馬元社,張建平，王晶，張凡

（西安西電電力系統(tǒng)有限公司，陜西 西安710077）

電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流(OPF)[1-4]是一個(gè)復(fù)雜的非線性規(guī)劃問(wèn)題，要求在滿足特定的電力系統(tǒng)運(yùn)行和安全約束條件下，通過(guò)調(diào)整系統(tǒng)中可利用控制手段實(shí)現(xiàn)預(yù)定目標(biāo)最優(yōu)的系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)。

在最優(yōu)潮流這一研究領(lǐng)域內(nèi)已有多種方法，如非線性規(guī)劃法[5]、內(nèi)點(diǎn)類算法[6-7]、遺傳算法[8-25]和混合算法[26-27]等，都取得了一定的成果。免疫算法(IA)[28]是繼神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳進(jìn)化算法后新發(fā)展起來(lái)的啟發(fā)式算法。目前應(yīng)用免疫算法的最優(yōu)潮流都是基于信息熵的免疫算法[29]，存在計(jì)算復(fù)雜,設(shè)置的參數(shù)需要憑經(jīng)驗(yàn)調(diào)節(jié)，含有冗余計(jì)算信息和只適用于二進(jìn)制編碼等缺點(diǎn)。本文把基于矢量距的免疫算法[30-31]應(yīng)用于電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流，采用浮點(diǎn)數(shù)編碼，大大簡(jiǎn)化了編碼方式和計(jì)算難度，同時(shí)引進(jìn)了多種計(jì)算算子，在優(yōu)化計(jì)算的過(guò)程中動(dòng)態(tài)調(diào)整個(gè)體的選擇率。最后通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)和基于信息熵免疫算法計(jì)算，并進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了所用方法的正確性。

1 最優(yōu)潮流的數(shù)學(xué)模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

最優(yōu)潮流有各式各樣的目標(biāo)函數(shù)，最常用的有2種：系統(tǒng)運(yùn)行成本最小和有功傳輸損耗最小[32]。從電力系統(tǒng)調(diào)度運(yùn)行研究的角度考慮，本文以系統(tǒng)運(yùn)行成本最小為目標(biāo)函數(shù)，即以火電機(jī)組燃料費(fèi)用最小，不考慮機(jī)組啟動(dòng)、停機(jī)等費(fèi)用。目標(biāo)函數(shù)為：

式中，PGi為第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的有功出力；a2i,a1i,a0i為其能耗量特性曲線參數(shù)；SG為所有發(fā)電機(jī)集合。

1.2 約束條件

約束條件包括等式約束和不等式約束，等式約束有潮流平衡方程，不等式約束有控制變量和狀態(tài)變量上下限約束。

式中，Pij=UiU（jGijcos θij+Bijcos θi）j-Gij。其中，式（2）為等式潮流約束方程，PGi和QGi為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)i的有功出力和無(wú)功出力，PLi和QLi為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)i的有功負(fù)荷和無(wú)功負(fù)荷，QCi為無(wú)功補(bǔ)償裝置節(jié)點(diǎn)i的無(wú)功補(bǔ)償容量；式(3)中，各式依次為電源有功出力變量及其上下界約束，無(wú)功源無(wú)功出力變量及其上下界約束，節(jié)點(diǎn)電壓變量及其上下界約束，線路潮流約束。式中，SB為系統(tǒng)所有節(jié)點(diǎn)集合；SR為所有無(wú)功源集合；SL為所有支路集合；Ui，θi為節(jié)點(diǎn)i的電壓幅值和相角；Pij為線路兩端的有功潮流。

2 矢量距免疫算法

現(xiàn)代免疫學(xué)理論認(rèn)為免疫系統(tǒng)功能是通過(guò)分布在全身的免疫細(xì)胞協(xié)同工作實(shí)現(xiàn)的。免疫細(xì)胞主要由吞噬細(xì)胞和淋巴細(xì)胞組成。淋巴細(xì)胞又分為B細(xì)胞和T細(xì)胞2種主要類型。B細(xì)胞由骨髓產(chǎn)生，它能夠產(chǎn)生抗體，執(zhí)行特異體液免疫功能；T細(xì)胞則由胸腺產(chǎn)生，執(zhí)行特異細(xì)胞免疫和免疫調(diào)節(jié)功能。根據(jù)上述機(jī)理可將抗原、B細(xì)胞和抗體分別對(duì)應(yīng)于優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)、優(yōu)化解、解的適應(yīng)度函數(shù)（f x）。N個(gè)抗體構(gòu)成了一個(gè)非空免疫系統(tǒng)集合X。若規(guī)定抗體（f x）i在集合X上的距離ρ（x）i為[30]：

則第i個(gè)抗體濃度可表示為：

由上式可推導(dǎo)出基于抗體濃度的概率選擇公式：

由式（6）知，集合X中與抗體i基因相似的抗體越多，抗體i被選中的概率就越小。反之，與抗體i基因相似的抗體越少，抗體i被選中的概率就越大。這使含有有效進(jìn)化基因的低適應(yīng)度個(gè)體也可獲得繁殖的機(jī)會(huì)。因此，基于矢量距的免疫算法在理論上保證了解的多樣性。

3 最優(yōu)潮流的算法實(shí)現(xiàn)

3.1 抗體編碼

根據(jù)發(fā)電機(jī)的有功及無(wú)功上下限，編碼用浮點(diǎn)數(shù)表示，無(wú)需解碼，計(jì)算簡(jiǎn)單，有效地避免了信息熵免疫算法只適合二進(jìn)制編碼的局限，初始化編碼時(shí)在其上下限范圍內(nèi)隨機(jī)取其一。

