韓廣才，吳艷紅，王寅超，劉志強

(1.哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.哈爾濱工程大學(xué) 機電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001)

隨著汽輪機技術(shù)的發(fā)展，以及柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)研究的深入，有關(guān)旋轉(zhuǎn)葉片縱向、橫向振動問題引起了眾多學(xué)者的關(guān)注.將葉片視為彈性梁的研究可見諸于許多文獻.Eringen等人［1］研究了無旋轉(zhuǎn)運動彈性梁的非線性振動問題，Woodall等人［2］只考慮了梁的橫向變形，推導(dǎo)出簡化了的彈性梁動力學(xué)運動微分方程.Anderson等人［3］推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)柔性梁的縱向和橫向的非線性微分方程，Hodges等人［4］對于Anderson的方程進行了修正.Ansari等人［5］分析了安裝在轉(zhuǎn)盤上的預(yù)扭非均質(zhì)非對稱截面懸臂梁的非線性振動問題，表明在葉片穩(wěn)態(tài)運動情況下，一個微小的擾動就會引起葉片的運動發(fā)生突變，且這種突變?nèi)Q于擾動方向.2007年韓國Hong Seok Lim等人分析了集中質(zhì)量沖擊作用下旋轉(zhuǎn)梁的振動問題，基于Kane方法推導(dǎo)了系統(tǒng)的動力學(xué)方程［6-7］.2007年臺灣學(xué)者研究了盤的柔性對軸盤葉系統(tǒng)耦合振動的影響，文中討論了軸的扭轉(zhuǎn)、盤的橫向振動及葉片的彎曲振動相互間的耦合關(guān)系［8］.

多年來準確預(yù)測經(jīng)歷大范圍剛體運動和彈性變形的柔性葉片的動力學(xué)行為，始終是旋轉(zhuǎn)葉片動力學(xué)問題研究的主要課題，基于線性理論的傳統(tǒng)方法由于無法計及動力剛化效應(yīng)，導(dǎo)致在許多實際應(yīng)用中得到錯誤的結(jié)果.本文基于Hamilton原理建立了具有動力剛化效應(yīng)的剛?cè)狁詈闲D(zhuǎn)葉片動力學(xué)微分方程，考慮了變截面、預(yù)扭角葉片模型，計及了截面離心慣性力、截面轉(zhuǎn)動和截面剪力等因素的影響，最后采用數(shù)值分析的方法通過算例分析了彈性體葉片端部振動位移響應(yīng).

1 動力學(xué)模型

如圖1所示，將葉片視為一均質(zhì)旋轉(zhuǎn)鐵摩辛柯梁，安裝在半徑為e的繞空間固定軸旋轉(zhuǎn)的剛性圓盤上，考慮長度為L的雙邊楔形預(yù)扭葉片，設(shè)ρ為葉片單位體積的質(zhì)量、E為楊氏模量，且寬度、厚度和截面扭轉(zhuǎn)角沿葉片長度方向線性變化.葉片左端O點固定于半徑為O1的剛性旋轉(zhuǎn)圓盤上，Oz為剛性圓盤中心，軸為葉片未變形時中性軸.圖1中，O1x1y1z1為慣性參考系，O1x'y'z'為固結(jié)于圓盤上的動參考系，繞慣性參考系O1y1軸以角速度Ω旋轉(zhuǎn)，Oxyz為動參考系，固結(jié)在未變形的葉片上，隨同葉片繞O1y1軸以角速度Ω旋轉(zhuǎn)，作用于圓盤旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)的力矩為τ，JD為剛性圓盤繞O1y1軸的轉(zhuǎn)動慣量.P為葉片未變形時中性軸上的一點，由于旋轉(zhuǎn)運動而發(fā)生了軸向變形及橫向變形，對于細長葉片橫向變形比軸向變形大得多，故只考慮橫向變形，以z表示葉片未變形時P點位置，葉片變形后P至P'點，P點在動參考系Oxyz內(nèi)的位移分別用w(z)和v(z)表示，w(z)為xz平面內(nèi)的位移，v(z)是yz平面內(nèi)的位移.變形后P點在O1x'y'z'動參考系內(nèi)的位置可用rP表示為

