韓勇， 趙永平， 柴鑫， 劉小龍

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動化學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

0 引言

水垢問題一直是困擾鍋爐、冷卻塔等具有熱交換工作過程設(shè)備的主要問題，該問題源于這些設(shè)備對硬水的使用。直流脈沖水處理器是目前解決水垢問題效果較為理想的電磁場水處理設(shè)備，但截至目前，該類處理器阻垢、防垢的機理還沒有被人們所掌握，在實際應(yīng)用中如何根據(jù)實際情況對系統(tǒng)進(jìn)行控制，并使之達(dá)到最佳處理效果還缺乏必要的理論指導(dǎo)。目前，有學(xué)者猜測，直流脈沖水處理器之所以能起到阻垢、防垢的效果，主要是因為激磁線圈產(chǎn)生的交變磁場在溶液中感生出交變電場，由交變電場對水中的成垢離子進(jìn)行作用，從而改變了水垢的結(jié)晶過程和晶體結(jié)構(gòu)，阻礙了水垢晶體在輸水管壁上的附著［1］。國內(nèi)外有很多學(xué)者根據(jù)上述對阻垢、防垢機理的猜測，對直流脈沖水處理器的效果做了定性的實驗研究［2－7］。由于目前這種只通過實驗觀察的方法缺乏必要的理論指導(dǎo)，因此對阻垢機理的研究很難深入。雖然直流脈沖水處理器已經(jīng)被廣泛應(yīng)用，但普遍采用掃頻的方式工作，以期望在掃頻的過程中有某些頻率能符合待處理水體的要求，這同樣是缺乏理論指導(dǎo)的表現(xiàn)。因此要想對直流脈沖水處理器的阻垢機理深入研究，就要進(jìn)行定量研究。

由于溶液中感生出的交變電場是導(dǎo)致水垢離子結(jié)晶狀態(tài)發(fā)生變化的直接原因，因此如何精確控制感生電場的強弱是定量研究直流脈沖水處理器阻垢、防垢機理的前提和基礎(chǔ)。感生電場的強弱與直流脈沖水處理器激磁信號電壓幅值和線圈尺寸參數(shù)有關(guān)，這些參數(shù)通過直接影響線圈內(nèi)的激磁電流，進(jìn)而影響激磁電流感生出的變化磁場，并最終影響到變化磁場在溶液內(nèi)感生出的交變電場。

但截止到目前，尚未有關(guān)于直流脈沖水處理系統(tǒng)溶液中感生電流建模及激磁線圈尺寸參數(shù)與感生電場作用強度之間定量關(guān)系的文獻(xiàn)及研究成果發(fā)表，因此，本文研究的目的是精確控制溶液中的感生電場，并且為激磁線圈的優(yōu)化提供理論依據(jù)。本文的主要工作為:對直流脈沖水處理系統(tǒng)進(jìn)行理論建模，推導(dǎo)水溶液中感生電流的表達(dá)式，用感生電流的大小衡量溶液中感生電場的大小;同時，推導(dǎo)感生電場在水溶液中做功的平均功率表達(dá)式，用平均功率來衡量感生電場對水溶液作用的強弱，并在此基礎(chǔ)上建立直流脈沖水處理器激磁線圈尺寸參數(shù)與平均功率之間的關(guān)系的解析模型。

1 感生電流解析模型

1.1 直流脈沖水處理系統(tǒng)工作原理

直流脈沖水處理器主要由信號發(fā)生器及激磁線圈組成，設(shè)備工作時，由信號發(fā)生器對纏繞在輸水管線上的激磁線圈施加高頻的直流脈沖信號，由激磁線圈在水管內(nèi)感應(yīng)出的交變電場對水溶液進(jìn)行處理，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中，信號發(fā)生單元為激磁線圈提供一定輸出功率的方波激勵信號，其信號波形如圖2所示。

