2137(2011)09-0759-09

2010-09-20；

2010-11-18．

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)資助項(xiàng)目(2009CB219701，2010CB234600)；天津市科技發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(09JCZDJC 25000)；“十一五”國(guó)家科技支撐計(jì)劃重大資助項(xiàng)目(2006BAJ03A06)；博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目.

劉 哲（1985— ），男，博士研究生，liuzhe@tju.edu.cn.

賈宏杰，hjjia@tju.edu.cn.