陳哲，袁越，傅質(zhì)馨，吳博文

（河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院，江蘇南京210098）

隨著現(xiàn)代電力技術(shù)的發(fā)展，大功率電力電子器件得到了廣泛應(yīng)用，電力系統(tǒng)中的諧波與間諧波[1-3]污染也因此日益嚴(yán)重。對電力系統(tǒng)中的諧波與間諧波進(jìn)行檢測與分析[4-15]，不僅有利于電能質(zhì)量的評估，而且還關(guān)系到電力系統(tǒng)中的諧波與間諧波的治理。

傳統(tǒng)的諧波檢測方法以傅里葉變換為主，快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)及其改進(jìn)算法已得到廣泛的應(yīng)用[16-18]。但受采樣頻率與采樣時間窗的限制，F(xiàn)FT存在著柵欄效應(yīng)和頻譜泄露等問題，嚴(yán)重影響電力系統(tǒng)中的間諧波的測量。信號參數(shù)估計的方法可以對電力系統(tǒng)中的諧波分量與間諧波分量的參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確估計，因而受到了廣泛關(guān)注[19-23]，但信號參數(shù)估計的方法計算效率低，因而其使用受到了限制。

目前空間譜估計的算法主要有多重信號分類(Multi-Signal Classification,MUSIC)算法[19]和基于旋

傳統(tǒng)的ESPRIT算法在進(jìn)行頻率估計時要計算其自相關(guān)矩陣，并進(jìn)行特征分解。在陣列信號陣元數(shù)較多的情況下，此方法的計算量會變得很大。為提高計算效率，一般改進(jìn)的算法是采用其他的方式來避免特征分解。文獻(xiàn)[24]提出了一種利用迭代計算來進(jìn)行參數(shù)估計的方法；文獻(xiàn)[25]則利用基于維納濾波器的降維技術(shù)來避免特征分解。在被處理的信號中的正弦分量增加時，這些方法的計算量會大幅增加。如果能在使用ESPRIT算法進(jìn)行頻率估計前，利用其他較簡單的方法減少原信號中正弦波分量的數(shù)量，無疑可以在很大程度上提高計算效率。

本文基于ESPRIT算法，先利用時域平均技術(shù)(Time-Domain Averaging,TDA)[26]將原信號中的基波與諧波分量分離出來，再對原信號中的間諧波分量進(jìn)行估計。由于在進(jìn)行參數(shù)估計的信號中，正弦分量的數(shù)目減少了，因而所需的運算量也相應(yīng)減少。最后，本文以復(fù)合信號與變頻調(diào)速系統(tǒng)的分析為例，對本算法進(jìn)行了驗證，其結(jié)果表明，利用此方法進(jìn)行間諧波估計，在提高計算效率的同時，也保證了計算精度。

1 ESPRIT算法

ESPRIT算法是根據(jù)穩(wěn)定信號經(jīng)過時移后其正弦成分的頻率與幅值不變的原理，來估計信號中正弦成分的頻率，并以此為基礎(chǔ)，進(jìn)一步對信號的幅值與初始相角進(jìn)行估計的一種算法。

1.1 ESPRIT的原理

假設(shè)信號x表示成復(fù)指數(shù)形式為：

式中，Δt為采樣間隔；N為采樣點數(shù)。將其寫為矢量的形式為：

其中，

其中，

可以看出只要能估計出對角矩陣Φ，就能得到原信號中所有正弦分量的頻率。

1.2 求解ESPRIT的方法

一般的方法是根據(jù)信號的自相關(guān)矩陣來估計的。令：

其自相關(guān)矩陣可表示為：

式中，∧∈CM×M為對角陣，其秩為K軒；U∈C2N×M。設(shè)U＝

式中，UK軒∈C2N×M為信號子空間；UW∈C2N×（M-K軒）為噪聲滿秩對角矩陣。故存在非奇異矩陣Q，使得：

由于Q為非奇異矩陣，ψ=Q-1ΦQ，可知ψ與Φ有相同的特征值，求出ψ的特征值，即可得到原信號中全部正弦分量的頻率。采用最小二乘法求ψ時結(jié)果如下：

實際計算時，如果令Δl=Δd=Δt，則進(jìn)行分析所需的采樣點數(shù)為N+M，也就是說采樣點數(shù)只需要大于信號中正弦分量數(shù)的4倍，就可以利用ESPRIT進(jìn)行信號的參數(shù)估計，這比采用FFT所需的采樣點數(shù)少很多。

2 時域平均技術(shù)