圖1 直流脈沖水處理器結(jié)構(gòu)Fig．1 Structure sketch of the DC pulse water processor

圖2 方波激勵信號波形Fig．2 Oscillogram of the excitation square wave

在交變的感生電場作用下，溶液中帶正電與帶負(fù)電的礦物質(zhì)成垢離子分別沿著相反的方向移動，進(jìn)而增加了正負(fù)離子的碰撞幾率，并在溶液中形成晶體成長所必須的晶核。當(dāng)硬水溶液的外部條件發(fā)生變化時(如溫度升高或壓力減小)，溶液對水垢分子的溶解度下降，沉淀大量產(chǎn)生，水垢分子開始以溶液中大量晶核為核心，繼而晶體在溶液中生長并逐漸形成附著能力較低的沉淀，被水流帶走?？傊?，經(jīng)過處理后溶液中的沉淀晶體在溶液中生長而不是在水管管壁上生長［1］，因此起到了阻垢、防垢的效果。

1.2 溶液中感生電流解析模型

由于溶液中感生電流的大小能直接反應(yīng)感生電場的強弱，因此本文對感生電流進(jìn)行建模。由于溶液中的感生電流為環(huán)形電流，可以把溶液看作一個單匝線圈［8］，本文把激磁線圈與輸水管內(nèi)的水溶液等效為兩個同軸線圈組成的系統(tǒng)。在本文研究的直流脈沖水處理系統(tǒng)中，水管材料為塑料。直流脈沖水處理系統(tǒng)的等效電路如圖3所示。圖3中，i1(t)為激磁線圈電流，R1為激磁線圈電阻，L1為激磁線圈電感，i2(t)為溶液內(nèi)感生電流，R2為溶液電阻，L2為溶液的電感，M為互感，us(t)為激勵方波電壓信號。

圖3 直流脈沖水處理系統(tǒng)等效電路Fig．3 Equivalent circuit diagram of the DC pulse water processor system

描述圖3所示的電路的微分方程組為

對式(1)求解通常較為困難，因此，若要實現(xiàn)用解析方法計算溶液中的感生電流i2(t)，需要作如下關(guān)鍵的近似:

為說明以上假設(shè)的正確性，這里，以長為0.1 m，半徑為0.02 m，50匝的線圈以及線圈內(nèi)部圓柱區(qū)域的25℃碳酸鈣過飽和溶液組成的系統(tǒng)為例，激磁線圈的電感值L1=0.353 4×10－4H，水體的等效電感值L2=0.228×10－8H，互感值 M=K(L1L2)1/2，K 為互感系數(shù)，由于溶液被激磁線圈包圍，因此可將等效線圈與激磁線圈看做同軸，且耦合較好，又由于在實際中可能存在漏磁等情況，因此本文取K值為0.9，兩線圈互感為0.153 5×10－6H，溶液的電阻值R2=438 Ω。由于 L2di2(t)/dt?R2i2，由式(1)中第二個方程可知，近似 1)成立;又由于 Mdi2(t)/dt?L1di1(t)/dt+R1i1(t)，且感生電流i2(t)的變化率較小，由式(1)中第一個方程可知，近似2)也成立。經(jīng)過近似后，式(1)變?yōu)?/p>

因此，由式(2)中第一個方程可以求得線圈內(nèi)電流i1(t)的表達(dá)式，進(jìn)而由式(2)中第二個方程計算出感生電流i2(t)。首先求線圈內(nèi)電流i1(t)的表達(dá)式，由于脈沖方波信號us(t)可以看成分段函數(shù)，則i1(t)也應(yīng)采用分段函數(shù)的方式表達(dá)。

以上述同一線圈為例，將圖2所示的方波信號施加至線圈兩端，激勵信號幅值為1 V，水管內(nèi)為25℃碳酸鈣過飽和溶液，則前6個信號周期內(nèi)i1(t)的波形如圖4所示。

