鞏長忠，楊 敏

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

時(shí)變時(shí)滯和不確定模糊廣義系統(tǒng)的魯棒H∞控制

鞏長忠，楊 敏

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

討論了一類時(shí)變時(shí)滯參數(shù)不確定模糊廣義系統(tǒng)的二次穩(wěn)定性與魯棒H∞控制問題。應(yīng)用新的T-S模糊系統(tǒng)模型對其進(jìn)行了描述，并給出了系統(tǒng)的二次穩(wěn)定性定義。應(yīng)用新的Lyapunov函數(shù)和線性矩陣不等式，給出了判定系統(tǒng)二次穩(wěn)定的更為松弛的條件。一個(gè)H∞狀態(tài)控制器確保了閉環(huán)系統(tǒng)具有H∞性能。最后的仿真實(shí)例驗(yàn)證了結(jié)論的有效性和可行性。

魯棒H∞控制；模糊廣義系統(tǒng)；時(shí)變時(shí)滯；參數(shù)不確定性；線性矩陣不等式

在實(shí)際工程中，許多非線性、不確定性、多變、時(shí)滯、有界干擾使得控制對象的精確數(shù)學(xué)模型難以建立，單一運(yùn)用傳統(tǒng)的控制理論和方法難以滿足復(fù)雜控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求。而模糊控制則無需知道被控對象的精確數(shù)學(xué)模型就可以處理那些定義不完善或難以精確建模的復(fù)雜過程。

一個(gè)典型的模型就是T-S模糊模型，它是基于一系列if-then規(guī)則的基礎(chǔ)之上，對一類不確定非線性系統(tǒng)進(jìn)行模糊建模。隨著研究的深入，這類描述方式被證明可以描述更廣義的系統(tǒng)，同時(shí)對這類系統(tǒng)的魯棒H∞控制也取得了讓人欣慰的成果。文獻(xiàn)[1-2]通過模糊Lyapunov函數(shù)及廣義系統(tǒng)方法，對模糊控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，但沒有討論控制輸入的延時(shí)。本文應(yīng)用文獻(xiàn)[3]的方法，引入新的控制器及Lyapunov函數(shù)，得到了新的判定條件，并在判定條件下，討論了該類系統(tǒng)魯棒H∞控制器的設(shè)計(jì)問題。

1 時(shí)變時(shí)滯與參數(shù)不確定模糊系統(tǒng)描述

其中：Mij（i=1，2，…，r，j=1，2，…，n）是模糊集合；x（t）∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)空間向量；u（t）∈Rm是控制輸入；w（t）∈Rm是外界擾動；z（t）∈Rl是被控輸出；E∈Rn×n可以為奇異矩陣，通常假設(shè) rank E=k≤n。τ（t）、h（t）是時(shí)變時(shí)滯函數(shù)，且存在正實(shí)數(shù) τ0、h0、ρτ、ρh，使得對所有的時(shí)間t，滿足

ζ1（t）、ζ2（t）、…、ζp（t）是前件變量。Ai、A1i、Bi、B1i、B2i、Ci是適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣，ΔAi、ΔA1i、ΔBi、ΔB1i是系統(tǒng)中范數(shù)有界的時(shí)變參數(shù)不確定矩陣，可表示成如下形式

其中：Hi、E0i、E1i、E2i、E3i是適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣；Fi（δ）是一個(gè)不確定的矩陣函數(shù)，滿足Fi（δ）FTi（δ）≤ I。時(shí)變時(shí)滯參數(shù)不確定模糊廣義系統(tǒng)的描述為

用λi、x、xτ、xh分別表示λi（ζ（t））、x（t）、x（t-τ（t））、x（t-h（t））。這時(shí)，系統(tǒng)（3）在沒有控制輸入與外界擾動時(shí)，可簡記為

2 不確定模糊廣義系統(tǒng)的魯棒二次穩(wěn)定性

定義1 模糊系統(tǒng)（4）是正則的，如果存在s∈C，使得[1]

定義2 模糊系統(tǒng)（4）是無脈沖的，如果[1]

定義3 正則與無脈沖的系統(tǒng)（4）是魯棒二次穩(wěn)定的，如果滿足[1]

非奇異矩陣P滿足P∈Rn×n，ETP=PTE≥0，R1是對稱正定矩陣。

引理1 對具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣D，E及對稱常數(shù)矩陣S，矩陣不等式

成立的充分必要條件是：存在ε>0滿足下面的矩陣不等式

式中：F滿足FTF≤R[4]。

將系統(tǒng)（2）代入系統(tǒng)（4），可以得到

定理1 不確定模糊時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)（6）是魯棒二次穩(wěn)定的，如果存在非奇異矩陣R1>0，P和常量εi>0，i=1，2，…，r，滿足

證明 取Lyapunov函數(shù)

