■張哲

讓情趣和智慧在探究中同構(gòu)共生
——《用二分法求方程的近似解》案例分析

■張哲

教育家施瓦布曾經(jīng)指出：“如果要學生學習科學的方法，那么有什么學習比通過積極地投入到探究的過程中去更好呢?”這句話對科學教育中的探究性教學和學習產(chǎn)生了深遠的影響。美國心理學家布魯納也認為：“探索是數(shù)學的生命線?！笨梢?，數(shù)學教學應強化探究性。

《用二分法求方程的近似解》是高中數(shù)學必修1第三章第一節(jié)“函數(shù)與方程”的內(nèi)容，它體現(xiàn)了函數(shù)與方程的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學的逼近思想。

在這節(jié)課的學習中，采用探究式教學方式，使學生了解用二分法求方程近似解的思想以及用二分法求方程近似解的一般步驟。讓學生體會概念產(chǎn)生的源頭，親歷概念形成的過程，自主抽象概括形成概念，自覺應用概念解決問題。

一、教學片斷

【教學片斷一】

師：請同學們求解這個方程的根：1nx+2x-6=0。

師：這個方程，既沒有現(xiàn)成的求根公式，也沒法轉(zhuǎn)化成我們熟悉的方程，我們該怎么辦呢？大家想一想，什么是方程的根呢？

生：方程的根就是能使等式兩邊成立的未知數(shù)的取值。

師：我們可以通過猜，即試根的方法來找到方程的解。我們不妨從生活中的游戲來找找靈感，請同學們觀看視頻《購物街》。

師：挑戰(zhàn)者在短短20秒的時間內(nèi)就猜出了物品的正確價格，他是如何做到的呢？

生：因為主持人說2000低了，2500高了，所以正確的價格應該在2000～2500之間。

師：挑戰(zhàn)者之所以能猜出價格，主持人提供的信息起了十分關(guān)鍵的作用，這個反饋信息使得每一次猜的范圍不斷縮小，不斷的接近真實的價格。同學們從這個游戲中能不能得到一些啟示呢，我們在試根的過程中到底怎樣猜才能更接近方程的解呢？

生：從已知的信息得到反饋。

教學過程簡析：新課導入時以問題驅(qū)動教學，激發(fā)學生的求知欲，激活學生的思維。接著順應學生的思維，思考根的定義，為了講解在試根的過程中怎樣猜才能更接近方程的解，播放了視頻《購物街》，引出反饋機制，引導學生體驗數(shù)學來源于生活。

【教學片斷二】

師：怎么來找這種反饋的機制呢?能不能從已知的信息得到反饋。

求方程f(x)=0的實數(shù)根，就是要求y=f(x)的零點，因為ln1=0，我們將x=1帶入f(x)=1nx+2x-6中，得到f(1)=-4，我們知道f(x)是一個單調(diào)遞增的函數(shù)，f(1)＜0，那我們應該繼續(xù)猜怎樣的值??？

生：比1大的數(shù)。

師：2×3-6=0，我們不妨再猜3，我們將x=3帶入f(x)=1nx+2x-6，f(x) =1n3，我們已經(jīng)知道了f(1)和f(3)的值，我們應該在哪一個范圍內(nèi)繼續(xù)試根呢？

生：應該在（1，3）這個區(qū)間內(nèi)猜。因為f(1)＜0，f(3)＞0，根據(jù)零點存在性定理，所以零點應在（1,3）區(qū)間內(nèi)。

師：根據(jù)零點存在性定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a,b）使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根。

師：求方程近似解的過程中,重復計算次數(shù)與精確度有關(guān)嗎？

生：有關(guān)系。

生：如此重復，零點的范圍越來越小，那么，我們什么時候停止這種步驟的操作呢。

師：當給定精度時，即規(guī)定了我們得到的近視值和真實值的差距必須小于所給的精度。為了判斷所取的近似解是否達到了精度，我們做了如下規(guī)定：精確度為ε，是指在計算過程中零點落在區(qū)間（a，b）上，若區(qū)間的長度：|a-b|＜ε，則認為已達到了所給的精度，可以停止計算。