圖4 前6個周期的激磁線圈電流波形Fig．4 Excitation current waveform in the first six cycles

當(dāng)加載的方波激勵信號的幅值與頻率發(fā)生變化時，或激磁線圈的參數(shù)發(fā)生改變時，圖4所示的電流波形的規(guī)律同樣適用，即圖4所示的電流波形特征具有普遍性。

由圖4可知，i1(t)的電流波形從第三個周期開始就已經(jīng)趨于穩(wěn)定，因此，只需要推導(dǎo)出第三個信號周期i1(t)的解析式，并進(jìn)一步推導(dǎo)出溶液內(nèi)感生電流i2(t)的解析式，即可得到后續(xù)周期內(nèi)i1(t)以及i2(t)隨時間變化的規(guī)律。

圖4中第三周期的i1(t)幅值是從點D上升到點E，再從點E下降到點F的過程，并且下降波形與上升波形關(guān)于時間軸對稱，時間上相差半個周期，因此只需要計算出點D上升到點E的i1(t)表達(dá)式，就可以得到i1(t)在完整的第二周期內(nèi)的表達(dá)式。

首先計算A點的電流值，通過式(2)中第一個方程的計算，并考慮初始條件i1(0)=0，可以得到由原點到A點的電流波形的表達(dá)式為

仍對式(2)中第一個方程進(jìn)行計算，并將A點電流看作A點到C點波形的零時刻電流，即該段電流的初始條件為 i1(0)=us(t)(1 － e－T/2τ)/R1，解得由A點到C點的波形表達(dá)式為

1.3 感生電場對溶液做功的平均功率與線圈尺寸參數(shù)的函數(shù)關(guān)系

直流脈沖水處理器對溶液處理的過程，從能量轉(zhuǎn)化的角度考慮，可以看作是感生電場的電勢能轉(zhuǎn)化為離子動能、碰撞能以及一部分熱能等能量的過程。因此，感生電場的電勢能越大，則轉(zhuǎn)化成離子的動能、碰撞能以及熱能就越多，感生電場對水溶液的作用也就越強烈。為了衡量直流脈沖水處理器在處理溶液過程中感生電場電勢能的大小，進(jìn)而衡量感生電場對溶液作用的強弱，本文選擇感生電場在溶液中做功的平均功率P作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，平均功率P的表達(dá)式為

式中:ρ為線圈繞線材料的電阻率;r0為線圈繞線的半徑。將式(15)和式(16)帶入式(14)就可以得到平均功率P與線圈匝數(shù)及線圈半徑的函數(shù)關(guān)系式。

2 感生電流模型仿真驗證

由式(12)可知，平均功率P的解析表達(dá)式能否正確地描述感生電場對溶液作用的強弱，完全取決于感生電流i2(t)的解析模型是否正確，即只有感生電流i2(t)的解析模型是正確的，平均功率P的解析表達(dá)式才具有實際意義。因此，本文選擇用有限元方法驗證感生電流解析式的正確性與準(zhǔn)確性。由于有限元分析方法對實際模型分析計算的精確度較高，已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用［10－12］，本文對一個確定的直流脈沖水處理器與碳酸鈣過飽和溶液組成的系統(tǒng)，分別用有限元方法和本文推導(dǎo)的式(10)與式(11)對感生電流進(jìn)行計算，將兩組計算結(jié)果進(jìn)行對比，從而驗證本文推導(dǎo)的感生電流解析模型的正確性與準(zhǔn)確性。本文的實際模型如圖5所示。

