張玲玲 ，王化祥，范文茹

(1. 天津大學理學院，天津 300072；2. 天津大學電氣與自動化工程學院，天津 300072)

電阻層析成像(electrical resistance tomography，ERT)可對封閉的管道或過程容器設備內部多相介質進行可視化測量，非常適用于以液相為連續(xù)相的多相流檢測[1-3]．圖像重建是ERT系統(tǒng)的關鍵問題之一．傳統(tǒng)的圖像重構方法，如共軛梯度法、Tikhonov正則化方法等均是基于2范數(shù)的優(yōu)化方法．2范數(shù)處理適用于具有一定光滑性的信號重建，但不能有效地表征信號的稀疏性．ERT圖像重建的信號通常具有很強的稀疏性，基于 2范數(shù)重建圖像邊界模糊，圖像質量不高．為能更好地反映ERT重建信號的稀疏性，獲得相對理想的重建效果，筆者采用基于 1范數(shù)的1l正則化最小二乘法(1l-regularized least-squares programs，LSPs)進行ERT圖像重建，引入?yún)?shù)λ的自適應選擇標準，將其與Tikhonov正則化方法進行比較，并通過仿真實驗驗證其有效性．

1 ERT圖像重建

1.1 ERT系統(tǒng)工作模式

筆者的研究組開發(fā)的 ERT系統(tǒng)， 設計 16敏感電極陣列，采用相鄰激勵模式，如圖 1所示．敏感陣列獲取被測物場分布的投影信息，測量和數(shù)據(jù)收集所獲得的物場信息將傳給主控計算機，進行圖像重建與顯示，從而實現(xiàn)對被測物場的監(jiān)測和控制[3-4]．

圖1 ERT系統(tǒng)結構Fig.1 ERT system structure

1.2 ERT問題的數(shù)學模型

ERT技術是根據(jù)敏感場的電導率分布獲得的物場媒質分布信息．在敏感長邊界施加激勵電流，當場內電導率分布變換時，導致場內電勢分布變換，從而使場域邊界上的測量電壓發(fā)生變化．通過一定的圖像重建算法可重建出場內的電導率分布．

根據(jù)似穩(wěn)場理論的麥克斯韋方程，對于 ERT敏感場內任意一點滿足[5]

式中：S為電流密度；σ為電導率；E為電場強度；φ為場內電勢分布.由式(1)～式(3)，φ滿足

ERT滿足第2類邊界條件，其形式可表示為

式中l(wèi)I為電極l的注入電流．

1.3 ERT圖像重建

ERT實現(xiàn)一般基于數(shù)值方法，分正問題和逆問題．正問題是已知敏感場內被測介質的電導率分布和敏感場的邊界條件(外部激勵電流)，求解電磁場的電勢分布．通過有限元仿真軟件(COMSOL)獲得正問題的解．對正問題的求解可獲取場內所有節(jié)點的電位信息，根據(jù)敏感電極邊界的測量信息，求解敏感場內介質的電導率分布并重建出物場分布圖像，即為ERT逆問題．逆問題由于測量數(shù)據(jù)少，存在嚴重的病態(tài)性，測量數(shù)據(jù)的微小擾動可導致解的劇烈變化甚至發(fā)散．因此，ERT問題的解決主要依賴于逆問題求解，即圖像重建算法的計算精度和速度．

通常，電學系統(tǒng)方程進行線性化處理，ERT系統(tǒng)對應的方程為

式中：J是Jacobian矩陣；δU為隨σ變化的邊界電極間電壓差：δσ為內部場域的電導率的變化值．為方便起見，式(7)轉化為線性系統(tǒng)方程

由于矩陣 A 通常為大型稀疏的欠定矩陣，從而式(8)的解不存在或者不唯一．

2 算法分析

2.1 最小二乘法

求解病態(tài)方程組 =Ax y比較有效的算法是最小二乘法．對于 ERT系統(tǒng)來講，靈敏度矩陣 A是欠定矩陣，方程組的解不存在或者不唯一，通過求最小范數(shù)最小二乘解作為其最優(yōu)解，即

由于矩陣A不對稱，求廣義逆過程較復雜． 為簡化求解，將欠定矩陣對應的線性方程組求解問題轉化為對稱矩陣對應的線性方程組求解，即將問題(9)轉化為

求解的解析方法由下面的定理給出．

定理 1[6]對任意非零矩陣A ∈，方程組(10)解存在且 x = A+b為方程組的解．這里 A+是矩陣 A的廣義逆．

問題轉化成凸規(guī)劃問題，通過相應的優(yōu)化算法實現(xiàn)解此問題常用的算法有共軛梯度法和Landweber迭代法等[7-8]．

由于ERT系統(tǒng)的靈敏度矩陣A具有很強的稀疏性和病態(tài)性，對稱矩陣TAA的譜趨近于零，導致問題的嚴重不適定性．為了克服病態(tài)性對問題求解精度的影響，一般采用 Tikhonov正則化方法[9]，其優(yōu)化算法的形式為