式中:i、j、k分別為動參考系O1x'y'z'沿坐標軸方向上的單位矢量，將式(1)在慣性參考系O1x1y1z1內(nèi)求導(dǎo)，并注意到圓盤轉(zhuǎn)動的角速度矢量為Ω=θ·j(θ為剛性圓盤轉(zhuǎn)動角位移)，可得

則

圖1 旋轉(zhuǎn)柔性葉片剛－柔耦合動力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of disc and blade rigid-flexible coupling system

2 動力學(xué)方程的建立

本文采用Hamilton原理建立旋轉(zhuǎn)葉片系統(tǒng)的動力學(xué)方程，Hamilton原理的基本形式如下:

式中:T為系統(tǒng)的動能，U為系統(tǒng)的勢能，δW為外力所作的虛功.考慮P點在動參考系Oxyz內(nèi)的位移w(z)和v(z)是由兩部分組成，即w=wb+ws，v= vb+vs，下腳標b表示由于彎曲引起的橫向位移，下腳標s表示由于剪切引起的橫向位移.旋轉(zhuǎn)葉片系統(tǒng)動能由兩部分組成，剛性圓盤的動能和柔性葉片的動能.在計算柔性葉片動能時，除考慮葉片微元隨質(zhì)心平動動能外，還計及葉片微元繞其截面形心慣性主軸轉(zhuǎn)動動能，則系統(tǒng)動能可寫為

由彈性力學(xué)基本理論可知由彎曲產(chǎn)生的應(yīng)變能Ub及剪切應(yīng)變能Us分別為

考慮葉片變形后微元體的向徑為

則作用于z截面處軸向離心慣性力可寫為

作用于dz微元體上單位長度的離心慣性力x軸方向上的分量可寫為

則由于xz平面內(nèi)的彎曲而產(chǎn)生的離心力勢能為

由于yz平面內(nèi)的彎曲而產(chǎn)生的離心力勢能為

則旋轉(zhuǎn)葉片系統(tǒng)勢能為

分別計算動能T、勢能U和外力的功W對變形廣義坐標w、v和剛性圓盤轉(zhuǎn)動廣義坐標θ的變分，并代入式(2)中，得系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

3 系統(tǒng)離散動力學(xué)方程

采用有限元法給出系統(tǒng)離散動力學(xué)方程，將葉片視為旋轉(zhuǎn)柔性梁，分成n個單元，第i個單元的長度設(shè)為li，如圖2所示，設(shè)單元的節(jié)點位移為

圖2 旋轉(zhuǎn)葉片單元節(jié)點位移Fig.2 Node displacements of a rotating flexible blade element

u1、u2、u3、u4為xz平面內(nèi)彎曲引起的節(jié)點橫向位移及轉(zhuǎn)角位移，u5、u6為xz平面內(nèi)剪切引起的節(jié)點橫向位移.u7、u8、u9、u10為yz平面內(nèi)彎曲引起的節(jié)點橫向位移及轉(zhuǎn)角位移，u11、u12為yz平面內(nèi)剪切引起的節(jié)點橫向位移，令

式中:U=Nu.

考慮雙側(cè)楔形帶預(yù)扭角變截面旋轉(zhuǎn)柔性葉片，葉片寬度、厚度和預(yù)扭角度沿葉片長度方向(軸方向)線性變化.如圖3所示，葉片根部和端部截面寬度分別為b1、b2，厚度分別為h1、h2，預(yù)扭角度分別為θ1、θ2，注意到由于單元截面及扭轉(zhuǎn)角沿z軸方向線性變化，故截面面積A及截面慣性矩Ixx、Ixy、Iyy是關(guān)于z的函數(shù).將葉片單元離散，設(shè)單元局部坐標為，如圖4所示，則第i個單元中性軸上P點未變形時在Oxyz坐標系內(nèi)的位置可表示為

圖3 帶有預(yù)扭角變截面旋轉(zhuǎn)葉片模型Fig.3 Sketch of a rotating blade with pre-twisted angle and variable cross-section

圖4 旋轉(zhuǎn)柔性葉片第i個單元局部坐標Fig.4 Local coordinate system of a rotating flexible blade element

令A(yù)=［1 0 0 0］，B=［0 1 0 0］，C=［0 0 1 0］，D=［0 0 0 1］.