圖5 直流脈沖水處理系統(tǒng)的物理模型Fig．5 Physical model of the DC PWP system

圖5中，信號發(fā)生器內(nèi)阻很小，可忽略不計，激磁信號頻率為500 Hz，幅值為2 V，激磁線圈的繞線材料為銅線，電阻率取25℃時銅的電阻率值1.7×10－8Ω·m，銅線直徑為0.002 m，匝數(shù)為50匝，線圈為單層密繞，輸水管材料為 PVC，管壁厚度為0.002 m，輸水管內(nèi)半徑為0.018 m，管內(nèi)為25℃的碳酸鈣過飽和溶液，其過飽和度為1 550.1mol2/L2，電導(dǎo)率為0.78×103μs/cm。通過計算得到激磁線圈的電感 L1=0.353 4 ×10－4H，電阻 R1=0.136 Ω;溶液的等效電感L2=0.228×10－8H，電阻R2=438 Ω;互感 M=K(L1L2)1/2=0.153 55 ×10－6H，K=0.9。將上面得到的各個參數(shù)值代入式(10)，就可以計算出系統(tǒng)電路進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，激磁信號的半個周期中任意時刻對應(yīng)的感生電流值，再根據(jù)式(11)，就可以得到一個周期內(nèi)任意時刻對應(yīng)的感生電流值。

采用有限元方法計算溶液中的感生電流時，由于水管、激磁線圈和碳酸鈣過飽和溶液都是圓柱形且對稱軸重合，并且所加的激勵信號為脈沖方波信號，因此選用精確度較高的二維瞬態(tài)有限元電磁分析方法，對每一個激磁信號周期進(jìn)行分段計算，半個周期為一個時間段，計算平均分布在每個時間段上的10個時間點對應(yīng)的溶液感生電流。由于所加載的激磁信號頻率為500 Hz，則一個時間段為0.001 s，為保證感生電流計算結(jié)果是在電路穩(wěn)態(tài)時得到的，需要計算前12個激磁信號周期內(nèi)的溶液感生電流，取第12個周期的感生電流計算結(jié)果與根據(jù)式(10)和式(11)計算的結(jié)果進(jìn)行對比，以此驗證溶液感生電流解析模型的正確性和準(zhǔn)確性。采用兩種方法計算的結(jié)果如表1所示，表1的數(shù)據(jù)擬合曲線如圖6所示。

表1 有限元法與解析法計算的感生電流值Table 1 Induced current numerical calculated with finite element method and analytical method

由表1的兩組數(shù)據(jù)對比及圖6的數(shù)據(jù)擬合曲線 可知，兩組數(shù)據(jù)的最大相對誤差為7.8%，平均相對誤差為3.58%，在實際應(yīng)用中均在可接受范圍之內(nèi)。因此，根據(jù)式(10)與式(11)計算的一個周期內(nèi)的感生電流值與采用有限元方法計算的感生電流結(jié)果較為吻合，從而證明了本文推導(dǎo)的溶液感生電流解析模型的正確性和準(zhǔn)確性。

圖6 有限元法與解析法計算的一個周期內(nèi)的感生電流值擬合曲線Fig．6 Fitting curve of induced current numerical calculated with finite element method and analytical method in one cycle

3 線圈尺寸參數(shù)與平均功率關(guān)系

由式(14)、式(15)和式(16)可知，平均功率P為線圈匝數(shù)n與線圈半徑r的函數(shù)。由式(15)可知，只有當(dāng)線圈長度大于或等于線圈直徑時，式(15)中的級數(shù)項才收斂，因此，在P的關(guān)于線圈尺寸參數(shù)的函數(shù)關(guān)系中，匝數(shù)n和半徑r的取值受到條件nd≥2r的約束。下面仍以圖5所示的系統(tǒng)模型為例，對平均功率P與線圈半徑r和線圈匝數(shù)n的關(guān)系分別進(jìn)行探討。

在探討之前，值得注意的是，線圈半徑的改變可能會影響溶液電阻R2的取值，因此首先計算圖5中的溶液區(qū)域在不同半徑下的電阻值，用二維有限元方法對溶液電阻進(jìn)行計算，由于有限元方法計算導(dǎo)體電阻是基于能量原理的，因此計算較為精確。本文取溶液區(qū)域半徑分別為 0.01、0.02、0.03、0.04、0.05、0.06、0.07、0.08、0.09、0.1 m，計算后相應(yīng)的電阻值均為 438 Ω，因此可知，半徑在［0.01 m，0.1 m］取值區(qū)間上時，溶液電阻R2的取值與溶液區(qū)域半徑無關(guān)。因此在以下的探討中，溶液電阻R2為常數(shù)。

