王春生，侯云海，劉凡

(1.長春市政瀝青混凝土有限公司，長春 130123；2.長春工業(yè)大學(xué)，長春 130012)

在自動控制系統(tǒng)中，以倒立擺為控制對象的自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)因組成結(jié)構(gòu)簡單、控制方法便于調(diào)整驗證、控制性能和結(jié)果直觀，特別可以直接地模擬機(jī)器人關(guān)節(jié)控制、火箭發(fā)射架姿態(tài)控制、航空飛行器的陀螺平衡控制等過程，故作為一種時變的非線性控制對象，在進(jìn)行控制方法和有效驗證各種新型理論的應(yīng)用研究上，作為基礎(chǔ)試驗?zāi)Ｐ统１徊捎?。例如為之開發(fā)的單支點(diǎn)直線倒立擺；雙支點(diǎn)小車倒立擺；單級、二級直線倒立擺；單級、多級旋轉(zhuǎn)倒立擺等。因倒立擺系統(tǒng)是一個典型的時變非線性系統(tǒng)，故對此所采取的理論研究和控制方法研究也比較多，一般對單支點(diǎn)系統(tǒng)，多在平衡點(diǎn)附近線性化，之后采用線性控制理論方法進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計與控制的研究。但隨著自動控制系統(tǒng)中被控對象復(fù)雜程度的加深，很難建立起被控對象的精確的數(shù)學(xué)模型，因此傳統(tǒng)的控制方法很難滿足現(xiàn)代化需要，而模糊控制、人工智能神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是解決這類問題的有效工具，也是目前應(yīng)用研究的主流和熱點(diǎn)[1-3]。

采用步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動平衡臂，通過平衡臂的旋轉(zhuǎn)、擺動控制思想做成了一個單支點(diǎn)垂直型旋轉(zhuǎn)式倒立擺的系統(tǒng)模型。以倒立擺的回轉(zhuǎn)角、角變化率為控制輸入量，采用模糊決策控制方法，通過調(diào)節(jié)旋轉(zhuǎn)臂的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)向，即電機(jī)的轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)向?qū)崿F(xiàn)倒立擺的控制。

1 倒立擺的動力學(xué)模型

圖1是本系統(tǒng)制作的單支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)式倒立擺的示意圖。采用步進(jìn)電機(jī)作為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的控制執(zhí)行元件，旋轉(zhuǎn)臂通過滑環(huán)與電機(jī)軸固定聯(lián)接，其中一端安裝有光電編碼器實現(xiàn)位移檢測，倒立擺通過軸承與固定在旋轉(zhuǎn)臂上的光電編碼器聯(lián)接。通過檢測倒立擺的轉(zhuǎn)角位移及轉(zhuǎn)角變化率，經(jīng)過控制系統(tǒng)的模糊控制規(guī)律判決，輸出電機(jī)的控制信號，調(diào)節(jié)電機(jī)的旋轉(zhuǎn)速度、方向和角度，從而實現(xiàn)了倒立擺的平衡控制。

圖1 旋轉(zhuǎn)倒立擺示意圖Fig.1 Diagram of verticalrotary inverted pendulum

圖2 基本坐標(biāo)系Fig.2 The basic reference frame

為推導(dǎo)倒立擺系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)及動力學(xué)模型，取電機(jī)旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平面內(nèi)取 x，y軸，假定電機(jī)及倒立擺逆時針旋轉(zhuǎn)為轉(zhuǎn)角的正方向，如圖2所示。系統(tǒng)具有兩個自由度，選取1，2為廣義坐標(biāo)，則在任意時刻，倒立擺重心位置的坐標(biāo)可用下式來描述。

系統(tǒng)的動能K可表示如下：

選取擺、臂在垂直位置為零勢能位置，則系統(tǒng)的勢能為：

把(3)，(4)式代入拉格朗日方程[4]

可得系統(tǒng)的運(yùn)動方程式:

由運(yùn)動方程可知，此系統(tǒng)是一個多變量、高階次、非線性的復(fù)雜系統(tǒng)。假設(shè)倒立擺的擺動幅度很小，可認(rèn)為且忽略高相，則式(6)，(7)可化為：

對(10)、(11)兩式進(jìn)行拉普拉斯變換可得：

由上式可知，整理后的傳遞函數(shù)非常繁瑣，因此本設(shè)計采用模糊控制法。

2 圖形建模與仿真

為便于構(gòu)圖，將式(10)、(11)改寫為下列形式：

圖3 倒立擺的動力模型仿真結(jié)構(gòu)圖Fig.3 The simulation frame of dynamic model for inverted pendulum

圖4 倒立擺模糊控制系統(tǒng)模型Fig.4 The model of fuzzy control systemfor inverted pendulum

圖5 平衡臂的仿真結(jié)果Fig.5 The simulation result of balance arm

圖6 擺的仿真結(jié)果Fig.6 The simulation result of pendulum

根據(jù)(12)、(13)兩式，在 MATLAB中畫出仿真結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

利用模糊邏輯控制塊及圖3，可得出倒立擺模糊控制系統(tǒng)模型，如圖4所示。其中圖3為圖4中"pendulum dynamics"的子系統(tǒng)，其"animbai"為擺的仿真函數(shù)[5]。

圖3，4是在Simulink環(huán)境下，應(yīng)用S函數(shù)及模糊邏輯工具箱產(chǎn)生的模糊邏輯控制塊，針對系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)空間方程建立的倒立擺模糊控制系統(tǒng)模型[6]。由圖3，4得仿真結(jié)果如下圖5，6所示。

由仿真結(jié)果可知擺能夠在小角度范圍內(nèi)穩(wěn)定擺動，實現(xiàn)了對擺的控制。

4 結(jié)論

本文基于拉格朗日動力學(xué)分析方法，推導(dǎo)出倒立擺的運(yùn)動方程。在對系統(tǒng)進(jìn)行可行的近似化處理后，給出了便于實現(xiàn)的簡化控制關(guān)系模型。以倒立擺的回轉(zhuǎn)角，角變化率為控制輸入量，采用模糊控制方法實現(xiàn)了倒立擺的平衡控制規(guī)律。并通過MATLAB仿真實驗確認(rèn)了該控制方法的可行性。不但初步解決了倒立擺非線性系統(tǒng)的控制問題，同時也可應(yīng)用到多級雙支點(diǎn)倒立擺的控制系統(tǒng)中。

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