葉片單元動能為

式中:

葉片單元勢能為

式中:

外力的虛功為

第i個單元的Lagrange函數(shù)為ψi=T－U并代入Lagrange方程得葉片第i個單元的動力學(xué)方程為

4 離散動力學(xué)方程的數(shù)值仿真

4.1 考慮預(yù)扭角變化葉片端部位移響應(yīng)

葉片的參數(shù)取為L=0.6 m，b1=0.004 m，b2= 0.004 m，h1=0.15 m，h2=0.15 m，θ1=0°，ρ= 7 800 kg/m3，e=0.01 m，μ=0.3，E=2.07× 1011N/m2.

旋轉(zhuǎn)角運動的規(guī)律取為

取n=500 r/min，T=150 s.

1)分別取θ2=0°、15°、30°、45°時，葉片端部位移的響應(yīng)見圖5.

由圖5(a)和(c)可知，預(yù)扭角的變化對于xz平面內(nèi)橫向位移和轉(zhuǎn)角位移沒有影響.由圖5(b)和(d)可知當無預(yù)扭時，yz平面內(nèi)不產(chǎn)生橫向位移和轉(zhuǎn)角位移，當有預(yù)扭角時，盡管葉片只在xz平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，也會在yz平面內(nèi)產(chǎn)生橫向位移及轉(zhuǎn)角位移，且在15°～45°范圍內(nèi)隨著預(yù)扭角增大，yz平面內(nèi)橫向位移及轉(zhuǎn)角位移也隨之增大.

圖5 葉片端部橫向位移及轉(zhuǎn)角位移Fig.5 Flexual and slope displacement of blade tip

2)分別取θ2=45°、60°、75°、90°時，葉片端部位移的響應(yīng)見圖6.

圖6 葉片端部橫向位移及轉(zhuǎn)角位移Fig.6 Flexual and slope displacement of blade tip

由圖6(a)和(c)可知，預(yù)扭角的變化對于xz平面內(nèi)的橫向位移和轉(zhuǎn)角位移沒有影響.由圖6(b)和(d)可知，在45°～90°范圍內(nèi)隨著預(yù)扭角的增大，yz平面內(nèi)的橫向位移及轉(zhuǎn)角位移隨之減小.仿真結(jié)果表明，位移響應(yīng)是穩(wěn)定的并不隨時間發(fā)散.可見，預(yù)扭角的變化對yz平面內(nèi)的橫向位移及轉(zhuǎn)角位移有較大影響.由于yz平面內(nèi)的橫向振動會使葉片系統(tǒng)動靜部分發(fā)生碰擦，導(dǎo)致葉片通道堵塞，產(chǎn)生嚴重的摩擦聲，引發(fā)葉片斷裂事故.

4.2 考慮截面變化葉片端部位移響應(yīng)

葉片的參數(shù)取為L=0.6 m，b1=0.004 m，h1= 0.15 m，θ1=0°，θ2=45°.旋轉(zhuǎn)角運動的規(guī)律取式(5)，取n=500 r/min，T=150 s.

考慮截面變化時葉片端部位移響應(yīng)，見圖7.

圖7 葉片端部橫向位移及轉(zhuǎn)角位移Fig.7 Flexual and slope displacement of blade tip

由圖7(a)～(d)可以看出，葉片截面寬度和高度的變化對xz平面內(nèi)的橫向位移和轉(zhuǎn)角位移影響較小，而對于yz平面內(nèi)的橫向位移和轉(zhuǎn)角位移有較大影響.

5 結(jié)束語

基于Hamilton變分原理推導(dǎo)了帶有預(yù)扭角、變截面，考慮剪切變形、截面轉(zhuǎn)角及離心剛化效應(yīng)的大范圍旋轉(zhuǎn)柔性葉片剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)非線性偏微分積分連續(xù)動力學(xué)方程組.基于有限元法建立了旋轉(zhuǎn)葉片系統(tǒng)非線性、時變及完全耦合的有限維離散動力學(xué)方程，基于數(shù)值仿真結(jié)果分析了截面參數(shù)對葉片橫向位移的影響，為變截面葉片的設(shè)計提供了理論依據(jù)，同時也為后續(xù)葉片位移響應(yīng)的穩(wěn)定性分析及幅頻特性研究提供了理論基礎(chǔ)及分析數(shù)據(jù).

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