1)平均功率P與線圈半徑r的關(guān)系

根據(jù)約束條件nd≥2r，若線圈匝數(shù)被確定，則線圈半徑的最大值將被確定。考察線圈匝數(shù)n為50、30、20匝時，平均功率P與線圈半徑r的函數(shù)關(guān)系，對應(yīng)的線圈半徑r的取值范圍為［0.01 m，0.1 m］，［0.01 m，0.06 m］，［0.01 m，0.04 m］，在不同的匝數(shù)下，平均功率P與線圈半徑r的關(guān)系曲線如圖7所示。

圖7 平均功率P與線圈半徑r的關(guān)系曲線Fig．7 Curve of the relationship between average power P and coil radius r

2)平均功率P與線圈匝數(shù)n的關(guān)系

根據(jù)約束條件nd≥2r，若確定線圈半徑，則線圈匝數(shù)最小值將被確定。考察線圈半徑為0.01、0.03、0.05 m時，平均功率P與線圈匝數(shù)n之間的關(guān)系，對應(yīng)的線圈匝數(shù)取值范圍分別為［10，150］，［30，150］和［50，150］。在不同半徑下，平均功率 P與匝數(shù)n的函數(shù)關(guān)系曲線如圖8所示。

從圖7和圖8中可以看出，平均功率P隨著匝數(shù)的增加和半徑的增大而減小，若要得到較大的平均功率，應(yīng)盡量減少激磁線圈匝數(shù)和線圈半徑。特別是在輸水管半徑確定的前提下，當(dāng)匝數(shù)取最小值時，即線圈長度等于線圈直徑時，平均功率達(dá)到最大值。在實際的工程應(yīng)用中，當(dāng)直流脈沖水處理系統(tǒng)的信號發(fā)生器輸出參數(shù)確定后，應(yīng)根據(jù)實際處理的水質(zhì)參數(shù)來確定線圈的匝數(shù)和半徑，通過控制線圈的尺寸來控制直流脈沖水處理系統(tǒng)對水溶液作用的強弱，從而提高阻垢、防垢的處理效果。

圖8 平均功率P與線圈匝數(shù)n的關(guān)系曲線Fig．8 Curve of the relationship between average power P and coil turns n

4 結(jié)論

本文建立了直流脈沖水處理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在該數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，得到穩(wěn)態(tài)時的激磁線圈電流表達(dá)式和溶液中感生電流的解析表達(dá)式。

此外，用感生電流對水溶液做功的平均功率來衡量感生電場對水溶液作用的強弱，得到感生電流對水溶液做功的平均功率的解析表達(dá)式，并進(jìn)一步研究了激磁線圈尺寸與平均功率之間的關(guān)系曲線，通過探討可知:

1)當(dāng)線圈匝數(shù)為常數(shù)，僅改變線圈半徑，平均功率與線圈半徑的關(guān)系為，較小的線圈半徑能得到較大的平均功率，反之，較大的線圈半徑能得到較小的平均功率。

2)當(dāng)線圈半徑為常數(shù)，僅改變線圈匝數(shù)，平均功率與線圈匝數(shù)的關(guān)系為，較少的線圈匝數(shù)能得到較大的平均功率，反之，較大的線圈匝數(shù)能得到較小的平均功率。在線圈長度等于線圈直徑時，平均功率達(dá)到最大值。

本文提出的模型及評價方法為直流脈沖水處理器在實際工程應(yīng)用中阻垢、防垢效果的優(yōu)化提供了理論指導(dǎo)，并且為直流脈沖水處理器阻垢、防垢機理的定量研究提供了一定的前提和理論依據(jù)。