在基波頻率確定，且采樣為同步采樣的前提下，可以使用時域平均技術(shù)[26]。使用TDA處理的采樣信號必須滿足以下條件。

1）基波頻率已知或可以很精確地估計出來；

2）滿足對基波進(jìn)行同步采樣的條件，且信號頻

率不發(fā)生波動。

2.1 TDA的原理和算法

將信號x表示為：

式中，x（0t）為原信號；w（t）為噪聲。設(shè)采樣間隔為Δt，采樣點數(shù)為N，則：

將采樣信號平均分成M段長度為T0=J·Δt的信號（J為T0內(nèi)的采樣點數(shù)，且滿足N=M·J），并按式（21）作平均計算，得到長度為J的序列a（iΔt）：

然后將序列a（iΔt）按擴(kuò)展到整個采樣空間，即

則新的序列aM（nΔt）即為TDA的結(jié)果，其中n=0,1,…，N-1。

對式（21）和式（22）作Z變換可得：

則TDA的傳遞函數(shù)可表示為：

令z=ej2πfΔt，可得其頻率響應(yīng)。其相頻響應(yīng)為Φ（Mf）=0，幅頻響應(yīng)滿足：

當(dāng)M=10，f0=50 Hz時，其幅值響應(yīng)曲線如圖1所示?？梢钥闯?，時域平均技術(shù)相當(dāng)于一個只允許基波和諧波通過的濾波器。經(jīng)過TDA后的信號中的間諧波成分很少，只要對aM（nΔt）作DFT，就可以得到較精確的原信號中的基波和諧波的成分。

圖1 TDA的傳遞函數(shù)幅頻響應(yīng)曲線

2.2 差值濾波的原理

以時域平均技術(shù)為基礎(chǔ)，文獻(xiàn)[26]中提出了一種差值濾波（Difference Filter,DF）的方法，就是將原信號x（nΔt）與aM（nΔt）做差，所得結(jié)果作為DF的濾波結(jié)果。DF的傳遞函數(shù)為：

令z=ej2πfΔt，可得其頻率響應(yīng)。其相頻響應(yīng)為Φ（Mf）=0，幅頻響應(yīng)滿足：

當(dāng)M=10，f0=50 Hz時，其幅值響應(yīng)曲線如圖2所示?？梢钥闯?在滿足基波頻率確定，且采樣為同步采樣的前提下，經(jīng)過DF的信號中將只剩下間諧波分量。這種算法計算簡單，精度也較高，但它要求的條件也較苛刻。

圖2 DF濾波器的傳遞函數(shù)幅頻響應(yīng)曲線

3 結(jié)合時域平均技術(shù)的ESPRIT算法

直接采用ESPRIT算法進(jìn)行信號參數(shù)估計時，其運算量會隨著信號中的正弦分量數(shù)的增加而大幅增加。采用TDA技術(shù)可以很有效地將原信號中的基波分量與諧波分量分離，實現(xiàn)簡單，精確度高，可以減少原信號中的正弦分量數(shù)。對剩下的間諧波分量采用ESPRIT技術(shù)進(jìn)行參數(shù)估計，可以得到準(zhǔn)確的信號中間諧波頻率，在計算精度上比傳統(tǒng)的FFT算法要高。具體做法如下。

1）在基波頻率確定，且采樣滿足同步采樣的前提下，先利用DF濾波器將原信號中頻率確定的基波與諧波分量濾除，得到只含有間諧波分量的信號。

2）采用ESPRIT技術(shù)對信號中的間諧波分量的頻率進(jìn)行估計。由于DF濾波器的相頻響應(yīng)，因而利用DF處理信號將不會使原信號中的間諧波分量相角發(fā)生偏離，也不會影響到利用ESPRIT技術(shù)估計出的間諧波頻率的精度。但由式（27）可知，經(jīng)過DF濾波器后的間諧波分量的幅值會出現(xiàn)一定程度上的衰減。

3）為對間諧波分量的幅值與相角進(jìn)行精確估計，采用的方案是利用由ESPRIT技術(shù)估計到的間諧波頻率，直接對原采樣信號中的間諧波分量的幅值和相角進(jìn)行估計。

結(jié)合了TDA的ESPRIT算法的原理圖見圖3。利用結(jié)合了TDA的ESPRIT算法對原信號中間諧波的頻率進(jìn)行估計時，由于被處理的信號中的正弦分量數(shù)減少了，因而其在計算速度上將會較直接使用ESPRIT算法的快。但受TDA使用條件的限制，本文所述方法只適用于基波頻率確定，且同步采樣的場合。