3.2 自適應(yīng)交叉和變異算子

以往的人工免疫算法中的交叉和變異算子均是采用固定的交叉和變異算子，不能很好地保護(hù)每代中的較優(yōu)抗體。本文引入自適應(yīng)調(diào)整的方式[33]，即交叉和變異算子可以根據(jù)每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度不同來(lái)調(diào)整交叉和變異的概率，適應(yīng)度越高的個(gè)體，其交叉和變異概率越低，也就是被破壞的概率越低，這在很大程度上保護(hù)了較優(yōu)個(gè)體。具體表示如下：

式（7）和（8）中，PCmax、PCmin、PMmax、PMmin分別為給定的自適應(yīng)概率調(diào)整范圍；F為參與計(jì)算個(gè)體的適應(yīng)度值(交叉計(jì)算中取2個(gè)體適應(yīng)度中的較大值)；favg和fmax為每代群體中平均適應(yīng)度值和最大個(gè)體適應(yīng)度值。

3.3 算法求解步驟

算法解法步驟如下。

1）輸入電網(wǎng)原始數(shù)據(jù)，設(shè)置抗體規(guī)模、最大迭代次數(shù)等參數(shù)，置k=1,并初始化B細(xì)胞。

2）計(jì)算每個(gè)B細(xì)胞對(duì)應(yīng)的燃料費(fèi)用，找出本代中燃料費(fèi)用最佳的B細(xì)胞。

3）計(jì)算每個(gè)B細(xì)胞適應(yīng)度函數(shù)值（本文是燃料費(fèi)用的倒數(shù)）,生成抗體。

4）將分泌最佳的1個(gè)或多個(gè)抗體（本文取為3）作為免疫記憶細(xì)胞保留。

5）計(jì)算抗體的濃度,并用基于抗體濃度的概率公式選擇抗體。

6）通過(guò)自適應(yīng)交叉和變異，產(chǎn)生新一代B細(xì)胞。7）將新的B細(xì)胞中的最佳值與上一代的免疫記憶細(xì)胞比較，擇其優(yōu)者形成新一代免疫記憶細(xì)胞。

8）判斷是否已達(dá)到最大迭代次數(shù)。若是，則輸出計(jì)算結(jié)果，否則k=k+1,轉(zhuǎn)步驟2)。

4 算例分析

4.1 測(cè)試系統(tǒng)簡(jiǎn)介

IEEE 30標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)有6臺(tái)發(fā)電機(jī)，參數(shù)見(jiàn)表1（詳細(xì)參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)[34]），IEEE 30節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1，本文中可調(diào)變壓器和并聯(lián)電容器不參與優(yōu)化，只考慮發(fā)電機(jī)有功和無(wú)功出力。

表1 IEEE 30節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)發(fā)電機(jī)參數(shù)

圖1 IEEE 30節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

算法編程用MATLAB語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)，在CPU為AMD、主頻2.0 MHz、內(nèi)存256 M的PC機(jī)上運(yùn)行。用基于信息熵的免疫算法和基于矢量距的免疫算法進(jìn)行比較，2個(gè)算法參數(shù)設(shè)置一致：種群規(guī)模100，迭代次數(shù)100，交叉率和變異率變化范圍分別為[0.70,0.90]和[0.01,0.05],初始值取上下限的中值。算法1為基于矢量距的免疫算法，算法2為基于信息熵的免疫算法。

4.2 結(jié)果比較及分析

表2為各臺(tái)發(fā)電機(jī)有功出力和無(wú)功出力計(jì)算10次的平均結(jié)果數(shù)據(jù)。從結(jié)果數(shù)據(jù)可以看出，算法1發(fā)電機(jī)總有功出力為3.0183 MW,算法2為3.1008 MW,算法1比算法2降低了0.0825 MW；算法1發(fā)電機(jī)的無(wú)功出力為1.0554 MV·A，算法2為1.0647 MV·A，算法1比算法2降低了0.0093 MV·A。表3為燃料費(fèi)用、收斂代數(shù)和計(jì)算時(shí)間計(jì)算10次的平均結(jié)果數(shù)據(jù)。從表3可見(jiàn)，算法1的燃料費(fèi)用比算法2降低了70.0601美元，說(shuō)明算法1有更好的全局搜索能力；收斂代數(shù)基本相同，不同的是算法1的計(jì)算時(shí)間比算法2多了14 s，但這在實(shí)際應(yīng)用中完全是可以忽略不計(jì)的。圖2為2種算法的計(jì)算過(guò)程收斂曲線圖。在大量的反復(fù)計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，算法2在收斂過(guò)程中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)有較大的波動(dòng)，相比之下，算法1具有更好的穩(wěn)定性和全局搜索能力。

表2 各發(fā)電機(jī)出力計(jì)算結(jié)果比較

表3 燃料費(fèi)用及其相關(guān)參數(shù)結(jié)果比較

圖2 燃料費(fèi)用計(jì)算過(guò)程比較

5 結(jié)語(yǔ)

免疫算法是近年來(lái)新發(fā)展起來(lái)的一種啟發(fā)式搜索算法。本文將基于矢量距理論的免疫算法應(yīng)用于電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計(jì)算，通過(guò)IEEE 30節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)計(jì)算多次，分析表明：

1）矢量距免疫算法比信息熵免疫算法具有更好的全局搜索能力。

2）算法性能穩(wěn)定，收斂性好。

3）引入自適應(yīng)交叉和變異算子，在很大程度上保護(hù)了每代抗體中的較優(yōu)個(gè)體。

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