文中使用了帶約束條件的電感表達(dá)式，因此得出的部分結(jié)論存在一定的局限性，雖然目前也有不受線圈長度與半徑比限制的解析式，但一般含有連帶勒讓德函數(shù)，不適合帶入平均功率的解析式來研究線圈尺寸與平均功率的關(guān)系。文中進(jìn)行的所有計算都是在溶液電導(dǎo)率不變的前提下進(jìn)行的，但在實際的實驗研究中發(fā)現(xiàn)，溶液的電導(dǎo)率會隨著處理過程緩慢的變化。因此，在后續(xù)工作中將從以上兩個方面進(jìn)一步完善平均功率與激磁線圈尺寸參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。

［1］ CHO Young I，F(xiàn)AN Chunfu，CHOI Byung Gap．Theory of electronic anti-fouling technology to control precipitation fouling in heat exchangers［J］．International Communications in Heat and Mass Transfer，1997，24(6):757 －770．

［2］ CHO Young I，CHOI Byung Gap，DRAZNER Bennat J．Electronic anti-fouling technology to mitigate precipitation fouling in plateand-frame heat exchangers［J］．International Journal of Heat and Mass Transfer，1998，41(17):2565－2571．

［3］ CHO Young I，LIU Rong．Control of fouling in a spirally-ribbed water chilled tube with electronic anti-fouling technology［J］．International Journal of Heat and Mass Transfer，1999，42(16):3037－3046．

［4］ CHO Young I，F(xiàn)AN Chunfu，CHOI Byung Gap．Use of electronic anti-fouling technology with filtration to prevent fouling in a heat exchanger［J］．International Journal of Heat and Mass Transfer，1998，41(19):2961－2966．

［5］ XING Xiaokai，MA Chongfang，CHEN Yongchang．Investigation on the electromagnetic anti-fouling technology for scale prevention［J］．Chemical Engineering and Technology，2005，28(12):1540－1545．

［6］ VAN HULLE Stijn W H，VERGOTE An，HOGIE Joel，et al．Practical assessment of electronic water treatment for the prevention of fouling［J］．Chemical Engineering and Technology，2007，30(5):659－662．

［7］ CHO Young I，LEE Sung Hyuk．Reduction in the surface tension of water due to physical water treatment for fouling control in heat exchangers［J］．International Communications in Heat and Mass Transfer，2005，32(1－2):1－9．

［8］ 蘇瑞東．一種基于電渦流的電解質(zhì)溶液電導(dǎo)率測量方法［J］．儀器儀表學(xué)報，2010，31(3):678－681．SU Ruidong．Electrolyte solution conductivity measurement method based on eddy current detection［J］．Chinese Journal of Scientific Instrument，2010，31(3):678 －681．

［9］ 丁?。邢揲L密繞圓柱形螺線管自感系數(shù)的精確表達(dá)式［J］．大學(xué)物理，2009，28(5):21－23．DING Jian．The exact expression of self-inductance for a tightly wound cylindrical solenoid of finite length［J］．College Physics，2009，28(5):21－23．

［10］ KINCAID Thomas G，CHARI Madabushi．The application of finite element method analysis to eddy current nondestructive evaluation［J］．IEEE Transactions on Magnetics，1979，15(6):1956－1960．

［11］ 鄒本貴，曹延杰，王成學(xué)，等．單級同步感應(yīng)線圈炮電樞的磁場－溫度場有限元分析［J］．電機與控制學(xué)報，2011，15(2):42－47．ZOU Bengui，CAO Yanjie，WANG Chengxue，et al．Finite element analysis of magnetic-thermal fields for armature in singlestage synchronous induction coilgun［J］．Electric Machines and Control，2011，15(2):42 －47．

［12］ 閆照文，蘇東林，李朗如，等．基于ANSYS分析的鋁電解槽電磁場計算方法［J］．電機與控制學(xué)報，2005，9(4):326－329．YAN Zhaowen，SU Donglin，LI Langru．et al．Numerical calculations of the 3-D electromagnetic fields of aluminum reduction cells based on ANSYS program［J］．Electric Machines and Control，2005，9(4):326 －329．