式中λ為正則化參數(shù)．

式(12)的解析解表達式為

當λ是 ATA的正則點時，ATA?λI可逆．λ選擇適當時，此方法可有效求解方程(9)的不適定性，但參數(shù)λ的選取需要憑經(jīng)驗選定．式(12)是用二次規(guī)劃的優(yōu)化算法得到式(13)的數(shù)值解，計算速度快，實時性強，對于ERT圖像重建問題具有一定的效果．

以上算法是基于2l范數(shù)誤差估計的計算方法，不可避免地會將原問題過度光滑，從而使不光滑的信息丟失，空間的分辨率不高．對于 ERT應用的大多數(shù)領域，被測區(qū)域的介質往往存在不連續(xù)性，靈敏度矩陣 A具有很強的稀疏性．基于 2范數(shù)的最小二乘法無法反映 ERT系統(tǒng)的稀疏性和不連續(xù)性，為了改善圖像重建質量，借鑒Tikhonov正則化思想，改變誤差估計方式，采用1l正則化的最小二乘法進行圖像重建．

2.2 LSPs方法及其實現(xiàn)

對于方程(8)，當矩陣 A是稀疏的或其解具有可壓縮性時，將方程(8)的求解轉化[10]為

式(14)與式(12)不同之處在于罰函數(shù)用 1范數(shù)代替 2范數(shù)．LSPs方法是基于壓縮傳感理論發(fā)展起來的，特別針對大型稀疏線性方程組求解的新方法．既能克服問題的不適定性，同時能反映矩陣的稀疏性，避免2范數(shù)將問題過度平滑的缺點[11-12]．

內點法是目前求解 1范數(shù)優(yōu)化問題最精確的算法，該方法由加州理工的壓縮傳感研究組提出[13]．整個過程是把 1 范數(shù)轉化為不等式限制，再把不等式轉化為門限函數(shù)進而去掉不等式．然后用迭代法進行求解．

為了去掉式(14)中的 1范數(shù)，引進新的變量iu，使其滿足

從而式(14)變換為

對式(15)中的限制條件 ? xi≤ ui≤ xi定義對數(shù)門限函數(shù)(logarithmic barrier function)為

設置門限函數(shù)是模擬不等式的限制，從而有約束條件的二次規(guī)劃問題式(15)變成無約束二次規(guī)劃問題，即

參數(shù)t的變化范圍為 0～∞．采用牛頓迭代法為基本原理，每次迭代令 t增大，增大的方式是按照序列，…, 其中μ＞1．

搜索方向可通過所表示的Newton系統(tǒng)的精確求解得到，即

式中：H為Hession矩陣；H = ?2φt(x,u ) ∈Rn×2n；迭代的步長采用回追步長搜索方法．

該算法中，參數(shù)λ的選擇是問題的關鍵，決定計算速度和成像質量．從前面分析可知，λ在之間變化，當0λ→時接近問題的解，當時， 0x→ ．如果選擇過小，必然導致計算時間過長，實時性較差；如果λ選擇過大，將會嚴重影響計算結果的準確度．事實上，λ取決于問題的稀疏程度．對于確定的方程(8)，的大小反映了問題的稀疏度，選擇即可．不失一般性，令．如果矩陣的稀疏性較差，為得到更好的效果，令

3 仿真實驗結果

采用有限元方法模擬不同流型分布驗證本文提出的方法．ERT系統(tǒng)采用 16個電極，圖像采用 812像素剖分．計算機配置為 Pentium(R)，2.93 GHz CPU、1G內存，以 MATLAB7.6為測試平臺．分別用Landweber迭代算法、共軛梯度法、Tikhonov正則化方法和LSPs進行圖像重建．表1是4種不同算法的重建效果，表2是4種算法的迭代次數(shù)與耗時．

由實驗結果不難看出，Tikhonov正則化方法所獲得的重建圖像形狀接近真實，但是邊界模糊，且圖像中存在干擾，需要進一步借助先驗知識增強重構圖像的魯棒性．而LSPs算法中，可清楚分離不同物質，沒有干擾信息，控制參數(shù)λ的選擇具有自適應性．模型(1)、(2)，參數(shù)取值，模型(3)、(4)參數(shù)取值．LSPs算法迭代次數(shù)相對Tikhonov正則化方法迭代次數(shù)增多，實時性較差．有待進一步改進算法提高其實時性．

表1 圖像重建算法的仿真實驗結果Tab.1 Simulation experimental results of image reconstruction algorithm

表2 迭代次數(shù)與耗時Tab.2 Iterations and elapsed time

4 結 語

針對 ERT逆問題的嚴重不適定性和信號的稀疏性，采用基于1l正則化的最小二乘法，將罰函數(shù)項由傳統(tǒng)的2范數(shù)改成1范數(shù)，改善了Tikhonov算法將問題過度平滑的缺點．采用該方法得到的重建圖像，在不同介質分割的邊緣處沒有偽影，重建效果理想．

此外，基于1l正則化的最小二乘法中，參數(shù)λ的選擇具有一定的自適應性，相對于較小即可．一般選擇

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