圖3 結(jié)合了TDA的ESPRIT算法原理圖

4 仿真分析

4.1 復(fù)合信號分析

本節(jié)采用文獻(xiàn)[23]的算例1，設(shè)某信號中含有2次、3次、4次、5次和7次諧波，并含有2個頻率分別為82 Hz與182 Hz的間諧波分量，其幅值依次為0.5、3.0、1.0、4.0、2.5、3.0和5.0；信號中的基波分量已濾去，并加入20 dB的白噪聲信號；信號的采樣頻率為2400 Hz；采樣點數(shù)為480。對信號進(jìn)行FFT，其波形圖和FFT結(jié)果見圖4；圖4表示82 Hz的間諧波與182 Hz的間諧波發(fā)生了頻譜泄露。

圖4 原信號的波形和其FFT結(jié)果

采用本文所述的方法，對原信號進(jìn)行DF處理，處理后的波形和其FFT結(jié)果見圖5。從圖5可以看出，在經(jīng)過DF處理后的信號中只剩下間諧波信號。對經(jīng)過DF處理后的信號利用ESPRIT進(jìn)行參數(shù)估計，所得結(jié)果見表1。表1中數(shù)據(jù)顯示，采用結(jié)合了TDA的ESPRIT方法的幅值估計結(jié)果和直接采用ESPRIT方法的估計結(jié)果相差不大，相對誤差絕對值都不到1%，其誤差值可以認(rèn)為是由噪聲信號引起的。表1同時列出了采用補零法的FFT的分析結(jié)果。FFT受采樣窗寬度的限制，其分辨率有限；采用補零法可以提高分辨率，但依然無法完全阻止頻譜泄露的問題。仿真算例表明，采用本文所述的方法估計信號的幅值和相角時，其結(jié)果的精度比利用FFT得到的結(jié)果要好。在計算效率方面，結(jié)合了TDA的ESPRIT方法在進(jìn)行頻率估計時，信號中只有2個正弦分量，比原信號中7個正弦分量少了5個，因而其計算效率較直接使用ESPRIT方法要高。

表1 間諧波檢測結(jié)果比較

圖5 經(jīng)過DF處理的信號波形和其FFT結(jié)果

4.2 變頻調(diào)速系統(tǒng)中的間諧波分析

本節(jié)采用文獻(xiàn)[27]所述的調(diào)速系統(tǒng)進(jìn)行仿真，系統(tǒng)圖見圖6。電源頻率為60Hz，電機轉(zhuǎn)速設(shè)為1440 r/min，其余參數(shù)參考文獻(xiàn)[27]。對該系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，可得其電源輸出電流Is的波形如圖7所示。取采樣頻率為12000 Hz，采樣點數(shù)為2400個，分別采用ESPRIT法和本文所述方法對采樣信號進(jìn)行分析，結(jié)果見表2。

圖6 交流調(diào)速系統(tǒng)圖

圖7 電源電流波形圖

表2 交流調(diào)速系統(tǒng)中的間諧波檢測結(jié)果比較

文獻(xiàn)[12]對ASD系統(tǒng)進(jìn)行了分析，其間諧波頻率可由式（28）得到：

式中，fh是間諧波的頻率；f1是逆變器輸出頻率；fs是電源頻率；μ的典型值為2；k＝1，5，7，…。可知該系統(tǒng)的主要間諧波頻率為36 Hz和156 Hz，與利用ESPRIT方法估計的結(jié)果接近。比較仿真結(jié)果可以看出，結(jié)合了TDA的ESPRIT方法保留了ESPRIT方法的超分辨率等優(yōu)點，2種方法所得到的結(jié)果在精度上十分接近。同時，由于進(jìn)行特征分解前去掉了大量的諧波分量，所以結(jié)合了TDA的ESPRIT方法的計算效率較直接采用ESPRIT方法要高。

5 結(jié)論

利用空間譜估計的算法檢測間諧波擁有分辨率高的優(yōu)點，可以有效避免柵欄效應(yīng)和頻譜泄露等問題，但當(dāng)所分析的信號中正弦分量增加時，其計算速度會大幅增加。如果在利用ESPRIT算法前，先將原信號中的部分諧波分量分離，可以有效減小ESPRIT算法的運算量。采樣TDA的方法可以有效將原信號中的基波分量與諧波分量提取出來，減小待分析信號中正弦波含量，從而提高計算效率。仿真結(jié)果表明，此方法的計算精度較高。但受TDA使用條件的限制，本文提供的方法只適合應(yīng)用于信號頻率穩(wěn)定，且采樣信號為基波的同步采樣的場合。

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