教學過程簡析：通過找特殊點x=1和x=3進行試根，為學生回顧上一節(jié)內(nèi)容提供了契機，從而將復習函數(shù)零點知識的過程體現(xiàn)在問題解決的過程中，在問題的解決過程中把舊知識檢索和提取出來，使舊知識真正做到“為我所用”。在教學設(shè)計中，注意創(chuàng)設(shè)恰當情境，從具體實例出發(fā)，使學生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，經(jīng)歷數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，了解知識的來龍去脈。使學生在參與知識的形成過程中，正確理解精確度、近似值的概念,認真思考精確度、初始區(qū)間的作用，提升知識、能力的深度和廣度。

【教學片斷三】

師：確定了零點的范圍后，我們是在這個范圍內(nèi)任意取了一點繼續(xù)試根，那這一點應該怎么取呢，可以讓我們更有效率、更好地去逼近精確解呢？

我們不妨利用數(shù)軸來研究一下，多媒體課件演示以下動畫過程。

假設(shè)我們的正確解是在（0,100）范圍內(nèi)的一個數(shù)，大家會取哪些點呢？

生：10,50,80。

師：一般說來，選取中點來繼續(xù)縮小范圍的方法是在最壞情況下的一種最好的方法。在實際操作過程中，我們常常用這種方法來求方程的近似解，這種將零點所在范圍一分為二，不斷逼近的方法就叫做二分法。

教學過程簡析：為了揭示知識形成過程，讓學生探究數(shù)學問題的實質(zhì)，教學中，不是簡單地告訴學生用二分法。為了講清楚為什么是二分，而不是其他的分法，可充分發(fā)揮多媒體教學的優(yōu)勢，動畫演示取點10、50、80的情景，在教學關(guān)鍵處給予學生更清晰、直觀的指導，在知識連接處給予學生承上啟下的階梯，在學生出現(xiàn)思維空白時給予學生直觀形象的支撐。這對促進學生的主動參與、有效學習，起到了推波助瀾的作用。

二、教學啟示

1.關(guān)注學習過程和情感體驗，引導學生自主學習

數(shù)學課程標準強調(diào)學生在學習過程中，通過經(jīng)歷、體驗、探索而學到知識，形成技能，同時使各方面得到發(fā)展。這節(jié)課，教學設(shè)計環(huán)環(huán)相扣，通過猜測、找尋反饋機制、不斷逼近、折半選取這樣一系列的過程，注意數(shù)學思想方法的溶入滲透，訓練學生用從特殊到一般,再由一般到特殊的思維方式解決問題的能力，不斷加強他們的轉(zhuǎn)化類比思想。這樣的教學設(shè)計,教師給了學生主動學習的機會和權(quán)力，讓他們自己去觀察，自己去發(fā)現(xiàn)，在困惑、思考、探索、交流的過程中主動獲取知識，體驗成功的自豪與喜悅，從而增強了自主學習的意識和信心。

2.關(guān)注相關(guān)數(shù)學內(nèi)容之間的聯(lián)系，幫助學生探究數(shù)學

數(shù)學各部分內(nèi)容之間的知識是相互聯(lián)系的，學生的數(shù)學學習是循序漸進、逐步發(fā)展的。為了求方程ln x+2x-6=0的解，引導學生回顧舊知，復習了根的概念，運用了試根的方法，復習了函數(shù)與方程的等價關(guān)系，為了幫助學生理解如何縮小初始區(qū)間范圍，溫習了零點存在定理。這樣的設(shè)計為學生探究搭建了一個平臺，學生的主體性和教師的主導性都得到了充分體現(xiàn)。

3.突出教學重難點，提升學生學習能力學生

二分法的思想和用二分法求方程的近似解是本節(jié)課的重點也是難點，為了突破重點二分法的概念，從生活中的游戲?qū)ふ覕?shù)學知識的運用，請同學們觀看視頻《購物街》，了解反饋機制，理解二分法的實質(zhì)是零點存在定理，使學生在主動探索、合作交流的過程中獲得了新知，提高能力。

為了突破難點——二分法的使用，本堂課運用多媒體，利用數(shù)軸進行比較，說明選取中點來繼續(xù)縮小范圍的方法是在最壞情況下的一種最好的方法。合理地運用了現(xiàn)代教育媒體的獨特功能，對二分法原理的探究，用課件動畫把二分法的思想直觀、形象生動的展現(xiàn)給學生，讓學生真正參與到知識的形成過程中去，努力提高教學效率。

華中師范大學數(shù)統(tǒng)學院）

責任編輯 王愛民