沿系統(tǒng)（5）的運(yùn)動軌線是

由引理1，上式等價(jià)于

由定義3和schur補(bǔ)定理可知，上面矩陣

即系統(tǒng)（6）是魯棒二次穩(wěn)定的。

3 時(shí)變時(shí)滯參數(shù)不確定模糊系統(tǒng)魯棒H∞控制

定義4 不確定時(shí)滯系統(tǒng)（1），在零初始條件下，若存在一個(gè)常數(shù)γ>0，使得對所有可接受的不確定性，使得‖z（t）‖2≤ γ‖w（t）‖，?w（t）∈ L2[0，∞]，則說系統(tǒng)的H∞范數(shù)小于γ[1]。

定義5 對不確定模糊系統(tǒng)（3），如果存在一個(gè)模糊控制器，使得所得出的閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒二次穩(wěn)定的，則系統(tǒng)（3）稱為是二次能鎮(zhèn)定的[5]。

對于 Ri：如果 ζ1∈M1，…，ζp∈Mpi，則 u（t）=Kix（t），i=1，…，r，則可得到全局模糊控制器為

將系統(tǒng)（2）、系統(tǒng)（9）、系統(tǒng)（10）代入系統(tǒng)（3），可得到閉環(huán)系統(tǒng)

定義6 正則與無脈沖的系統(tǒng)（11）是魯棒二次穩(wěn)定的，如果滿足[1]

定理2 時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)（11）是魯棒二次可鎮(zhèn)定的，對任意 w（t）≠ 0，w（t）∈L2[0，∞），且滿足魯棒 H∞

范數(shù)約束條件‖z（t）‖2≤γ‖w（t）‖2。若下列條件式（12）～式（16）滿足

*表示對稱部分的轉(zhuǎn)置。

證明 取Lyapunov函數(shù)

由schur補(bǔ)引理，等價(jià)于

上式左右分別乘

可得式（14）

左右分別乘

上式左右分別乘

可得式（16）。

同樣的方法，Lij+Lji＜0等價(jià)于式（17）。由式（16）、式（17），原系統(tǒng)具有 H∞性能。

4 仿真實(shí)例

假設(shè)如下模糊系統(tǒng)：

其中P1、P2的隸屬函數(shù)分別為

應(yīng)用 Matlab LMI Control Toolbox解式（12）～式（16），可得到

則兩個(gè)狀態(tài)反饋增益

則系統(tǒng)具有魯棒二次穩(wěn)定性，且具有魯棒H∞范數(shù)有界性。

γ=0.5時(shí)，魯棒模糊控制器為

5 結(jié)語

本文討論了時(shí)變時(shí)滯與參數(shù)不確定模糊廣義系統(tǒng)的魯棒二次穩(wěn)定性與魯棒H∞控制問題，對輸入的時(shí)滯參數(shù)不確定性，用LMI方法，解決了穩(wěn)定性問題。并通過設(shè)計(jì)模糊控制器，證明了范數(shù)有界不確定模糊廣義系統(tǒng)具有的魯棒H∞性能。

[1]TIAN WEIHUA，ZHANG HUANGUANG，YANG XIUMIN.Robust H∞Control for Fuzzy Descriptor Systems with Time－Varying Delay and Parament Uncertainties[C]//Third International Conference on Natural Computation，Haikou，August 24－27，2007：2－4.

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[3] BAO－PING MA，JISUN.Robust Stabilization of Uncertain T－S Fuzzy Descriptor Systems[C]//Proceedings of the Third International Confer ence on Machine Learn ing and Cybernetics，Shanghai，August 26 －29，2004：334－337.

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[5] 蘇宏業(yè)，褚 健，魯仁全.不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒控制理論[M].北京：科學(xué)出版社，2007：74.

Robust H∞Control for Fuzzy Systems with Time-Varying Delay and Parameter Uncertainties

GONG Chang-zhong，YANG Min
（College of Science， CAUC， Tianjin 300300， China）

The problem of robust quadratic stability and robust H∞control for a class of fuzzy descriptor systems with time-varying delay and parameter uncertainties.A new T-S fuzzy descriptor systems model with disturbance is proposed and the quadratic stability for the system is introduced.A more relaxed sufficient condition for the solvabiility of this problem is presented in terms of linear matrix inequalities （LMI） with a new lyapunov function.A state feedback H∞controller is determined to ensure the closed system is quadratically stable and guarantee the H∞performance.Finally，a numerical example is presented to demonstrate this method.

robust H∞control； fuzzy descriptor systems； time-varying delay； parameter uncertainties； LMI

PT202

A

1674－5590（2011）01－0036－05

2010-07-12；

2010-11-23

鞏長忠（1959—），男，山東蓬萊人，教授，博士，研究方向?yàn)榉蔷€性控制與模糊控制.

（責(zé)任編輯：楊媛媛）